Abschnitt I .
Einleitende Betrachtungen .
§. 1. Stationäre Strömungen in der Ebene als Deutung der Functionen von x + iy .
Die physikalische Deutung der Functionen von x + iy ,
mit welcher wir im Folgenden zu arbeiten haben , ist in ihren
Grundlagen wohlbekannt Sei insbesondere auf die Darstellung verwiesen , welche Maxwell
in seinem Treatise on Electricity and Magnetisme ( Cambridge 1873 ) gegeben
hat . Dieselbe entspricht , was anschauungsmässige Behandlung
angeht , genau den Gesichtspuncten , die auch ich im Texte verfolge .
, nur der Vollständigkeit halber
müssen letztere kurz zur Sprache gebracht werden .
Sei w = u + iv , z = x + iy , w = f(z) . Dann hat man
vor allen Dingen :
\[
\tag{1}
\frac{\partial{u}}{\partial{x}} =
\frac{\partial{v}}{\partial{y}},\quad
\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = -
\frac{\partial{v}}{\partial{x}}
\]
und hieraus :
\[
\tag{2}
\frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}} +
\frac{\partial^2{u}}{\partial{y^2}} = 0
\]
sowie für v :
\[
\tag{3}
\frac{\partial^2{v}}{\partial{x^2}} +
\frac{\partial^2{v}}{\partial{y^2}} = 0.
\]
Hier wird man nun u als Geschwindigkeitspotential deuten ,
so dass \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}, \dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}
die Componenten der Geschwindigkeit sind ,
mit der eine Flüssigkeit parallel zur XY -Ebene strömt . Wir
mögen uns diese Flüssigkeit zwischen zwei Ebenen eingeschlossen
denken , die parallel zur XY -Ebene verlaufen ,
oder auch uns vorstellen , dass die Flüssigkeit als unendlich
dünne , übrigens gleichförmige Membran über der XY -Ebene
ausgebreitet sei . Dann sagt die Gleichung ( 2 ) — und dies
ist der Kern unserer physikalischen Deutung — , dass unsere
Strömung eine stationäre ist . Die Curven u = Const . heissen
die Niveaucurven , während die Curven v = Const . , die vermöge ( 1 )
den ersteren überall rechtwinkelig begegnen , die
Strömungscurven abgeben .
Bei dieser Vorstellungsweise ist es zunächst natürlich
völlig gleichgültig , wie beschaffen wir uns die strömende
Flüssigkeit denken wollen . Inzwischen wird es in der Folge
vielfach zweckmässig sein , dieselbe mit dem elektrischen Fluidum
zu identificiren . Es wird dann nämlich u mit dem elektrostatischen
Potential , welches die Strömung hervorruft , proportional ,
und die experimentelle Physik gibt uns mannigfache
Mittel an die Hand , um zahlreiche Strömungszustände , die
uns interessiren , thatsächlich zu realisiren .
Die Strömung selbst wird übrigens ungeändert bleiben ,
wenn wir u durchweg um eine Constante vermehren : es sind
nur die Differentialquotienten \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}},\ \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}} ,
welche unmittelbar in
Evidenz treten . Das Analoge gilt von v ; so dass die Function
u + iv , welche wir physikalisch deuten , durch diese Deutung
nur bis auf eine additive Constante bestimmt ist , was im
Folgenden wohl zu beachten ist .
Sodann bemerke man noch , dass die Gleichungen ( 1 )-(3 )
ungeändert bestehen bleiben , wenn man u durch v , v durch
-u ersetzt . Dementsprechend erhalten wir einen zweiten
Strömungszustand , bei welchem v das Geschwindigkeitspotential
abgibt und die Curven u = Const . die Strömungscurven
sind . Derselbe repräsentirt in dem oben erläuterten Sinne
die Function v-ui . Es ist häufig zweckmässig , diese neue
Strömung neben der ursprünglichen zu betrachten , bei welcher
u das Geschwindigkeitspotential war ; wir wollen dann der
Kürze halber von conjugirten Strömungen sprechen . Die
Benennung ist zwar etwas ungenau , weil sich u zu v verhält ,
wie v zu (-u) ; sie wird aber für später ausreichen .
Diese ganze Erläuterung bezieht sich , gleich den Differentialgleichungen
( 1 )-(3 ) , zuvörderst nur auf einen solchen
( übrigens beliebigen ) Theil der Ebene , in welchem u + iv
eindeutig ist und weder u + iv , noch einer seiner Differentialquotienten
unendlich wird . Um den entsprechenden physikalischen
Vorgang deutlich zu übersehen , hat man sich also
vorab einen solchen Bereich abzugränzen und durch geeignete
Vorrichtungen an der Gränze dafür zu sorgen , dass der im
Inneren des Gebietes eingeleitete stationäre Bewegungszustand
ungehindert fortdauern kann .
In einem so umgränzten Gebiete werden diejenigen Puncte
z_{0} unsere besondere Aufmerksamkeit auf sich ziehen , für welche
der Differentialquotient \dfrac{dw}{dz} verschwindet . Ich will der Allgemeinheit
wegen gleich annehmen , dass auch \dfrac{d^2w}{dz^2} , \dfrac{d^3w}{dz^3} , \dotsc
bis hin zu \dfrac{d^\alpha w}{dz^\alpha} gleich Null sein mögen . Um über den
Verlauf der Niveaucurven , oder auch der Strömungscurven ,
in der Nähe eines solchen Punctes Aufschluss zu erhalten ,
entwickele man w in eine nach Potenzen von (z - z_0) fortschreitende
Reihe . Dieselbe bringt hinter dem constanten
Gliede unmittelbar ein Glied mit (z - z_0)^{\alpha + 1} . Durch Einführung
von Polarcoordinaten schliesst man hieraus : dass sich
im Puncte z_0 (\alpha + 1) Curven u = Const . unter resp. gleichen
Winkeln kreuzen , während ebensoviel Curven v = Const . als
Halbirungslinien der genannten Winkel auftreten . Ich werde
einen solchen Punct dementsprechend einen Kreuzungspunct
nennen , und zwar einen Kreuzungspunct von der Multiplicität \alpha .
Die folgende ( selbstverständlich nur schematische ) Figur
mag dieses Vorkommniss für \alpha = 2 erläutern und namentlich
verständlich machen , wie sich ein Kreuzungspunct in das
Orthogonalsystem einfügt , welches übrigens von den Curven
u = Const. , v = Const . gebildet wird :
Figur 1 .
Die Strömungscurven v = Const . erscheinen in der Figur
ausgezogen und die Strömungsrichtungen auf ihnen durch beigesetzte
Pfeilspitzen angegeben ; die Niveaucurven sind durch
Punctirung angedeutet . Man sieht , wie die Flüssigkeit von
drei Seiten auf den Kreuzungspunct zuströmt , um ebenfalls
nach drei Seiten von demselben abzuströmen . Diess wird nur
dadurch möglich , dass die Geschwindigkeit der Strömung im
Kreuzungspunkte gleich Null wird ( dass sich die Flüssigkeit
in demselben staut , wie man nach Analogie bekannter Vorkommnisse
sagen könnte ) . In der That ist ja die Geschwindigkeit
durch \sqrt{\left(\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}\right)^2} gegeben .
Es ist weiterhin vortheilhaft , den Kreuzungspunkt von
der Multiplicität \alpha als Gränzfall von \alpha einfachen Kreuzungspuncten
aufzufassen . Dass diess zulässig ist , zeigt die analytische
Behandlung . Denn im \alpha -fachen Kreuzungspunkte hat
die Gleichung \dfrac{dw}{dz} = 0 eine \alpha -fache Wurzel , und eine solche
entsteht , wie man weiss , durch Zusammenrücken von \alpha einfachen
Wurzeln . Im Uebrigen mögen folgende Figuren diese
Auffassung erläutern :
Figur 2 .
Figur 3 .
Ich habe in denselben der Einfachheit halber nur die
Strömungscurven angegeben . Linker Hand erblickt man denselben
Kreuzungspunct von der Multiplicität Zwei , auf den
sich Figur 1 bezieht . Rechter Hand liegt eine Strömung vor ,
welche dicht bei einander zwei einfache Kreuzungspuncte aufweist .
Man erkennt , wie der eine Strömungszustand aus dem
anderen durch continuirliche Aenderung hervorgeht .
Bei dieser Erläuterung wurde stillschweigend vorausgesetzt ,
dass das Gebiet , in welchem wir den Strömungszustand
betrachten , sich nicht in's Unendliche erstrecke . Es
hat allerdings keinerlei principielle Schwierigkeit , den Punct
z = \infty ebenso in Betracht zu ziehen , wie irgend einen anderen
Punct z = z_{0} . An Stelle der Reihenentwickelung nach Potenzen
von z - z_{0} hat dann in bekannter Weise eine solche
nach Potenzen von \dfrac1z zu treten . Man wird von einem \alpha -fachen
Kreuzungspuncte bei z = \infty sprechen , wenn diese Entwickelung
hinter dem constanten Gliede sofort einen Term mit
\left(\dfrac1z\right)^{\alpha + 1} bringt . Aber es scheint überflüssig , die geometrischen
Verhältnisse , welche diesen Vorkommnissen bei unserer
Strömung entsprechen , ausführlicher zu schildern . Denn wir
werden später Mittel und Wege kennen lernen , um die Sonderstellung
des Werthes z = \infty , wie sie uns hier entgegentritt ,
ein für allemal zu beseitigen . Ebendesshalb wird der Punct
z = \infty in den nächstfolgenden Paragraphen ( §. 2-4 ) bei
Seite gelassen , trotzdem er auch dort , wenn man vollständig
sein wollte , besonders in Betracht gezogen werden müsste .
§. 2. Berücksichtigung der Unendlichkeitspuncte von w = f(z) .
Wir wollen nunmehr auch solche Puncte z_{0} in unser Gebiet
hereinnehmen , in denen w = f(z) unendlich gross wird .
Dabei schränken wir indess die unbegränzte Reihe der Möglichkeiten ,
welche in dieser Richtung vorliegt , mit Rücksicht
auf die specielle von uns allein zu studierende Functionsclasse
bedeutend ein . Wir wollen verlangen , dass der Differentialquotient
\dfrac{dw}{dz} keine wesentlich singuläre Stelle besitzen soll , oder ,
was dasselbe ist , wir wollen festsetzen , dass w nur so unendlich
werden darf , wie ein Ausdruck der folgenden Form :
\[
A\log{(z - z_0)} +
\frac{A_1} {z - z_0} +
\frac{A_2} {(z - z_0)^2} + \dotsb
\frac{A_\nu}{(z - z_0)^\nu},
\]
unter \nu eine bestimmte endliche Zahl verstanden .
Entsprechend den verschiedenen Formen , die dieser Ausdruck
darbietet , sagen wir , dass sich bei z = z_0 verschiedene
Unstetigkeiten überlagern : ein logarithmischer Unendlichkeitspunct ,
ein algebraischer Unendlichkeitspunct von der Multiplicität
Eins , u. s. f. Wir werden der Einfachheit halber hier
jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten , worauf es
eine nützliche Uebung sein wird , sich in einzelnen Fällen
das Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen .
Sei z = z_0 zuvörderst ein logarithmischer Unendlichkeitspunct .
Wir haben dann :
\[
w = \log{(z - z_0)} + C_0 + C_1(z - z_0) + C_2(z - z_0)^2 + \dotsb
\]
Hier ist A diejenige Grösse , welche man , mit 2i\pi multiplicirt ,
nach Cauchy als Residuum des logarithmischen Unendlichkeitspunctes
bezeichnet , eine Benennung , die im Folgenden
gelegentlich angewandt werden soll . Für die Strömung
in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer
Wichtigkeit , ob A reell ist oder rein imaginär , oder endlich
complex . Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung
der beiden ersten auffassen . Wir wollen daher auch
ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten
Möglichkeiten zu beschäftigen .
1 ) Wenn A reell ist , so werde C_0 = a + ib gesetzt . Man
hat dann in erster Annäherung für w = u + iv , z-z_0 = re^{i\varphi} :
\[
u = A \cdot \log{r + a},\qquad v = A\varphi + b.
\]
Die Curven u = Const . umgeben also den Unendlichkeitspunct
in Gestalt kleiner Kreise ; die Curven v = Const . laufen ,
den wechselnden Werthen von \varphi entsprechend , in
allen Richtungen auf den Unendlichkeitspunct zu . Wir haben
eine Bewegung , bei welcher z = z_0 eine Quelle von einer gewissen
positiven oder negativen Ergiebigkeit vorstellt . Um diese
Ergiebigkeit zu berechnen , multipliciren wir das Bogenelement
eines kleinen mit dem Radius r um den Unstetigkeitspunct
beschriebenen Kreises mit der zugehörigen Geschwindigkeit
und integriren den so gewonnenen Ausdruck längs der Kreisperipherie .
Da \sqrt{\left(\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}\right)^2} in erster Annäherung mit
\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}} und dieses mit \dfrac Ar zusammenfällt , so kommt :
\[
\int_0^{2\pi} \frac Ar \cdot r\,d\varphi = 2\, A\pi
\]
als Werth der Ergiebigkeit . Die Ergiebigkeit ist also gleich
dem Residuum , getheilt durch i ; sie ist positiv oder negativ je
nach dem Werthe von A .
2 ) Sei zweitens A rein imaginär , gleich i\mathsf{A} . Dann kommt
unter Beibehaltung der übrigen Bezeichnungen in erster Annäherung :
\[
u = -\mathsf{A} \cdot \varphi + a,\qquad
v = \mathsf{A} \cdot \log{r} + b.
\]
Die Rollen der Curven u = Const. , v = Const . sind also
geradezu vertauscht . Die Niveaucurven verlaufen jetzt nach
allen Richtungen von z = z_0 aus , während die Strömungscurven
den Unendlichkeitspunct in kleinen Kreisen umgeben .
Die Flüssigkeit wirbelt auf letzteren Curven um den Punct
z = z_0 herum . Ich will den Punct dementsprechend als einen
Wirbelpunct bezeichnen . Sinn und Intensität des Wirbels
werden durch \mathsf{A} gemessen . Da die Geschwindigkeit
\[
\sqrt{
\left(\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\right)^2 +
\left(\frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right)^2}
\]
in erster Annäherung gleich \dfrac{\partial{u}}{\partial{\varphi}} wird , so findet die Wirbelbewegung
bei positivem \mathsf{A} im Sinne des Uhrzeigers , bei negativem
\mathsf{A} in entgegengesetztem Sinne statt . Wir mögen die
Intensität des Wirbels gleich 2\mathsf{A}\pi setzen , sie ist dann
dem Residuum des betreffenden Unendlichkeitspunctes negativ
gleich .
Uebrigens können wir sagen , indem wir uns der Definition
conjugirter Strömungen , wie sie im vorigen Paragraphen
gegeben wurde , mit der ihr anhaftenden Unbestimmtheit erinnern :
Hat eine von zwei conjugirten Strömungen bei z = z_0
eine Quelle von einer gewissen Ergiebigkeit , so hat die andere
dort einen Wirbelpunct von gleicher oder entgegengesetzt gleicher
Intensität .
Wir betrachten ferner die algebraischen Unstetigkeitspuncte .
Bei ihnen ist der Verlauf der Strömung seinem allgemeinen
Charakter nach davon unabhängig , ob das erste Glied
der Reihenentwickelung einen reellen , imaginären oder complexen
Coefficienten hat . Sei zuvörderst :
\[
w = \frac{A_1}{z - z_0} + C_0 + C_1(z - z_0) + \dotsb
\]
so wird in erster Annäherung für z - z_0 = re^{i\varphi} , A_1 = \varrho e^{i\psi} :
\[
w - C_0 = \frac{\varrho}{r}
\bigl\{
\cos{(\psi - \varphi)} + i
\sin{(\psi - \varphi)}\bigr\}
\]
Betrachten wir zuvörderst den reellen Theil rechter Hand .
Wenn r sehr klein ist , so kann \dfrac{\varrho}{r}\cos{(\psi - \varphi)} durch geschickte
Wahl von \varphi doch noch jeden beliebigen vorgegebenen
Werth vorstellen . Die Function u nimmt also in unmittelbarer
Nähe der Unstetigkeitsstelle noch jeden Werth an . Zur näheren
Orientirung denken wir uns einen Augenblick r und \varphi als
unbegränzte Veränderliche , setzen also
\[
\frac{\varrho}{r}\cos{(\psi - \varphi)} = \text{ Const.}
\]
Wir erhalten dann ein Büschel von Kreisen , welche alle
die feste Richtung \varphi = \psi + \frac{\pi}{2} berühren . Die Kreise sind
um so kleiner , je grösser der absolute Betrag von Const . genommen
wird . In ähnlicher Weise verlaufen daher die Curven
u = Const . in der Nähe der Unstetigkeitsstelle . Insbesondere
haben sie für sehr grosse positive oder negative Werthe von
Const . die Gestalt kleiner , geschlossener , kreisähnlicher Ovale . — Für
den imaginären Theil des Ausdrucks rechter Hand und
also die Curven v = Const . gilt eine ähnliche Discussion . Der
Unterschied ist nur der , dass jetzt die Richtung \varphi = \psi von
allen Curven berührt wird . Hiernach wird die folgende Figur ,
in welcher die Niveaucurven wieder punctirt , die Strömungscurven
ausgezogen sind , verständlich sein :
Figur 4 .
Die analoge Discussion liefert vom \nu -fachen algebraischen
Unstetigkeitspuncte die erforderliche Anschauung . Ich will
hier nur das Resultat anführen : Jede Curve u = Const . läuft
\nu - mal durch den Unstetigkeitspunct hindurch , indem sie der
Reihe nach \nu feste , gleich stark gegen einander geneigte Tangenten
berührt . Analog die Curven v = Const . Für sehr grosse ( positive
oder negative ) Werthe der Constante sind beiderlei Curven in
unmittelbarer Nähre der Unstetigkeitsstelle geschlossen . Ich gebe
zur Veranschaulichung eine Figur für \nu = 2 :
Figur 5 .
Man wird vermuthen , dass diese höheren Vorkommnisse
aus den niederen durch Gränzübergang entstehen mögen . Ich
verschiebe die betreffende Erläuterung bis zum folgenden Paragraphen ,
wo uns eine bestimmte Functionsclasse die erforderlichen
Anschauungen mit Leichtigkeit vermitteln wird .
§. 3. Rationale Functionen und ihre Integrale . Entstehung höherer Unendlichkeitspuncte aus niederen .
Die entwickelten Sätze genügen , um den Gesammtverlauf
solcher Functionen zu veranschaulichen , die , übrigens
in der ganzen Ebene eindeutig , keine anderen Unendlichkeitspuncte
aufweisen , als die eben betrachteten . Es sind
diess , wie man weiss , die rationalen Functionen und ihre
Integrale . Ohne ausgeführte Zeichnungen zu geben , stelle ich
hier die Sätze , welche man bei ihnen betreffs der Kreuzungspuncte
und Unendlichkeitspuncte findet , in knapper Form
zusammen . Ich beschränke mich dabei , aus dem oben angegebenen
Grunde , auf solche Fälle , in denen z = \infty keinerlei
ausgezeichnete Rolle spielt . Die hierin liegende Beschränkung
wird hinterher , wie bereits angedeutet , von selbst in Wegfall
kommen .
1 ) Die rationale Function , welche wir zu betrachten
haben , stellt sich in der Form dar :
\[
w = \frac{\varphi(z)}{\psi(z)},
\]
wo \varphi und \psi ganze Functionen desselben Grades sind , die
ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden können . Ist
dieser Grad der n^{\text{te}} und zählt man jeden algebraischen Unendlichkeitspunct
so oft , als seine Multiplicität anzeigt , so
erhält man , den Wurzeln von \psi = 0 entsprechend , n algebraische
Unstetigkeitspuncte . Die Kreuzungspuncte sind
durch \psi\varphi^\prime - \varphi\psi^\prime = 0 , eine Gleichung (2n - 2)^{\text{ten}} Grades ,
gegeben . Die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte ist
also 2n - 2 , wobei man aber beachten muss , dass jede
\nu -fache Wurzel von \psi = 0 eine (\nu-1) -fache Wurzel von
\psi^\prime = 0 ist und also jeder \nu -fache Unendlichkeitspunct der
Function für (\nu - 1) Kreuzungspuncte mitzählt .
2 ) Soll das Integral einer rationalen Function
\[
W = \int\frac{\Phi(z)}{\Psi(z)}\ dz
\]
für z = \infty endlich bleiben , so muss der Grad von \Phi um zwei
Einheiten kleiner sein als der Grad von \Psi . \Phi und \Psi sollen
dabei ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden . Dann
liefert \Phi = 0 die freien Kreuzungspuncte , d. h. diejenigen
Kreuzungspuncte , welche nicht mit Unendlichkeitspuncten zusammenfallen .
Die Wurzeln von \Psi = 0 geben die Unendlichkeitspuncte
des Integrals . Und zwar entspricht der einfachen
Wurzel von \Psi = 0 ein logarithmischer Unendlichkeitspunct ,
der Doppelwurzel ein Unendlichkeitspunct , der im Allgemeinen
die Ueberlagerung eines logarithmischen Unstetigkeitspunctes
mit einem einfachen algebraischen sein wird , etc . Wenn man
dementsprechend jeden Unendlichkeitspunct so oft zählt , als die
Multiplicität des entsprechenden Factors in \Psi beträgt , so ist
die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte um zwei Einheiten
geringer als die der Unendlichkeitspuncte . Uebrigens
sei noch an den bekannten Satz erinnert , dass die Summe
der logarithmischen Residua sämmtlicher Unstetigkeitspuncte
gleich Null ist . —
Das Vorstehende gibt uns eine zweifache Möglichkeit , um
höhere Unstetigkeitspuncte aus niederen entstehen zu lassen .
Wir können einmal — und diess ist für uns das Wichtigste — vom
Integral der rationalen Function ausgehen . Bei ihm
entsteht ein \nu -facher algebraischer Unstetigkeitspunct , wenn
\nu + 1 Factoren von \Psi einander gleich werden , wenn also
\nu + 1 logarithmische Unstetigkeitspuncte in geeigneter Weise
zusammenrücken . Dabei ist deutlich , dass die Residuensumme
der letzteren gleich Null sein muss , wenn der entstehende
Unendlichkeitspunct ein rein algebraischer sein soll . Die
folgenden beiden Figuren , in denen nur die Strömungscurven
angegeben sind , erläutern den betreffenden Gränzübergang für
den einfachen algebraischen Unstetigkeitspunct der Figur ( 4 ) :
Fig. 6 .
Fig. 7 .
Ich habe dabei die Anordnung in doppelter Weise getroffen ,
so dass linker Hand zwei Quellenpuncte , rechter
Hand zwei Wirbelpuncte einander nahe gerückt scheinen
und Figur 4 als übereinstimmendes Resultat des Gränzüberganges
in beiden Fällen erscheint . In derselben Beziehung
stehen die folgenden beiden Zeichnungen zu Figur 5 :
Fig. 8 .
Fig. 9 .
Die zweite Möglichkeit für das Entstehen höherer Unendlichkeitsstellen
aus niederen bietet die Betrachtung der
rationalen Function \dfrac{\varphi}{\psi} selbst . Logarithmische Unendlichkeitsstellen
bleiben dabei ausgeschlossen . Der \nu -fache algebraische
Unstetigkeitspunct entsteht jetzt aus \nu einfachen algebraischen
Unstetigkeitspuncten , indem nämlich \nu einfache lineare Factoren
von \psi zu einem \nu -fachen zusammenrücken müssen . Aber zugleich
vereinigt sich mit ihnen eine Anzahl von Kreuzungspuncten ,
deren Gesammtmultiplicität (\nu-1) beträgt . Denn
\psi \varphi^\prime - \varphi \psi^\prime = 0 erhält , wie schon bemerkt , in demselben
Augenblicke , wo \psi den \nu -fachen Factor bekommt , einen
(\nu-1) -fachen Factor . Die folgende Figur erläutert in diesem
Sinne das Entstehen des in Figur 5 abgeleiteten zweifachen
algebraischen Unendlichkeitspunctes :
Fig. 10 .
Es ist natürlich leicht , diese beiden Arten des Gränzüberganges
unter eine allgemeinere gemeinsam zu subsumiren .
Wenn man \nu+ \mu + 1 logarithmische Unendlichkeitspuncte
und \mu Kreuzungspuncte successive oder gleichzeitig zusammenfallen
lässt , so wird allemal ein \nu -facher algebraischer
Unstetigkeitspunct entstehen . Doch ist hier nicht der Ort ,
um diese Gedanken weiter auszuführen .
§. 4. Realisation der betrachteten Strömungen auf experimentellem Wege .
Wir wollen unserer Betrachtung nunmehr eine andere Wendung
geben , indem wir uns fragen , wie diejenigen Bewegungsformen ,
die wir jetzt von den rationalen Functionen und ihren
Integralen kennen , physikalisch realisirt werden mögen . Dabei
sei es gestattet , von dem Princip der Ueberlagerung ausgiebigen
Gebrauch zu machen , so dass es sich nur um Herstellung
der allereinfachsten Bewegungsformen handelt . Aus
der Theorie der Partialbrüche folgt , dass man jede der in
Betracht kommenden Functionen aus einzelnen Bestandtheilen
additiv zusammensetzen kann , welche sich unter einen der
folgenden beiden Typen subsumiren :
\[
A \cdot \log (z - z_{0}),\qquad \frac{A}{(a-z_0)^\nu} .
\]
Da \log(z-z_{0}) bei z = \infty einen Unstetigkeitspunct hat ,
was eine unnöthige Besonderheit ist , so wollen wir den ersten
Typus durch den allgemeineren ersetzen :
\[
a \cdot \log\frac{z-z_0}{z-z_1}
\]
und diesen selbst wieder , entsprechend den Erläuterungen des
§. 2 , in zwei Bestandtheile zerspalten , indem wir nämlich
A gleich A + i B setzen und nun
A \cdot\log\dfrac{z - z_0}{z - z_1} und
i B \cdot\log\dfrac{z - z_0}{z - z_1} gesondert betrachten . Hiernach haben wir
im Ganzen drei Fälle auseinanderzuhalten .
1 ) Wenn es sich um den Typus A \cdot\log\dfrac{z - z_0}{z - z_1} handelt ,
so haben wir bei z_0 eine Quelle von der Ergiebigkeit 2 A \pi ,
bei z_1 eine solche von der Ergiebigkeit -2 A \pi anzubringen .
Man denke sich zu dem Zwecke die XY -Ebene mit einer
unendlich dünnen , gleichförmigen , elektricitätsleitenden Schicht
überdeckt . Dann wird die entsprechende Bewegungsform
offenbar realisirt , indem wir bei z_0 den einen , bei z_1 den
anderen Pol einer galvanischen Batterie von zweckmässig gewählter
Stärke aufsetzen Man vergl. den grundlegenden Aufsatz von Kirchhoff im
64. Bande von Poggendorff's Annalen : Ueber den Durchgang eines
elektrischen Stromes durch eine Ebene ( 1845 ) .
. — Man sieht zugleich , wesshalb
das Residuum von z_0 demjenigen von z_1 entgegengesetzt
gleich sein muss : da der Strömungszustand stationär sein
soll , muss an der einen Stelle ebenso viel Elektricität zugeführt
werden , als an der anderen abströmt . Derselbe Grund
gilt , wie man sofort erkennt , für den entsprechenden Satz
bei beliebig vielen logarithmischen Unendlichkeitspuncten ,
wobei allerdings zunächst nur von den rein imaginären
Theilen der betreffenden Residua die Rede ist ( welche den
von den Unendlichkeitspunkten ausgehenden Quellenbewegungen
entsprechen ) .
2 ) Im zweiten Falle ( wo i B \cdot\log\dfrac{z - z_0}{z - z_1} gegeben ist )
wird die experimentelle Anordnung etwas schwieriger . Das
einfachste Schema ist dieses , dass man z_0 und z_1 durch eine
sich selbst nicht schneidende Curve verbindet und nun dafür
sorgt , dass diese Curve der Sitz einer constanten elektromotorischen
Kraft sei . Es entwickelt sich dann in der XY -Ebene
eine Strömung , welche bei z_0 und z_1 Wirbelpunkte aufweist ,
welche überall sonst stetig verläuft , und aus der man durch Integration
als zugehöriges Geschwindigkeitspotential eine Function
findet , welche bei jeder Umkreisung von z_0 oder z_1 um einen
gewissen Periodicitätsmodul wächst . Von diesem Geschwindigkeitspotential
ist dabei das nothwendig eindeutige elektrostatische
Potential wohl zu unterscheiden . Die Curve , welche
z_0 und z_1 verbindet , ist für das letztere eine Unstetigkeitscurve ,
und wird eben hierdurch die Eindeutigkeit des elektrostatischen
Potentials ermöglicht Die Behauptungen des Textes hängen , wie man weiss , auf das
Engste mit der Theorie der sogenannten Doppelbelegungen zusammen ,
wegen deren man Helmholtz in Poggendorffs Annalen Bd. 89 , p. 224 ff . ( Ueber
einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen
Leitern , 1853 ) sowie C. Neumann in dessen Buche : Untersuchungen
über das Logarithmische und Newton'sche Potential ( Leipzig ,
Teubner , 1877 ) vergleichen mag .
.
Fig. 11 .
Ich weiss nicht , ob es eine experimentelle Anordnung
giebt , um dieses einfachste Schema zu realisiren . Es scheint ,
dass man umständlicher zu Werke gehen muss . Denken wir
zuvörderst etwa an thermoelektrische Ströme . Wir wollen die
XY -Ebene zum Theil mit dem Materiale I , zum Theil mit dem
Materiale II überdecken
und die Stärke der überdeckenden
Schichten dabei
so bemessen , dass der
specifische Leitungswiderstand
überall derselbe sei .
Wenn wir dann dafür
sorgen , dass die beiden
durch z_0 und z_1 von einander
getrennten Theile der Contour , in welcher die zweierlei
Materialien zusammenstossen , beide auf constanten , unter
sich verschiedenen Temperaturen gehalten werden , so wird
in der That eine elektrische Strömung entstehen , wie wir
sie haben wollen . Dabei weist das elektrostatische Potential ,
nach den Vorstellungen , die man der Lehre von der Thermoelektricität
zu Grunde legt , an beiden Theilen der genannten
Contour Unstetigkeiten auf . — Noch complicirter scheint es ,
elektrische Ströme zu benutzen , wie sie die gewöhnlichen
galvanischen Elemente liefern . Man muss die Ebene dann
durch mindestens drei Curven , welche von z_0 nach z_1 verlaufen ,
in Theile zerlegen und zwei dieser Theile mit metallischen
Belegen , den dritten mit einem feuchten Leiter überdecken .
Man vergleiche hierzu die Figur 12 .
Fig. 12 .
Durch alle diese Anordnungen hindurch ist von Vorne
herein ersichtlich , dass die beiden bei z_0 und z_1 auftretenden
Wirbelpuncte in der
That entgegengesetzt
gleiche Intensität haben
müssen . Aus ähnlichen
Gründen wird
die Gesammtintensität
sämmtlicher Wirbel bei
beliebig vielen gegebenen
Wirbelpuncten immer
gleich Null sein ,
und ist dadurch der
Satz von dem Verschwinden
der Summe
aller logarithmischen
Residuen , auch was
den reellen Theil dieser Residuen angeht , auf physikalisch
evidente Gründe zurückgeführt .
3 ) Die Bewegungsformen , welche den algebraischen Typen
\frac{A}{(z - z_0)^\nu} entsprechen , mögen den Entwickelungen des §. 3
zufolge aus den eben betrachteten durch Grenzübergang gewonnen
werden . Es wird diess natürlich nur mit einer gewissen
Annäherung geschehen können . Man setze z. B.
(\nu + 1) Drähte , in welche die Pole einer galvanischen Batterie
auslaufen , dicht bei einander auf die XY -Ebene auf .
Dann entsteht eine Strömung , welche in einiger Entfernung
von den Drahtenden mit derjenigen merklich zusammenfällt ,
welche einem algebraischen Unstetigkeitspunkte von der Multiplicität
\nu entspricht . Zugleich ergiebt sich eine Ergänzung
unserer obigen Darstellung . Man wird die galvanische Batterie
sehr stark nehmen müssen , wenn bei der erwähnten
Anordnung noch eine mittlere elektrische Strömung zu Stande
kommen soll . Es entspricht diess dem von analytischer Seite
wohlbekannten Satze , dass die Residua logarithmischer Unendlichkeitspuncte
selbst in's Unendliche wachsen müssen ,
wenn beim Zusammenfallen der logarithmischen ein algebraischer
Unstetigkeitspunkt entstehen soll . — Ich gehe hier
in kein weiteres Detail , da es im Folgenden allein darauf ankommt ,
dass auf Grund der Figuren 6-9 das allgemeine
Princip verstanden wird .
§. 5. Uebergang zur Kugelfläche , Strömungen auf beliebigen krummen Flächen .
Um die unendlich grossen Werthe von z derselben geometrischen
Behandlungsweise zugänglich zu machen , wie die
endlichen , bedient man sich in den Lehrbüchern jetzt allgemein
der Kugelfläche Nach dem Vorgänge von C. Neumann , Vorlesungen über
Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale , Leipzig , 1865 . — Die Einführung
der Kugelfläche läuft sozusagen der Ersetzung von z durch
das Verhältniss \dfrac{z_1}{z_2} zweier Variabler parallel , wodurch , wie man weiss ,
die Behandlung unendlich grosser Werthe von z auch formal unter
die der endlichen Werthe subsumirt wird .
, welche stereographisch auf die
XY -Ebene bezogen ist . Man kennt die einfachen geometrischen
Beziehungen , welche bei dieser Abbildung auftreten Unter \xi , \eta , \zeta rechtwinklige Coordinaten verstanden , sei die
Gleichung der Kugel \xi^2 + \eta^2 + (\zeta - \tfrac{1}{2})^2 = \tfrac{1}{4} . Projectionspunct sei
\xi = 0 , \eta = 0 , \zeta = 1 , Projectionsebene ( XY - Ebene ) die gegenüberliegende
Tangentialebene ( die \xi\eta - Ebene ) . Dann folgt :
\[
\xi = \frac{x}{x^2 + y^2 + 1},\qquad
\eta = \frac{y}{x^2 + y^2 + 1},\qquad
\zeta = \frac{1}{x^2 + y^2 + 1}.
\]
Bezeichnet man mit ds das Bogenelement der Ebene , mit d\sigma das
entsprechende Bogenelement der Kugel , so kommt :
\[
d\sigma = \frac{ds}{x^2 + y^2 + 1},
\]
eine Formel , welche für das Folgende insofern besonders wichtig ist ,
als sie die Abbildung als eine conforme charakterisirt .
.
Man weiss auch zur Genüge , dass das Unendlich-Weite der
Ebene sich in einen bestimmten Punct der Kugel , den Projectionspunct ,
zusammenzieht , so dass es keine symbolische
Ausdrucksweise mehr ist , wenn man auf der Kugel von einem
Puncte z = \infty spricht . Dagegen scheint es noch immer
weniger bekannt zu sein , dass bei dieser Abbildung die
Functionen von x + iy eine Bedeutung für die Kugelfläche
gewinnen , welche derjenigen , die sie für die Ebene hatten ,
genau analog ist , dass man also in den Entwickelungen der
vorangehenden Paragraphen statt der Ebene die Kugel gebrauchen
kann , wobei von einer Sonderstellung des Werthes
z = \infty von vorne herein keine Rede ist Man vergleiche hierzu und zu den folgenden Entwickelungen :
Beltrami , Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque ;
Annali di Matematica , ser. 2 , t. I , p. 329 ff . — Die besondere Bemerkung ,
dass Oberflächenpotentiale bei conformer Abbildung ebensolche
bleiben , findet sich in den in der Vorrede citirten Schriften von C. Neumann ,
Kirchhoff und Töpler , dann auch z. B. bei Haton de la
Goupillière : Méthodes de transformation en Géométrie et en Physique
Mathématique , Journal de l' Ecole Polytechnique , t. XXV , 1867 ( p. 169 ff. ) .
: Ich entwickele hier
kurz diejenigen Sätze der Flächentheorie , aus denen diese
Behauptung folgt , und nehme meinen Standpunct dabei gleich
so allgemein , dass meine Darstellung für später anzustellende
Betrachtungen ausreicht .
Indem wir Flüssigkeitsbewegungen parallel der XY -Ebene
studirten , haben wir uns bereits gewöhnt , die Flüssigkeitsschicht ,
welche der Betrachtung unterliegt , als unendlich dünn
vorauszusetzen . In demselben Sinne kann man Flüssigkeitsbewegungen
offenbar auf beliebig gegebenen Flächen betrachten .
Die Verschiebungen frei ausgespannter Flüssigkeitsmembranen
in sich , wie man sie bei den Plateau'schen
Versuchen so schön beobachten kann , geben ein anschauliches
Beispiel dafür . — Wir werden versuchen , auch derartige Bewegungen
durch ein Potential zu definiren , und vor allen
Dingen fragen , welche Bewandniss es dann mit den stationären
Bewegungen hat .
Die zweckmässige Verallgemeinerung des Potentialbegriffs
bietet sich unmittelbar . Es sei u eine Function des Ortes
auf der Fläche , so denke man sich auf letzterer die Curven
u = Const . gezogen . Sodann werde festgesetzt , dass die
Flüssigkeitsbewegung auf der Fläche in jedem Punkte senkrecht
gegen die hindurchgehende Curve u = Const . stattfinden
solle , und zwar mit einer Geschwindigkeit , die , unter dn das
Bogenelement der zugehörigen , auf der Fläche verlaufenden
Normalrichtung verstanden , gleich \dfrac{du}{dn} ist . Wir nennen
dann u , wie in der Ebene , das zur Bewegung gehörige Geschwindigkeitspotential .
Die in solcher Weise definirte Strömung soll nun eine
stationäre sein . Um eine bestimmte Formel zu haben , wollen
wir ein krummliniges Coordinatensystem p , q auf unserer
Fläche annehmen und uns die Form bestimmt denken :
\[
\tag{1}
ds^2 = E\;dp^2 + 2\;F\;dp\;dq + G\;dq^2,
\]
welche vermöge dieses Coordinatensystems das Bogenelement
auf der Fläche annimmt . Dann gibt eine einfache Zwischenbetrachtung ,
welche der in der Ebene üblichen durchaus analog
verläuft , dass u , um eine stationäre Bewegung zu veranlassen ,
der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen
muss :
\[
\tag{2}
\dfrac{\partial
\dfrac{F
\dfrac{\partial{u}}
{\partial{q}}-
G\dfrac{\partial{u}}
{\partial{p}}}
{\sqrt{EG - F^2}}}
{\partial{p}} +
\dfrac{\partial
\dfrac{F
\dfrac{\partial{u}}
{\partial{p}}-
E\dfrac{\partial{u}}
{\partial{q}}}
{\sqrt{EG - F^2}}}
{\partial{q}} = 0.
\]
An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze
Ueberlegung , welche die volle Analogie mit den auf die
Ebene bezüglichen Resultaten herstellt .
Es ergiebt sich nämlich aus der Form von ( 2 ) ; dass
man neben jedem u , welches ( 2 ) genügt , eine andere Function
v einführen kann , die zu u genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse
steht . In der That , vermöge ( 2 ) sind
die folgenden beiden Gleichungen verträglich :
\[
\tag{3}
\left\{
\begin{aligned}
\dfrac{\partial{v}}{\partial{p}} =
\dfrac{F
\dfrac{\partial{u}}
{\partial{p}}-
E\dfrac{\partial{u}}
{\partial{q}}}
{\sqrt{EG - F^2}},
\\[1em]
\dfrac{\partial{v}}{\partial{q}} =
\dfrac{G
\dfrac{\partial{u}}
{\partial{p}}-
F\dfrac{\partial{u}}
{\partial{q}}}
{\sqrt{EG - F^2}};
\end{aligned}
\right.
\]
sie definiren ein v bis auf eine nothwendig unbestimmt
bleibende Constante . Aus ihnen aber folgt durch Auflösung :
\[
\tag{4}
\left\{
\begin{aligned}
- \frac{\partial{u}}{\partial{p}} =
\dfrac{F
\dfrac{\partial{v}}
{\partial{p}}-
E\dfrac{\partial{v}}
{\partial{q}}}
{\sqrt{EG - F^2}},
\\[1em]
- \dfrac{\partial{u}}{\partial{q}} =
\dfrac{G
\dfrac{\partial{v}}
{\partial{p}}-
F\dfrac{\partial{v}}
{\partial{q}}}
{\sqrt{EG - F^2}};
\end{aligned}
\right.
\]
und hieraus :
\[
\tag{5}
\dfrac{\partial
\dfrac{F
\dfrac{\partial{v}}
{\partial{q}}-
G\dfrac{\partial{v}}
{\partial{p}}}
{\sqrt{EG - F^2}}}
{\partial{p}} +
\dfrac{\partial
\dfrac{F
\dfrac{\partial{v}}
{\partial{p}}-
E\dfrac{\partial{v}}
{\partial{q}}}
{\sqrt{EG - F^2}}}
{\partial{q}} = 0.
\]
so dass einmal u sich zu v verhält , wie v zu -u , und
andererseits v , so gut wie u , der partiellen Differentialgleichung
( 2 ) genügt . Zugleich haben die Gleichungen ( 3 ) ,
bez. ( 4 ) , die geometrische Bedeutung , dass die Curven
u = Const . und v = Const . einander im Allgemeinen rechtwinkelig
schneiden .
Was nun die Behauptung betrifft , die ich hinsichtlich
der stereographischen Beziehung der Kugel auf die Ebene
zu Eingang dieses Paragraphen voranstellte , so ist sie ein
unmittelbarer Ausfluss aus dem Umstande , dass die Gleichungen
(2)$--$(5) in E , F , G homogen von der nullten Dimension
sind Es ist übrigens nicht schwer , sich auch ohne alle Formel von
der Richtigkeit jener Behauptung Rechenschaft zu geben ; man sehe
die wiederholt citirten Arbeiten von C. Neumann und Töpler .
.
Wenn zwei Flächen conform auf einander bezogen
sind und man führt auf ihnen entsprechende krummlinige
Coordinaten ein , so unterscheidet sich der Ausdruck für das
Bogenelement auf der einen Fläche von dem auf die andere
Fläche bezüglichen nur durch einen Faktor . Dieser Factor
aber fällt aus dem angegebenen Grunde aus den Gleichungen
( 2 )—(5 ) einfach heraus . Wir haben also einen allgemeinen
Satz , der die besondere auf Kugel und Ebene bezügliche ,
oben ausgesprochene Behauptung als speciellen Fall
umfasst . Indem ich aus u , v die Combination u + iv bilde
und diese als complexe Function des Ortes auf der Fläche bezeichne ,
spricht sich derselbe folgendermassen aus :
Wird eine Fläche conform auf eine zweite abgebildet , so
verwandelt sich jede auf ihr existirende complexe Function des
Ortes in eine Function derselben Art auf der zweiten Fläche .
Vielleicht ist es nützlich , ausdrücklich einem Missverständnisse
entgegenzutreten , welches hierbei entstehen könnte .
Derselben Function u + iv entspricht eine Flüssigkeitsbewegung
auf der einen und auf der anderen Fläche ; man
könnte meinen , dass die eine Bewegung vermöge der Abbildung
aus der anderen hervorgehe . Dies ist natürlich
richtig mit Bezug auf den Verlauf der Strömungscurven und
der Niveaucurven , keineswegs aber in Bezug auf die Geschwindigkeit .
Wo das Bogenelement der einen Fläche grösser
ist , als das Bogenelement der anderen Fläche , da ist die Geschwindigkeit
der Strömung entsprechend kleiner . Hierin
eben liegt es , dass der Werth z = \infty auf der Kugel seine
singuläre Stellung verliert . Für den Unendlichkeitspunct der
Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung , wie
man sofort sieht , im Allgemeinen als unendlich klein von
der zweiten Ordnung . Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär
sein , so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen
kleiner , als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden
Punkt des Endlichen . Man erinnere sich nun
der oben ( unter dem Texte ) mitgetheilten Formel :
\[
d\sigma = \frac{ds}{x^2 + y^2 + 1},
\]
welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der
Ebene in Beziehung setzt . Hier ist x^2 + y^2 + 1 eben auch
eine Grösse zweiter Ordnung , und es findet daher beim
Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt .
§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes .
Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen
gewonnen haben , übertragen wir auf sie , was wir in den
§§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale
haben kennen lernen . Wir gewinnen dadurch , dass
alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses z
und somit ausnahmslos gelten . Um so interessanter wird es ,
sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen
zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen
Realisirbarkeit nachzudenken Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem
Charakter gibt die Ikosaedergleichwng ( siehe Mathematische
Annalen , Bd. XII , p. 502 ff. ) . Dieselbe lautet , wie man weiss :
\[
w = \frac{\left(-(z^{20} + 1) + 228(z^{15} - z^5) - 494z^{10}\right)^3}
{1728z^5(z^{10} + 11z^5 - 1)^5}
\]
ist also ( für z ) eine Gleichung vom sechszigsten Grade . Die Unendlichkeitspunkte
von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen , welche
die Ecken eines Ikosaeders sind , das der Kugel , auf welcher wir z
deuten , einbeschrieben ist . Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders
entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke .
Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch w = o gegeben
und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei
für die Function w dar . Hiernach kennt man ( unter Einrechnung der
Unendlichkeitspuncte ) von den 2 \cdot 60 - 2 = 118 Kreuzungspuncten bereits
4 \cdot 12 + 2 \cdot 20 = 88 . Die 30 noch fehlenden werden durch die
Halbirungspuncte der 30 Kanten , die jenen 20 sphärischen Dreiecken
angehören , geliefert .
Fig. 13 .
Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener
20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven ; auf den
19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso .
. Aber es ist eine
andere wichtige Frage , welche sich bei solchen Untersuchungen
aufdrängt . Die verschiedenen Functionen des Ortes ,
welche wir auf der Kugelfläche studiren , sind zugleich Functionen
des Argumentes x + iy . Woher dieser Zusammenhang ?
Man wolle vor allen Dingen bemerken , dass x + iy
selbst eine complexe Function des Ortes auf unserer Kugel
ist ; genügen doch x und y , für u und v eingesetzt , den früher
( §. 1 ) für letztere aufgestellten Differentialgleichungen . So
lange man in der Ebene operirt , könnte man denken , dass
diese Function vor den übrigen etwas Wesentliches voraus
habe ; nach dem Uebergange zur Kugel ist hierzu keine Veranlassung
mehr . Und in der That verallgemeinert sich die
Bemerkung , auf die sich unsere Frage bezieht , sofort . Wenn
u_1 + iv_1 und u + iv Functionen von x + iy sind , so ist
auch u_1 + iv_1 eine Function von u + iv Wir haben also
für Ebene und Kugelfläche den allgemeinen Satz : dass von
zwei complexen Functionen des Ortes im Sinne der gewöhnlichen
functionentheoretischen Ausdrucksweise jede eine Function
der anderen ist .
Wird dieses nun eine besondere Eigenthümlichkeit der genannten
Flächen sein ? Sicher wird sich dieselbe auf alle
solche Flächen übertragen , die man auf einen Theil der Ebene
( oder der Kugel ) conform beziehen kann . Diess folgt aus dem
letzten Satze des vorigen Paragraphen . Ich sage aber , dass
dieselbe Eigenthümlichkeit überhaupt allen Flächen zukommt ,
womit implicite behauptet wird , dass man einen Theil einer
beliebigen Fläche auf die Ebene oder die Kugelfläche conform
übertragen kann .
Der Beweis gestaltet sich unmittelbar , wenn man die
Bestandteile x,y irgend einer auf einer Fläche existirenden
complexen Function des Ortes , x + iy , auf der Fläche selbst
als krummlinige Coordinaten einführt . Dann müssen nämlich
die Coëfficienten E , F , G in dem Ausdrucke des Bogenelementes
so beschaffen werden , dass Identitäten entstehen ,
wenn man in die Gleichungen ( 2 )-(5 ) des vorigen Paragraphen
für p und q und gleichzeitig für u und v bez. x und y einführt .
Diess bedingt , wie man sofort ersieht , dass F = o ,
E = G wird . Hierdurch aber verwandeln sich jene Gleichungen
in die wohlbekannten :
\[
\frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}} +
\frac{\partial^2{u}}{\partial{y^2}} = 0;\qquad
\frac{\partial{u}}{\partial{x}} =
\frac{\partial{v}}{\partial{y}},\qquad
\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = -
\frac{\partial{v}}{\partial{x}};\text{ etc.}
\]
Sie gehen also direct in jene Gleichungen über , durch welche
man Functionen des Argumentes (x + iy) zu definiren pflegt ,
so dass u + iv in der That eine Function von x + iy wird ,
was zu beweisen war .
Zugleich erledigt sich , was hinsichtlich conformer Abbildung
behauptet wurde . Denn ans der Form des Bogenelementes
\[
ds^2 = E (dx^2 + dy^2)
\]
folgt unmittelbar , dass unsere Fläche durch x+iy auf die
XY -Ebene conform übertragen wird . Ich will dieses Resultat
in etwas allgemeinerer Form aussprechen , indem
ich sage :
Wenn man auf zwei Flächen zwei complexe Functionen
des Ortes kennt , und man bezieht die Flächen so aufeinander ,
dass entsprechende Puncte respective gleiche Functionswerthe
aufweisen , so sind die Flächen conform auf einander
bezogen .
Es ist dies die Umkehr des ähnlich lautenden am Schlusse
des vorigen Paragraphen aufgestellten Satzes .
Alle diese Theoreme haben , soweit sie sich auf beliebige
Flächen beziehen , für's Erste nur dann einen klaren Sinn ,
wenn man seine Aufmerksamkeit auf kleine Stücke der
Flächen beschränkt , innerhalb deren die complexen Functionen
des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspuncte
aufweisen . Ich habe desshalb gelegentlich auch nur von einem
Flächen theile gesprochen . Aber es liegt nahe , zu fragen , wie
sich die Verhältnisse gestalten , wenn man geschlossene
Flächen in ihrer ganzen Ausdehnung benutzt . Diese Frage
ist mit der weiteren Ideenentwickelung , die ich im folgenden
zu geben habe , auf das Innigste verknüpft ; ihr speciell sind
die §§ . 19—21 des Folgenden gewidmet .
§ . 7. Noch einmal die Strömungen auf der Kugel . Riemann's allgemeine Fragestellung .
Wir haben nunmehr alle Vorbedingungen , um die Entwickelungen
der ersten Paragraphen dieser Einleitung in
wesentlich neuer Weise aufzufassen und uns vermöge dieser
Auffassung zu einer grossen und allgemeinen Fragestellung
zu erheben , welche die Riemann'sche ist , und deren Präcisirung
und Beantwortung den eigentlichen Gegenstand der
gegenwärtigen Schrift zu bilden hat .
Das Primäre bei der bisherigen Darstellung bildete die
Function von x + iy . Wir haben dieselbe durch eine stationäre
Strömung auf der Kugel gedeutet , und uns bemüht ,
Eigenschaften der Function in solchen der Strömung wieder
zu erkennen . Insbesondere haben uns die rationalen Functionen
und ihre Integrale mit einer einfachen Art von Strömungen
bekannt gemacht : es sind die einförmigen Strömungen ,
diejenigen , bei denen in jedem Puncte der Kugel nur
eine Strömung statt hat . Und zwar sind es unter der Voraussetzung ,
dass keine anderen Unstetigkeitspuncte statt haben ,
als die in §. 2 definirten , die allgemeinsten einförmigen Strömungen ,
welche es auf der Kugel gibt .
Es scheint von Vorneherein möglich , diese ganze Entwickelung
umzukehren : das Studium der Strömungen voranzustellen
und aus ihm erst die Theorie gewisser analytischer
Functionen zu entwickeln . Die Frage nach der allgemeinsten
in Betracht kommenden Strömung mag dann vorab durch
physikalische Betrachtungen beantwortet werden ; geben uns
doch die experimentellen Anordnungen des §. 4 zusammen
mit dem Princip der Ueberlagerung das Mittel , um jede derartige
Strömung zu definiren ! Die einzelne Strömung bestimmt
uns sodann , von einer Integrationsconstante abgesehen ,
eine complexe Function des Ortes , deren allgemeinen Verlauf
wir anschauungsmässig verfolgen können . Jede solche Function
ist eine analytische Function jeder anderen . Indem wir
irgend zwei complexe Functionen des Ortes zusammenstellen ,
werden wir zu analytischen Abhängigkeiten hingeführt , deren
Eigenschaften wir von Vorneherein übersehen und die wir
erst hinterher , um den Zusammenhang mit den Betrachtungen
der Analysis herzustellen , mit sonst in der Analysis üblichen
Abhängigkeiten identificiren .
Alles dieses ist so deutlich , dass eine genauere Ausführung
hier überflüssig erscheint , dass wir vielmehr sofort zu
der in Aussicht gestellten Verallgemeinerung schreiten können .
Auch diese bietet sich auf Grund der bisherigen Entwickelungen
fast mit Nothwendigkeit . Wir werden alle die Fragen ,
welche wir gerade hinsichtlich der Kugelfläche formulirten ,
in gleicher Weise aufwerfen können , wenn statt der Kugelfläche
eine beliebige geschlossene Fläche gegeben ist . Auch auf
ihr werden wir einförmige Strömungen und also complexe
Functionen des Ortes bestimmen können , deren Eigenschaften
wir anschauungsmässig erfassen . Die gleichzeitige Betrachtung
verschiedener Functionen des Ortes verwandelt hernach
die zu gewinnenden Ergebnisse in ebenso viele Lehrsätze der
gewöhnlichen Analysis . — Die Ausführung dieses Gedankenganges
ist die Riemann'sche Theorie ; zugleich haben wir die
Haupteintheilung , welche bei der folgenden Exposition derselben
zu Grunde zu legen ist .
Abschnitt II. - Exposition der Riemann'schen Theorie .
§. 8. Classification geschlossener Flächen nach der Zahl p . Die in diesem Paragraphen gegebene Darstellung weicht von
der durch Riemann selbst gegebenen zumal dadurch ab , dass Flächen
mit Randcurven vorab überhaupt nicht in Betracht gezogen werden
und also statt der Querschnitte , die von einem Randpuncte zu einem
zweiten laufen , sogenannte Rückkehrschnitte zur Verwendung gelangen
( vgl. C. Neumann , Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen
Integrale , p. 291 ff. ) .
Für unsere Betrachtungen sind selbstverständlich alle diejenigen
geschlossenen Fächen als aequivalent aufzufassen ,
die sich durch eindeutige Zuordnung conform auf einander
abbilden lassen . Denn jede complexe Function des Ortes auf
der einen Fläche wird sich bei einer solchen Abbildung in
eine ebensolche Function auf der anderen Fläche verwandeln :
die analytische Beziehung also , welche durch das Zusammenbestehen
zweier complexer Functionen auf der einen Fläche
versinnlicht wird , bleibt beim Uebergange zur zweiten Fläche
durchaus ungeändert . Wenn man also z. B. ( zufolge bekannter
Entwickelungen ) das Ellipsoid derart conform auf die Kugel
beziehen kann , dass jedem Puncte desselben ein und nur ein
Kugelpunct entspricht , so heisst diess für uns , dass das
Ellipsoid ebenso geeignet ist , die rationalen Functionen und
ihre Integrale zu repräsentiren , wie die Kugel .
Um so wichtiger ist es , ein Element kennen zu lernen ,
welches nicht nur bei conformer , sondern überhaupt bei
eindeutiger Umgestaltung einer Fläche ungeändert erhalten
bleibt Es ist immer nur an Umformung durch stetige Functionen gedacht .
Ueberdies sollen bei den willkürlichen Flächen des Textes bis
auf Weiteres gewisse besondere Vorkommnisse ausgeschlossen sein .
Es ist am Besten , sich dieselben ohne alle singuläre Puncte zu denken ;
erst später kommen Verzweigungspuncte und damit Selbstdurchsetzungen
der Fläche in Betracht ( §. 13 ) . Die Flächen dürfen jedenfalls keine
Doppelflächen sein , bei denen man von einer Flächenseite durch continuirliches
Fortschreiten auf der Fläche zur anderen Flächenseite gelangen
kann ; man vergleiche indess §. 23. Ueberdiess wird vorausgesetzt — wie
man es immer thut , wenn man sich eine geschlossene
Fläche als fertig gegeben denkt — dass die Fläche durch eine endliche
Zahl von Schnitten in einfach zusammenhängende Theile zerlegt
werden kann .
. Es ist diess das Riemann 'sche p : die Zahl der
Rückkehrschnitte , welche man auf einer Fläche ziehen kann ,
ohne sie zu zerstücken . Die einfachsten Beispiele genügen ,
um diesen Begriff einzuüben . Für die Kugel ist p = 0 ; denn
sie zerfällt durch jede auf ihr verlaufende geschlossene Curve ,
in zwei getrennte Bereiche . Für den gewöhnlichen Ring ist
p = 1 , man kann ihn längs einer , aber auch nur längs einer ,
übrigens noch sehr willkürlichen , in sich zurücklaufenden
Curve zerschneiden , ohne dass er in Stücke zerfällt .
Dass es unmöglich ist , zwei Flächen von verschiedenem
p eindeutig auf einander zu beziehen , scheint evident Damit soll keineswegs gesagt sein , dass diese Art geometrischer
Evidenz nicht noch der näheren Untersuchung bedürftig sei . Man
vergleiche die Erläuterungen von G. Cantor in Borchardt's Journal ,
Bd. 84 , p. 242 ff . Es bleiben inzwischen diese Untersuchungen von den
Darlegungen des Textes ausgeschlossen , da es für letztere Princip ist ,
auf anschauungsmässige Verhältnisse als letzte Begründung zu recurriren .
.
Complicirter ist es , den umgekehrten Satz zu beweisen , dass
nämlich die Gleichheit des p die hinreichende Bedingung für
die Möglichkeit der eindeutigen Beziehung zweier Flächen abgibt .
Ich muss mich , was den Beweis dieses wichtigen Satzes
angeht , an dieser Stelle auf blosse Citate unter dem Texte
beschränken Man sehe C. Jordan : Sur la déformation des surfaces in
Liouville's Journal , ser. 2 , Bd. 11 ( 1866 ) . Einige Puncte , die mir besonderer
Aufklärung zu bedürfen schienen , sind in den mathematischen
Annalen , Bd. VII , p. 529 , und Bd. IX , p. 476 , besprochen .
.
Auf Grund desselben ist man berechtigt , bei
Untersuchungen über geschlossene Flächen , so lange nur allgemeine
Lagenverhältnisse in Betracht kommen , für jedes p
einen möglichst einfachen Typus zu Grunde zu legen . In
diesem Sinne wollen wir von Normalflächen sprechen . Für
quantitative Bestimmungen reichen die Normalflächen natürlich
in keiner Weise mehr aus ; aber sie bieten auch für sie
ein Mittel zur Orientirung .
Die Normalfläche für p = 0 sei die Kugel , für p = 1
der Ring . Bei höherem p mag man sich eine Kugel mit p
Anhängseln ( Handhaben ) versehen denken , wie folgende Figur
für p = 3 aufweist : ( see figure 14 )
Fig. 14 .
Eine ähnliche Normalfläche ist natürlich auch bei p = 1
statthaft , wie überhaupt man sich diese Flächen nicht als
starr gegeben , sondern als beliebiger Verzerrungen fähig
denken muss .
Auf diesen Normalflächen mögen nun gewisse Querschnitte ,
von denen wir im Folgenden Gebrauch zu machen haben ,
festgelegt werden . Bei p = 0 kommen dieselben noch nicht
in Betracht . Auf dem Ringe p = 1 mag eine „ Meridiancurve “
A , verbunden mit einer " Breitencurve " B das Querschnittsystem
bilden :
Fig. 15 .
Allgemein gebrauchen wir 2p Querschnitte . Es wird ,
denke ich , mit Rücksicht auf die folgende Figur verständlich
sein , wenn ich bei der einzelnen Handhabe unserer Normalfläche
von einer Meridiancurve und einer Breitencurve rede :
Fig. 16 .
Wir wählen die 2p Querschnitte derart , dass wir um jede
der p Handhaben eine Meridiancurve und eine Breitencurve
herumlegen . Wir wollen diese Querschnitte der Reihe nach mit
A_1 , A_2 , \dotsc A_p , beziehungsweise B_1 , B_2 , \dotsc B_p bezeichnen .
§. 9. Vorläufige Bestimmung stationärer Strömungen auf beliebigen Flächen .
Wir haben uns nun mit der Aufgabe zu beschäftigen ,
auf beliebigen ( geschlossenen ) Flächen die allgemeinsten einförmigen ,
stationären Strömungen mit Geschwindigkeitspotential
zu definiren , immer unter der Voraussetzung , dass
keine anderen Unendlichkeitspuncte zugelassen werden sollen ,
als die in §. 2 genannten Die Definition dieser Unendlichkeitspuncte bezog sich zunächst
nur auf die Ebene , bez. die Kugel . Aber es ist wohl klar , wie dieselbe
auf beliebige krumme Flächen zu übertragen ist : die Verallgemeinerung
ist so zu treffen , dass wir auf die alten Unendlichkeitspuncte
zurückkommen , wenn wir die Fläche und die stationären
Strömungen auf ihr durch conforme Abbildung auf die Ebene übertragen . — In
dieser Beschränkung hinsichtlich der Art der Unendlichkeitspuncte
liegt auch , wie ich hier nicht ausführen kann , dass nur
eine endliche Zahl von Unendlichkeitspuncten bei unseren Strömungen
möglich ist . Desgleichen folgt aus unseren Prämissen , wie beiläufig
hervorgehoben sei , dass von Kreuzungspuncten bei unseren Strömungen
jedenfalls auch nur eine endliche Zahl auftritt .
. Zu dem Zwecke richten wir
unsere Ideen auf die Normalflächen des vorigen Paragraphen
und benutzen übrigens wieder Vorstellungen der Elektricitätslehre .
Die gegebene Fläche denken wir uns mit einem unendlich
dünnen gleichförmigen Ueberzuge einer leitenden
Substanz versehen , und wenden zunächst diejenigen experimentellen
Mittel an , die uns von §. 3 her bekannt sind .
Wir werden also zuvörderst etwa die beiden Pole einer galvanischen
Batterie auf unsere Fläche an zwei beliebigen
Stellen aufsetzen : es entsteht dann eine Strömung , welche
diese beiden Stellen als Quellenpuncte von entgegengesetzt
gleicher Ergiebigkeit besitzt . Wir werden sodann zwei beliebige
Puncte der Fläche durch eine oder mehrere , neben
einander herlaufende , sich selbst nicht schneidende Curven
verbinden , welche der Sitz constanter elektromotorischer
Kräfte sein sollen , — wobei man sich alles Dessen erinnern
mag , was in §. 4 betreffs der dann nothwendig werdenden
experimentellen Anordnung gesagt wurde . Wir erhalten dann
eine stationäre Bewegung , für welche die beiden Puncte Wirbelpuncte
von entgegengesetzt gleicher Intensität sind . — Wir
werden ferner verschiedene solche Bewegungsformen überlagern
und endlich , wenn es nöthig scheint , getrennte Unendlichkeitspuncte
durch Gränzübergang zu höheren Unendlichkeitspuncten
zusammenfallen lassen . Alles das gestaltet
sich genau so , wie auf der Kugel , und wir haben also jedenfalls
den folgenden Satz :
Wenn man die Art der Unendlichkeitsstellen nach Anleitung
des §. 2 beschränkt , wenn man ferner daran festhält ,
dass die Summe sämmtlicher logarithmischer Residua allemal
gleich Null sein muss , so existiren auf unserer Fläche complexe
Functionen des Ortes , welche an beliebig gegebenen Stellen
in übrigens beliebig gegebener Weise unendlich werden und
überall sonst stetig verlaufen .
Mit den so bestimmten Functionen ist nun aber , für
p > 0 , die Sache noch keineswegs erschöpft . Wir können
nämlich eine experimentelle Anordnung treffen , für welche
auf der Kugel noch keinerlei Möglichkeit gegeben war . Es
gibt jetzt auf der Fläche in sich zurücklaufende Curven , vermöge
deren die Fläche keineswegs in getrennte Bereiche zerlegt
wird . Nichts steht im Wege , dass die Elektricität von
der einen Seite einer solchen Curve durch die Fläche hindurch
zur anderen Seite derselben hinüberströmt . Wir werden
eine solche Curve , oder auch mehrere neben einander herlaufende
Curven dieser Art ebensogut als Sitz constanter elektromotorischer
Kräfte betrachten können , wie diess in §. 4 mit Curvenzügen
geschah , die von einem Endpuncte zu einem zweiten hinlaufen .
Die Strömungen , welche wir dann erhalten , haben überhaupt
keine Unstetigkeiten . Wir werden sie als überall endliche
Strömungen und die zugehörigen complexen Functionen
des Ortes als überall endliche Functionen bezeichnen können .
Diese Functionen sind nothwendig unendlich vieldeutig . Denn
sie erhalten jeweils einen reellen , der angenommenen elektromotorischen
Kraft proportionalen Periodicitätsmodul , so oft
man die gegebene Curve in demselben Sinne überschreitet Ueber die Periodicität des imaginären Theil's der Function soll
hiermit keinerlei Verfügung getroffen sein . In der That ist v bei gegebenem
u durch die Differentialgleichungen ( 1 ) der pag. 1 bis auf eine additive
Constante vollständig bestimmt und es unterliegen also die Periodicitätsmoduln ,
welche v an den Querschnitten A_i , B_i besitzen mag ,
keinerlei willkürlicher Festsetzung .
Wir fragen , wie mannigfach die so definirten überall
endlichen Strömungen sein mögen . Offenbar sind zwei auf
derselben Fläche verlaufende Curven , als Sitz gleich starker
elektromotorischer Kräfte betrachtet , für unseren Zweck aequivalent ,
wenn sie sich durch stetige Verschiebung über die
Fläche hin zur Deckung bringen lassen . Verzerrt man eine
Curve so , dass Curvenstücke auftreten , welche zweimal in
entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden , so dürfen
dieselben einfach weggelassen werden . In Folge dessen beweist
man , dass eine jede geschlossene Curve einer ganzzahligen
Combination der Querschnitte A_i , B_i , wie diese im vorigen
Paragraphen definirt wurden , aequivalent ist .
Fig. 17 .
Fig. 18 .
In der That , man verfolge den Weg einer geschlossenen
Curve auf unserer Normalfläche Einen anderen Beweis siehe bei C. Jordan : Des contours tracés
sur les surfaces , in Liouville's Journal , ser. 2 , Bd. 11 ( 1866 ) .
.
Für p = 1 wird die
Richtigkeit unserer Behauptung dann unmittelbar evident .
Es genügt , ein Beispiel zu betrachten , wie es in den vorstehenden
Figuren vorliegt .
Die in Figur 17 auf der Ringfläche verlaufende Curve
ist mit der anderen , welche rechter Hand gezeichnet ist ,
durch blosse Verzerrung zur Deckung zu bringen , sie ist
also mit einer dreifachen Durchlaufung der Meridiancurve A
( vergl. Fig. 15 ) und einer einfachen Durchlaufung der Breitencurve
B aequivalent . — Sei ferner p > 1 . So oft dann unsere
Curve über eine der p Handhaben verläuft , kann man ein
Stück von ihr abtrennen , das sich durch blosse Verzerrung
in eine ganzzahlige Verbindung der betreffenden Meridiancurve
und der zugehörigen Breitencurve verwandeln lässt .
Nach Absonderung aller solcher Bestandtheile bleibt eine
geschlossene Curve übrig , die sich entweder unmittelbar in
einen einzelnen Punct der Fläche zusammenziehen lässt und
also jedenfalls keinen Beitrag zur elektrischen Strömung
liefert , oder die eine oder mehrere Handhaben völlig umschliesst ,
wovon Figur 19 ein Beispiel aufweist :
Fig. 19 .
Fig. 20 .
Die Figur 20 erläutert , wie man eine solche Curve durch
Deformation verändern kann . Durch Fortsetzung des hierdurch
angedeuteten Processes verwandelt sie sich in einen
Curvenzug , der aus der inneren Randcurve der betreffenden
Handhabe und einer zugehörigen Meridiancurve besteht , dessen
Stücke aber beide zweimal in entgegengesetzter Richtung
durchlaufen werden . Also auch eine solche Curve gibt keinen
Beitrag zur Strömung . Man hätte dieses übrigens auch von
Vorneherein aus der Bemerkung ersehen können , dass die
jetzt betrachtete Curve , gleich einer solchen , die sich in einen
Punct zusammenziehen lässt , die gegebene Fläche in getrennte
Gebiete zerlegt .
Wir erzielen daher durch Heranziehen beliebiger geschlossener
Curven nicht mehr , als durch geeignete Benutzung
der 2p Curven A_i , B_i . Die allgemeinste überall endliche
Strömung , welche wir hervorrufen können , wird entstehen ,
wenn wir jeden der 2p Querschnitte zum Träger einer beliebigen
constanten elektromotorischen Kraft machen . Oder
anders ausgedrückt :
Die allgemeinste von uns zu construirende überall endliche
Function ist diejenige , deren reeller Theil an den 2p Querschnitten
beliebig vorgegebene Periodicitätsmoduln aufweist .
§. 10 . Die allgemeinste stationäre Strömung . Beweis für die Unmöglichkeit anderweitiger Strömungen .
Wenn wir die verschiedenen im vorigen Paragraphen construirten
complexen Functionen des Ortes additiv zusammenfügen ,
so erhalten wir eine Function , deren Willkürlichkeit wir
sofort übersehen . Indem wir die Bedingungen , die hinsichtlich
der Unendlichkeitsstellen ein für allemal vorgeschrieben
sind , nicht noch besonders erwähnen , können wir sagen :
dass unsere Function an beliebig gegebenen Stellen in beliebig
gegebener Weise unendlich wird und überdiess ihr reeller Theil
an den 2p Querschnitten beliebig gegebene Periodicitätsmoduln
aufweist .
Ich sage nun , dass diess in der That die allgemeinste
Function ist , der auf unserer Fläche eine einförmige Strömung
entspricht . Zum Beweise mögen wir diese Behauptung auf
eine einfachere reduciren . Ist irgend eine complexe Function
der in Betracht kommenden Art auf unserer Fläche gegeben ,
so haben wir im Vorhergehenden das Mittel , eine zugehörige
Function zu construiren , welche an denselben Stellen in derselben
Weise unendlich wird , und deren reeller Theil an den
Querschnitten A_i , B_i dieselben Periodicitätsmoduln aufweist ,
wie der reelle Theil der gegebenen Function . Die Differenz
der beiden Functionen ist eine neue Function , welche nirgendwo
unendlich wird und deren reeller Theil an den Querschnitten
verschwindende Periodicitätsmoduln besitzt , welche
überdiess , wie selbstverständlich , wiederum eine einförmige
Strömung definirt . Offenbar haben wir zu beweisen , dass eine
solche Function nicht existirt , oder vielmehr , dass sie sich auf
eine Constante reducirt .
Und in der That ist dieser Beweis nicht schwierig . Was
eine Durchführung desselben in strenger Form betrifft , so
will ich mich darauf beschränken , zu bemerken , dass dieselbe
mit Hülfe des verallgemeinerten Green 'schen Satzes
gelingt Wegen dieses Satzes siehe Beltrami , 1. c. p. 354 .
.
Die folgenden Betrachtungen sollen auf anschauungsmässigem
Wege dieselbe Unmöglichkeit darthun .
Mag man dieselben wegen der unbestimmten Form , die sie
besitzen , vielleicht auch nicht als zwingend erachten Ich will übrigens daran erinnern , dass man auch den Green'schen
Satz anschauungsmässig begründen kann . Vgl. Tait , On Green's
and allied other theorems , Edinburgh Transactions , 1869—70 , p. 69 ff .
, so
scheint es doch nützlich , auch in dieser Weise den Gründen
für das Bestehen jenes Theoremes nachzugehen .
Wir mögen den besonderen Fall p = 0 vorweg nehmen
und uns also fragen , wesshalb auf der Kugel eine einförmige ,
überall endliche Strömung unmöglich ist . Das Zweckmässigste
scheint es zu sein , den Verlauf der Strömungscurven auf der
Kugel zu verfolgen . Da Unendlichkeitspuncte nicht auftreten
sollen , so kann eine Strömungscurve nicht plötzlich abbrechen ,
wie es in einem Quellenpuncte , oder in einem algebraischen
Unstetigkeitspuncte geschieht . Ueberdiess halte man vor Augen ,
dass neben einander herlaufende Strömungscurven nothwendig
gleichen Strömungssinn haben . Man erkennt dann , dass nur
zweierlei Arten von nicht abbrechenden Strömungscurven möglich
sind . Entweder die Curve windet sich , je länger um so
enger , um einen asymptotischen Punct — dann haben wir
wieder einen Unendlichkeitspunct — , oder die Curve ist geschlossen .
Ist aber eine Strömungscurve geschlossen , so
sind es die nächstfolgenden auch . Dabei schliessen sie einen
kleineren und kleineren Theil der Kugelfläche ein . Es kann
also nicht fehlen , dass man zu einem Wirbelpuncte , d. h.
abermals zu einem Unendlichkeitspuncte geführt wird . Eine
überall endliche Strömung ist also in der That unmöglich .
Allerdings haben wir der Möglichkeit nicht gedacht , die in
dem Auftreten von Kreuzungspuncten liegt . Diese Puncte sind
jedenfalls nur , wie oben hervorgehoben , in endlicher Zahl vorhanden .
Es wird also nur eine endliche Zahl von Strömungscurven
geben , welche durch sie hindurchlaufen . Man denke
sich die Kugel durch diese Curven in Gebiete zerlegt und
wiederhole innerhalb der einzelnen Gebiete die gerade angestellten
Betrachtungen , wobei sich das frühere Resultat von
Neuem ergeben wird .
Nehmen wir nun p > 0 und legen wieder die Normalflächen
des §. 8 zu Grunde . Dass auf diesen Flächen überall
endliche , einförmige Strömungen existiren , liegt nach dem
gerade Gesagten an dem Auftreten der Handhaben . Eine auf
der Normalfläche gezogene geschlossene Curve , die sich in
einen Punct zusammenziehen lässt , kann ebensowenig , wie
eine geschlossene Curve auf der Kugel , Strömungscurve für
eine überall endliche Strömung sein . Aber auch eine Curve ,
wie wir sie in Figur ( 19 ) betrachteten , ist nicht zu brauchen .
Denn an eine erste solche Strömungscurve müssen sich weitere
schliessen nach Art der in Figur ( 20 ) dargestellten , — so
dass wir zuletzt zu einer Curve gelangen , deren Theile zweimal
in entgegengesetztem Sinne durchlaufen werden ! Die
Strömungscurve muss also nothwendig sich um die eine oder
andere Handhabe herumwinden , mag diess ein einfaches Umfassen
jener Handhabe sein , oder ein wiederholtes Umkreisen derselben
im Sinne der Meridian- oder der Breitencurven . In allen
Fällen lässt sich von der Strömungscurve ein Theil abtrennen ,
der im Sinne des vorigen Paragraphen mit einer ganzzahligen
Combination der betreffenden Meridiancurve und der zugehörigen
Breitencurve aequivalent ist . Nun wächst u , der
reelle Theil der durch die Strömung definirten complexen
Function , fortwährend , wenn man längs einer Strömungscurve
fortschreitet . Andererseits liefern zwei Curven , welche
im Sinne des vorigen Paragraphen aequivalent sind , bei Durchlaufung
nothwendig dieselben Incremente von u . Es gibt
also eine Combination wenigstens einer Meridiancurve und
einer Breitencurve , deren Durchlaufung einen nicht verschwindenden
Zuwachs von u herbeiführt . Das Gleiche gilt nothwendig
von der betreffenden Meridiancurve oder der Breitencurve
selbst . Der Zuwachs aber , den u beim Durchlaufen
der Meridiancurve gewinnt , entspricht dem Ueberschreiten
der Breitencurve , und umgekehrt . Daher hat u nothwendig
wenigstens an einer Breitencurve oder Meridiancurve einen
nicht verschwindenden Periodicitätsmodul , und eine überall
endliche , einförmige Strömung , bei der alle diese Periodicitätsmoduln
gleich Null sind , ist in der That unmöglich ,
w. z. b. w .
§. 11. Erläuterung der Strömungen an Beispielen .
Es scheint sehr nützlich , sich üher den allgemeinen Verlauf
der nunmehr definirten Strömungen an Beispielen zu
orientiren , damit nämlich unsere Sätze nicht blosse abstracte
Formulirungen bleiben , sondern mit concreten Vorstellungen
verbunden werden Eine solche Orientirung ist vermuthlich auch für den praktischen
Physiker von hohem Werthe .
. Es gelingt diess im gegebenen Falle
ziemlich leicht , so lange man sich auf qualitative Verhältnisse
beschränkt ; die genaue quantitative Bestimmung würde
selbstverständlich ganz andere Hülfsmittel erfordern . Ich will
mich dabei der Einfachheit halber auf solche Flächen beschränken ,
bei denen eine Symmetrieebene existirt , die mit
der Ebene der Zeichnung zusammenfällt , — und auf diesen
Flächen nur solche Strömungen in Betracht ziehen , bei denen
der scheinbare Umriss der Fläche ( d. h. der Schnitt der Fläche
mit der Zeichnungsebene ) entweder Strömungscurve oder Niveaucurve
ist . Man hat dann den wesentlichen Vortheil , dass man
die Strömungscurven nur auf der Vorderseite der Fläche zu
zeichnen braucht ; denn auf der Rückseite verlaufen sie genau
gerade so Derartige Zeichnungen gab ich bereits in dem Aufsatze : Ueber
den Verlauf der Abel'schen Integrale bei den Curven vierten Grades ,
Mathematische Annalen , Bd. X. Allerdings haben die Riemann'schen
Flächen daselbst eine etwas andere Bedeutung , so dass bei ihnen nur
in übertragenem Sinne von einer Flüssigkeitsbewegung die Rede sein
kann ; vergl. die Erläuterungen , welche darüber in §. 17 des Nachfolgenden
gegeben werden .
.
Fig. 21 .
Beginnen wir mit überall endlichen Strömungen auf dem
Ringe p = 1 . Wir betrachten zunächst eine Breitencurve ( oder
mehrere solche Curven ) als Sitz der elektromotorischen Kraft .
Dann entsteht die Figur 21 , in der alle Strömungscurven
Meridiancurven sind und Kreuzungspuncte nicht auftreten .
Die Meridiancurven sind dabei durch Stücke radial verlaufender
gerader Linien vorgestellt . Die Pfeilspitzen geben die
Strömungsrichtung auf der Vorderseite , auf der Rückseite
haben wir durchweg den umgekehrten Bewegungssinn .
Bei der conjugirten Strömung spielen die Breitencurven
die analoge Rolle , wie soeben die Meridiancurven ; dieselbe
mag durch folgende Zeichnung erläutert sein :
Fig. 22 .
Der Bewegungssinn ist in diesem Falle auf Vorder- und
Rückseite derselbe .
Fig. 23 .
Fig. 24 .
Wir wollen nun den Ring p = 1 dadurch umändern , dass
wir , etwa auf der rechten Seite der Figur , zwei Ausstülpungen
aus ihm hervorwachsen lassen , die sich allmählich zusammenbiegen
und schliesslich verschmelzen . So haben wir eine Fläche
p = 2 und auf ihr ein Paar conjugirter Strömungen , wie es
die Figuren 23 und 24 erläutern .
Es haben sich , wie man erkennt , rechter Hand zwei
Kreuzungspuncte eingestellt ( von denen natürlich nur einer auf
der Vorderseite gelegen und also sichtbar ist ) . Etwas Analoges
tritt jedesmal ein , wenn man überall endliche Strömungen
auf einer Fläche p > 1 studirt . Ich setze statt weiterer
Erläuterungen noch zwei Figuren mit je vier Kreuzungspuncten
her , die sich auf p = 3 beziehen :
Fig. 25 .
Fig. 26 .
Dieselben entstehen , wenn man auf sämmtlichen " Handhaben "
der Fläche einmal in den Breitencurven , das andere
Mal in den Meridiancurven elektromotorische Kräfte wirken
lässt . Auf den beiden unteren Handhaben sind dieselben in
gleichem Sinne orientirt , bei der oberen im entgegengesetzten .
Von den Kreuzungspuncten liegen zwei bei a und b , der
dritte bei c , der vierte an der entsprechenden Stelle der
Rückseite . Es sind die Kreuzungspuncte bei a und b in
Figur ( 25 ) nur desshalb schwer zu erkennen , weil am Rande
der Figur bei der von uns gewählten Darstellungsweise eine
perspectivische Verkürzung eintritt und daher beide im
Kreuzungspuncte zusammentreffende Strömungscurven den
Rand zu berühren scheinen . Denkt man sich die ( in entgegengesetzter
Richtung ) stattfindenden Strömungen auf der
Rückseite der Fläche hinzu , so kann über die Natur dieser
Puncte wohl keine Unklarheit bestehen .
Gehen wir nun zum Ringe p = 1 zurück und lassen bei
ihm zwei logarithmische Unstetigkeitspuncte gegeben sein !
Man erhält zugehörige Figuren , wenn man die Zeichnungen
( 23 ) und ( 24 ) einem Deformationsprocesse unterwirft , der
auch in allgemeineren Fällen ebenso interessant als nützlich
ist . Wir wollen nämlich die Partieen linker Hand in den
einzelnen Figuren zusammenziehen , die rechter Hand ausdehnen ,
so dass wir zunächst etwa folgende Bilder erhalten :
Fig. 27 .
Fig. 28 .
und nun die linker Hand bereits sehr schmal gewordene
" Handhabe " vollends zur Curve zusammenziehen , um sie dann
wegzuwerfen . So ist aus der überall endlichen Strömung auf
der Fläche p=2 eine Strömung mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspunkten
auf der Fläche p=1 geworden . Die Figuren
haben nämlich folgende Gestalt angenommen :
Fig. 29 .
Fig. 30 .
Die beiden Kreuzungspuncte von ( 23 ) , ( 24 ) sind geblieben ;
m und n sind die beiden logarithmischen Unstetigkeitspuncte . Und
zwar sind dieselben im Falle der Figur 29 Wirbelpuncte von entgegengesetzt
gleicher Intensität , im Falle der Figur 30 Quellenpuncte
von entgegengesetzt gleicher Ergiebigkeit . Dabei ist es
wieder eine Folge der von uns gewählten Projectionsart , wenn
im zweiten Falle sämmtliche Strömungscurven , von einer einzigen
abgesehen , in m und n den Rand zu berühren scheinen .
Wollen wir endlich m und n zusammenrücken lassen , so
dass ein algebraischer Unstetigkeitspunct von einfacher Multiplicität
entsteht , so kommen folgende Zeichnungen , bei
denen , wie man beachten mag , die Kreuzungspuncte nach
wie vor an ihrer Stelle geblieben sind :
Fig. 31 .
Fig. 32 .
Ich will diese Figuren nicht noch mehr vervielfältigen ,
da weitere Beispiele nach Art der nunmehr betrachteten
leicht zu bilden sind . Nur der eine Umstand werde noch
hervorgehoben . Die Zahl der Kreuzungspunkte einer Strömung
wächst offenbar mit dem p der Fläche und mit der
Zahl der Unendlichkeitspunkte . Algebraische Unendlichkeitspuncte
von der Multiplicität r mögen als (r+1) logarithmische
Unendlichkeitspuncte gezählt werden . Dann ist auf
der Kugel bei \mu logarithmischen Unendlichkeitspunkten die
Anzahl der eigentlichen Kreuzungspunkte allgemein \mu-2 .
Andererseits ist mit der Zunahme von p um eine Einheit
nach unseren Beispielen eine Zunahme der Zahl der Kreuzungspunkte
um zwei Einheiten verbunden . Hiernach wird
man vermuthen , dass die Zahl der Kreuzungspuncte überhaupt
\mu+2p-2 sein wird . Ein strenger Beweis dieses Satzes auf
Grund der bisher entwickelten Anschauungen hat jedenfalls
keine besondere Schwierigkeit Zu einem solchen Beweise scheint vor allen Dingen nothwendig ,
sich über die verschiedenen Möglichkeiten klar zu werden , die betreffs
der Ueberführung einer gegebenen Fläche in die Normalfläche des §. 8
vorliegen .
; er würde hier aber zu weit
führen . Der einzige Specialfall unseres Satzes , den wir später
gebrauchen werden , ist auf Grund der gewöhnlichen Untersuchungen
der Analysis situs bekannt : es handelt sich bei
ihm ( §. 14 ) um solche Strömungen , bei denen m einfache
algebraische Unstetigkeitspuncte vorhanden sind , bei denen
also 2m + 2p - 2 Kreuzungspuncte auftreten müssen .
§. 12. Ueber die Zusammensetzung der allgemeinsten complexen Function des Ortes aus einzelnen Summanden .
Der Beweisgang des §. 10 setzt uns in den Stand , von
der allgemeinsten auf einer Fläche existirenden complexen
Function des Ortes uns dadurch eine concretere Vorstellung
zu machen , dass wir dieselbe aus einzelnen Summanden von
möglichst einfacher Eigenschaft additiv zusammensetzen .
Betrachten wir zuvörderst überall endliche Functionen .
Es seien u_1, u_2, \cdots u_{\mu} überall endliche Potentiale . Dieselben
mögen linear abhängig heissen , wenn zwischen ihnen
eine Relation
\[
a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots a_{\mu}u_{\mu} = A
\]
mit constanten Coëfficienten besteht . Eine solche Beziehung
liefert entsprechende Gleichungen für die 2p Serien von \mu
Periodicitätsmoduln , welche u_1, u_2, \cdots, u_{\mu} an den 2p Querschnitten
der Fläche besitzen . Umgekehrt würde , nach dem
in §. 10 bewiesenen Satze , aus solchen Gleichungen zwischen
den Periodicitätsmoduln die lineare Relation zwischen den u
selbst hervorgehen . Es ergiebt sich so , dass man auf mannigfachste
Weise 2p linear unabhängige überall endliche Potentiale
\[
u_1, u_2, \cdots, u_{2p}
\]
finden kann , dass sich aber aus ihnen jedes andere überall
endliche Potential linear zusammensetzt :
\[
u = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_{2p}u_{2p} + A.
\]
In der That kann man u_1, u_2, \cdots u_{2p} z. B. derart
wählen , dass jedes nur an einem der 2p Querschnitte einen
nicht verschwindenden Periodicitätsmodul besitzt ( wobei natürlich
jedem Querschnitte ein und nur ein Potential zugewiesen
werden soll ) . Hernach kann man in \sum a_i u_i die Constanten a_i
so bestimmen , dass dieser Ausdruck an sämmtlichen 2p Querschnitten
dieselben Periodicitätsmoduln aufweist , wie u . Dann
ist u - \sum a_i u_i eine Constante , und wir haben also die vorstehende
Formel .
Um nun von den Potentialen u zu den überall endlichen
Functionen u + iv überzugehen , denke ich mir der Einfachheit
halber ein solches Coordinatensystem x, y auf der
Fläche eingeführt ( §. 6 ) , dass u, v durch die Gleichungen
verknüpft sind :
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\]
Sei jetzt u_1 ein beliebiges überall endliches Potential .
Wir bilden das zugehörige v_1 und haben :
u_1 und v_1 sind jedenfalls linear unabhängig .
Denn wenn zwischen u_1, v_1 eine Gleichung
\[
a_1 u_1 + b_1 v_1 = \textrm{ Const.}
\]
mit constanten Coëfficienten bestünde , so würde dieselbe die
folgenden Relationen begründen :
\[
a_1 \frac{\partial u_1}{\partial x}
+ b_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0, \qquad
a_1 \frac{\partial u_1}{\partial y}
+ b_1 \frac{\partial v_1}{\partial y} = 0,
\]
aus denen vermöge der angegebenen Beziehungen das widersinnige
Resultat
\[
\frac{\partial u_1}{\partial x} = 0, \qquad
\frac{\partial u_1}{\partial y} = 0
\]
folgen würde .
Es sei nun ferner u_2 von u_1 und v_1 linear unabhängig .
Dann nehmen wir das zugehörige v_2 und haben dann den
allgemeineren Satz :
Die vier Functionen u_1, u_2, v_1, v_2 sind ebenfalls linear unabhängig .
In der That könnte man aus jeder linearen Relation :
\[
a_1 u_1 + a_2 u_2 + b_1 v_1 + b_2 v_2 = \textrm{ Const.}
\]
durch Benutzung der zwischen den u, v bestehenden Beziehungen
die folgenden Gleichungen ableiten :
\begin{align*}
(a_1 a_2 + b_1 b_2) \frac{\partial u_1}{\partial x} -
(a_1 b_2 - a_2 b_1) \frac{\partial v_1}{\partial x} +
(a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \frac{\partial u_2}{\partial x} &= 0,
\\
(a_1 a_2 + b_1 b_2) \frac{\partial u_1}{\partial y} -
(a_1 b_2 - a_2 b_1) \frac{\partial v_1}{\partial y} +
(a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \frac{\partial u_2}{\partial y} &= 0,
\end{align*}
aus denen durch Integration eine lineare Abhängigkeit zwischen
u_1, v_1, u_2 folgen würde . —
So vorwärts schliessend bekommt man endlich 2p linear
unabhängige Potentiale :
\[
u_1, v_1; u_2, v_2; \cdots\cdots; u_p, v_p,
\]
wo jedes v mit dem gleichbezeichneten u zusammengehört .
Wir setzen u_{\alpha} + iv_{\alpha} = w_{\alpha} und nennen nunmehr überall
endliche Functionen w_1, w_2, \dots w_{\mu} linear unabhängig , wenn
zwischen ihnen keinerlei Relation :
\[
c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots c_{\mu}w_{\mu} = C
\]
besteht , unter c_1, \dots c_{\mu}, C beliebige complexe Constanten verstanden .
Dann haben wir sofort :
Die p überall endlichen Functionen
\[
w_1, w_2, \dots w_p
\]
sind linear unabhängig .
Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde , so
könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und
erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den u und v .
Des Weiteren aber folgt : Jede beliebige überall endliche
Function setzt sich aus unseren w_1, w_2 \dots w_p in der Form
zusammen :
\[
w = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots c_p w_p + C.
\]
In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen
Constanten c_1, c_2, \dots c_p bei der linearen Unabhängigkeit
der u_1, \dots u_p, v_1, \dots v_p erreichen , dass eine durch vorstehende
Formel definirte Function w an den 2p Querschnitten
beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des reellen
Theils aufweist .
Diess ist das Theorem , welches wir hinsichtlich der Darstellung
überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen
aufzustellen hatten . Der Uebergang zu Functionen
mit Unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen .
Es seien \xi_1, \xi_2, \dots \xi_{\mu} die Punkte , in denen unsere
Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich
werden soll . Wir wollen dann einen Hülfspunct \eta einführen
und eine Reihe von einzelnen Functionen
\[
F_1, F_2, \dots F_{\mu}
\]
construiren , von denen jede einzelne nur in einem der Puncte \xi ,
und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise ,
unendlich werden soll und überdies in \eta einen logarithmischen
Unstetigkeitspunct besitzen mag , dessen Residuum dem , zu
dem betreffenden \xi gehörigen , logarithmischen Residuum
entgegengesetzt gleich kommt . Die Summe
\[
F_1 + F_2 + \dots F_{\mu}
\]
wird dann in \eta stetig ; denn die Summe aller zu den Unstetigkeitspuncten
\xi gehörigen Residua ist , wie wir wissen ,
gleich Null . Ueberdiess wird sie in den \xi und nur in den \xi ,
dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich . Sie unterscheidet
sich also von der gesuchten Function nur um eine
überall endliche Function . Die gesuchte Function ist also in
der Gestalt darstellbar :
\[
F_1 + F_2 + \cdots F_{\mu} + c_1 w_1 + c_2 w_2 + \cdots c_p w_p + C,
\]
womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende
Theorem gefunden haben .
Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung , welche wir
in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen
betrachteten , und die wir damals , wie man es gewöhnlich
thut , der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler
Functionen entnahmen .
§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen . Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen .
Die Functionen u + iv , welche wir auf unseren Flächen
studieren , sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig : denn einmal
bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen
Periodicitätsmodul mit sich , andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln
an den 2p Querschnitten A_i, B_i , deren reelle
Theile wir willkürlich annehmen konnten . Ich sage nun ,
dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von u + iv in der
That erschöpft ist . Zum Beweise müssen wir auf den Begriff
der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen ,
den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten .
Da die Differentialquotienten von u und v ( oder ,
was dasselbe ist , die Componenten der zugehörigen Strömung )
auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind , so liefern zwei
aequivalente geschlossene Curven , welche durch keinen logarithmischen
Unstetigkeitspunkt getrennt sind , bei Durchlaufung
denselben Zuwachs von u , wie von v . Nun fanden wir aber ,
dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination
der Querschnitte A_i B_i aequivalent ist . Wir bemerkten
ferner ( §. 10 ) , dass die Durchlaufung von A_i denjenigen
Periodicitätsmodul
liefert , welcher der Ueberschreitung von B_i
entspricht , und umgekehrt . Hieraus aber folgt das ausgesprochene
Theorem in bekannter Weise .
Es wird uns nun insbesondere interessiren , eindeutige
Functionen des Ortes zu betrachten . Dem Gesagten zufolge
werden wir alle solche Functionen erhalten , wenn wir als
Unstetigkeiten nur rein algebraische Unendlichkeitspuncte zulassen
und dann dafür sorgen , dass die 2p Periodicitätsmoduln
an den Querschnitten A_i, B_i sämmtlich verschwinden . Dabei
wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein ,
nur einfache algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu
ziehen . Denn wir wissen ja aus §. 3 , dass der \nu -fache algebraische
Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von
\nu einfachen entstehen kann , wobei übrigens , wie man nicht
vergessen darf , Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität
(\nu-1) absorbirt werden . Seien also m Puncte als einfache
algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function
gegeben . So wollen wir zuerst irgend m Functionen des Ortes
bilden : Z_1, Z_2, \cdots Z_m, von denen jede nur an einer der
gegebenen Stellen einfach algebraisch unendlich werden soll
aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag . Aus diesen Z
setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes ,
welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten
besitzt , dem vorigen Paragraphen zufolge in der
Gestalt zusammen :
\[
a_1 Z_1 + a_2 Z_2 + \cdots a_m Z_m + c_1 w_1 + \cdots c_p w_p + C,
\]
unter a_1, a_2, \cdots a_m beliebige constante Coëfficienten verstanden .
Um eine eindeutige Function zu haben , setzen wir
die Periodicitätsmoduln , welche dieser Ausdruck an den 2p
Querschnitten besitzt , gleich Null . Aber diese Periodicitätsmoduln
setzen sich vermöge der a, c aus den Periodicitätsmoduln
der Z, w linear zusammen . Wir finden also 2p lineare
homogene Gleichungen für die m + p Constanten a und c .
Wir wollen annehmen , dass diese Gleichungen linear unabhängig sind Sind sie es nicht , so ist die nächste Folge , dass die Zahl der in
m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird
als die im Texte angegebene . Man kennt die Untersuchungen , welche
zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat ( Borchardt's Journal
Bd. 64 ; vergl. auch , was die algebraische Formulirung betrifft :
Brill und Nöther , über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung
in der Geometrie , Mathematische Annalen , Bd. 7 ) . Ich kann
diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen , obgleich sie sich mit
Leichtigkeit an die Darstellung des Abel 'schen Theorems anschliessen
lassen , wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt , — und
will nur , mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes
( cf. §. 19 ) , darauf hinweisen , dass eine lineare Abhängigkeit zwischen
den 2p Gleichungen jedenfalls nicht eintritt , wenn m die Gränse 2p - 2
überschreitet .
. Dann kommt der wichtige Satz :
Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei m beliebig
vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten
nur dann eindeutige Functionen des Ortes , wenn m \geqq p + 1
ist , und zwar enthalten diese Functionen (m - p + 1) linear
vorkommende willkürliche Constante .
Man denke sich jetzt die m Unendlichkeitspuncte als beweglich .
So treten m neue Willkürlichkeiten in die Betrachtung
ein . Ueberdies ist klar , dass man beliebige m Puncte
auf der Fläche durch continuirliche Verschiebung in beliebige
m andere verwandeln kann . Wir können also sagen , indem
wir uns übrigens immer der Voraussetzung erinnern , die
wir gemacht haben :
Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit m einfachen
algebraischen Unstetigkeitspuncten , die auf gegebener
Fläche existiren , bildet ein Continuum von (2m - p + 1) Abmessungen .
Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen
Functionen haben kennen lernen , wollen wir auf
möglichst anschauungsmässigem Wege noch eine andere wichtige
Eigenschaft derselben entwickeln . Die Zahl m der Unendlichkeitspuncte
unserer Function hat nämlich für letztere
eine noch viel weiter gehende Bedeutung . Ich sage , dass
unsere Function u + iv jeden beliebig vorgegebenen Werth
u_0 + iv_0 genau an m Stellen annimmt .
Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven
u = u_0, v = v_0 auf unserer Fläche . Nach §. 2 ist klar , dass
jede dieser Curven einen Ast durch jeden der m Unendlichkeitspuncte
hindurchschickt . Andererseits folgt aus Betrachtungen ,
wie wir sie in §. 10 entwickelten , dass jeder Curvenast
mindestens einen Unendlichkeitspunct enthalten muss .
Hiernach ist für sehr grosse u_0, v_0 die Richtigkeit unserer
Behauptung unmittelbar klar . Denn die betreffenden Curven
u = u_0, v = v_0 gehen dann in der Nähe des einzelnen Unendlichkeitspunctes
nach §. 2 in kleine durch den Unendlichkeitspunct
hindurchlaufende Kreise über , welche nothwendig
neben dem ( hier nicht weiter in Betracht kommenden ) Unstetigkeitspuncte
noch je einen Schnittpunct gemein haben :
Fig. 33 .
Hieraus aber folgt die Sache allgemein . Denn die Curven
u = u_0 , v = v_0 können bei continuirlicher Aenderung von
u_0 , v_0 niemals einen Schnittpunct verlieren . Es könnte diess
nämlich nach dem Gesagten nur so geschehen , dass mehrere
Schnittpuncte zusammenrückten , um dann in geringerer Zahl
wieder aus einander zu treten . Nun bilden die Curven u, v
ein Orthogonalsystem . Ein Zusammenrücken reeller Schnittpuncte
ist also nur in den Kreuzungspuncten möglich ( in
denen es auch wirklich geschieht ) . Die Kreuzungspuncte
aber sind nur in endlicher Zahl vorhanden , und also nicht
im Stande , die Fläche in verschiedene Gebiete zu zerlegen .
Die Eventualität des Zusammenrückens ist also überhaupt
nicht in Betracht zu ziehen , und somit unsere Behauptung
bewiesen .
Es ist übrigens für das Folgende nützlich , sich die Vertheilung
der Werthe von u + iv in der Nähe eines Kreuzungspunctes
deutlich zu machen . Hierzu genügt eine aufmerksame
Beobachtung der oben gegebenen Figur 1 . Man erkennt
zumal , dass von den m beweglichen Schnittpuncten der
Curven u = u_0 , v = v_0 bei Annäherung an den \nu -fachen
Kreuzungspunct (\nu + 1) zusammenrücken . —
Analoge Betrachtungen , wie wir sie hiermit für eindeutige
Functionen erledigt haben , finden natürlich auch bei
vieldeutigen Functionen ihre Stelle . Ich gehe auf sie nur
desshalb nicht ein , weil es die im Folgenden festgehaltene
Umgränzung des Stoffes nicht nöthig macht . Auch kommt
nur in den allereinfachsten Fällen ein übersichtliches Resultat .
Sei in dieser Beziehung daran flüchtig erinnert , dass eine
complexe Function mit mehr als zwei incommensurabeln
Periodicitätsmoduln an jeder Stelle jedem beliebigen Werthe
unendlich nahe gebracht werden kann .
§. 14 . Die gewöhnlichen Riemann'schen Flächen über der x + iy-Ebene .
Statt die Vertheilung der Functionswerthe u + iv auf
der ursprünglichen Fläche zu betrachten , kann man ein sozusagen
umgekehrtes Verfahren einschlagen . Man deute nämlich
die Functionswerthe — welche dementsprechend jetzt
x + iy genannt werden sollen — in gewöhnlicher Weise in
der Ebene ( oder auch auf der Kugel Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene , statt von
der Kugel , um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweise
anzuschliessen .
und studiere die conforme
Abbildung , welche demzufolge ( nach §. 5 ) von unserer
ursprünglichen Fläche entworfen wird . Wir beschränken
uns dabei wieder , der Einfachheit halber , auf den Fall der
eindeutigen Functionen , trotzdem es besonderes Interesse hat ,
gerade auch die Abbildung durch mehrdeutige Functionen in
Betracht zu ziehen Man vergleiche hierzu , was Riemann in Nr. 12 seiner Abel'schen
Functionen über die Abbildung durch überall endliche Functionen
sagt .
.
Eine kurze Ueberlegung zeigt , dass wir so gerade zu der
mehrblättrigen , mit Verzweigungsverzweigungspuncten versehenen ,
über der XY -Ebene ausgebreiteten Fläche geführt werden ,
welche man gewöhnlich als Riemann'sche Fläche schlechthin
bezeichnet .
In der That , sei m die Zahl der ( einfachen ) Unendlichkeitspuncte ,
welche x + iy auf der ursprünglichen Fläche
besitzt . Es nimmt dann x + iy , wie wir sahen , jeden Werth
auf der gegebenen Fläche m -mal an . Daher überdeckt die
conforme Abbildung unserer Fläche auf die x + iy -Ebene die
letztere im Allgemeinen mit m Blättern . Eine Ausnahmestellung
nehmen nur diejenigen Werthe von x + iy ein , für
welche einige der m auf der ursprünglichen Fläche zugehörigen
Stellen zusammenfallen , denen also Kreuzungspuncte entsprechen .
Man ziehe zum Verständnisse noch einmal die
Figur ( 1 ) heran . Es folgt aus derselben , dass man die Umgebung
eines \nu -fachen Krenzungspunctes derart in (\nu + 1)
Sectoren zerlegen kann , dass x + iy innerhalb jedes Sectors
denselben Werthvorrath durchläuft . Daher werden oberhalb
der betreffenden Stelle der (x + iy) Ebene (\nu + 1) Blätter der
conformen Abbildung derart zusammenhängen , dass eine Umlaufung
der Stelle von einem Blatte in ein zweites , von diesem
in ein drittes führt etc. , und dass eine (\nu + 1) -malige Umlaufung
derselben nöthig wird , um zum Anfangspuncte zurückzugelangen .
Diess ist aber genau , was man gewöhnlich als
einen \nu -fachen Verzweigungspunct bezeichnet Wir haben oben ( §. 11 ) ohne ausgeführten Beweis angegeben ,
dass die Zahl der Kreuzungspuncte von x + iy (2m + 2p - 2) beträgt .
Wie man jetzt sieht , ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung
der bekannten Relation , welche die Zahl der Verzweigungspuncte
( oder vielmehr die Gesammtmultiplicität derselben ) mit der Blätterzahl
m und dem p einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [ unter p die
Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden , die man auf dieser
mehrblättrigen Fläche ziehen kann , ohne sie zu zerstücken ] .
. Dabei ist
die Abbildung in diesem Puncte selbst natürlich keine conforme
mehr ; man beweist leicht , dass der Winkel , den irgend
zwei auf der ursprünglichen Fläche verlaufende sich im
Kreuzungspuncte schneidende Curven mit einander bilden ,
auf der über der (x + iy) -Ebene ausgebreiteten Riemann'schen
Fläche genau mit (\nu + 1) multiplicirt erscheint . —
Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung , welche diese
mehrblättrige Fläche für unsere Zwecke beanspruchen kann .
Alle Flächen , welche durch conforme Abbildung eindeutig
aus einander hervorgehen , sind für uns gleichbedeutend ( §. 8 ) .
Wir können also die m -blättrige Fläche über der Ebene
ebensogut zu Grunde legen , wie die bisher benutzte Fläche ,
die wir uns ohne jedes singuläre Vorkommniss frei im Raume
gelegen vorstellten . Dabei kommt die Schwierigkeit , die man
in dem Auftreten der Verzweigungspuncte erblicken könnte ,
von vorneherein in Wegfall : denn wir werden nur solche
Strömungen auf der mehrblättrigen Fläche in Betracht ziehen ,
welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart
verhalten , dass sie rückwärts auf die im Raume gelegene ursprüngliche
Fläche übertragen dort keine anderen singulären
Vorkommnisse darbieten , als die ohnehin gestatteten . Hierzu
ist nicht einmal nöthig , dass man eine entsprechende im
Raume gelegene Fläche kennt ; handelt es sich doch nur um
Verhältnisse in der nächsten Umgebung der Verzweigungspuncte ,
d. h. um differentielle Relationen , denen unsere Strömungen
genügen müssen Wegen der expliciten Formulirung dieser Relationen vergleiche
man die gewöhnlichen Lehrbücher , sodann insbesondere die Schrift
von C. Neumann : Das Dirichlet'sche Princip in seiner Anwendung
auf die Riemann'schen Flächen , Leipzig 1865 .
. Es hat hiernach auch keinen
Zweck mehr , wenn wir von beliebig gekrümmten Flächen
sprechen , uns diese ohne singuläre Puncte zu denken : sie
mögen selbst mit mehreren Blättern überdeckt sein , die unter
sich durch Verzweigungspuncte , beziehungsweise Verzweigungsschnitte
zusammenhängen . Aber welche unter den unbegränzt
vielen , sonach gleichberechtigten Flächen wir auch der Betrachtung
zu Grunde legen wollen : wir müssen zwischen
wesentlichen Eigenschaften unterscheiden , welche allen gleichberechtigten
Flächen gemeinsam sind , und unwesentlichen
Eigenschaften , die der particulären Fläche anhaften . Zu
ersteren gehört die Zahl p , es gehören dahin die " Moduln " ,
von denen in §. 18 ausführlicher die Rede sein soll ; zu
letzteren bei mehrblättrigen Flächen die Art und Lage der
Verzweigungspuncte . Wenn wir uns eine ideale Fläche
denken , die nur jene wesentlichen Eigenschaften besitzen
soll , so entsprechen auf ihr den Verzweigungspuncten der
mehrblättrigen Fläche gewöhnliche Puncte , die , allgemein zu
reden , vor den übrigen Puncten Nichts voraus haben , und
die erst dadurch beachtenswerth werden , dass bei der conformen
Abbildung , die von der idealen Fläche zur particulären
hinüberführt , in ihnen Kreuzungspuncte entstehen .
Das Resultat ist also dieses , dass wir betreffs der Flächen ,
auf denen wir operiren dürfen , eine grössere Beweglichkeit gewonnen
haben , und dass wir zugleich die Zufälligkeiten erkennen ,
welche die Betrachtung jeder einzelnen besonderen
Fläche mit sich bringt . Insbesondere werden wir im Folgenden ,
so oft es nützlich scheint , mehrblättrige Flächen über
der x + iy -Ebene in Betracht ziehen ; ihre Verwendung soll
aber in keiner Weise die Allgemeinheit der Auffassung beeinträchtigen Es entsteht hier die interessante Frage , ob es immer möglich
ist , mehrblättrige Flächen mit beliebigen Verzweigungspuncten conform
in solche zu verwandeln , die durchaus keine singuläre Stelle besitzen
Diese Frage greift über die im Texte zu behandelnden Gegenstände
hinaus , aber ich habe sie immerhin anführen wollen . Gelingt es
im einzelnen Falle nicht , so haben die vorgängigen Betrachtungen
des Textes doch noch die Bedeutung , dass sie am einfachsten Beispiele
die allgemeinen Ideen haben entstehen lassen und dadurch die
Behandlung auch der complicirteren Vorkommnisse ermöglicht haben .
.
§ . 15. Der Ring p = 1 und die zweiblättrige Fläche mit vier Verzweigungspuncten über der Ebene .
Vergl. Kirchhoff ; Monatsberichte der Berliner Akademie von
1875 , l. c. ( wo übrigens explicite nur die Beziehung zwischen Ringfläche
und ebenem Rechtecke besprochen wird ) .
Ich habe mich im vorigen Paragraphen ziemlich kurz
fassen können , da ich die gewöhnliche Riemann'sche Fläche
über der Ebene mit ihren Verzweigungspuncten als bekannt
ansah . Immerhin wird es nützlich sein , wenn ich das Gesagte
an einem Beispiele erläutere . Wir wollen einen Ring
p = 1 betrachten . Auf ihm existiren nach §. 13 \infty^4 eindeutige
Functionen mit nur zwei Unendlichkeitspuncten . Eine
jede derselben besitzt nach der allgemeinen Formel des §. 11
vier Kreuzungspuncte . Der Ring ist also auf mannigfache
Weise auf eine zweiblättrige ebene Fläche mit vier Verzweigungspuncten
abzubilden . Ich will den besonderen Fall ,
in welchem ich diese Abbildung nunmehr betrachten werde ,
auf explicite Formeln stützen , damit auch denjenigen Lesern ,
die in rein anschauungsmässigen Operationen minder geübt
sind , die Sache zugänglich sei . Allerdings greife ich damit
in etwas den Entwickelungen vor , welche erst der folgende
Paragraph zu bringen bestimmt ist .
Fig. 34 .
Wir wollen die Ringfläche als gewöhnlichen
Torus voraussetzen , der durch Rotation
eines Kreises um eine denselben nicht schneidende
Axe seiner Ebene entsteht . Sei \varrho der
Radius dieses Kreises , R der Abstand seines
Mittelpunctes von der Axe , \alpha ein Polarwinkel .
Wir führen die Rotationsaxe als Z -Axe ,
den Punct O der Figur als Anfangspunct eines
rechtwinkligen Coordinatensystems ein und
unterscheiden die durch O\;Z hindurchlaufenden
Ebenen nach dem Winkel \varphi , den sie
mit der positiven X -Axe bilden . Dann hat
man für einen beliebigen Punct der Ringfläche :
\begin{gather*}
\tag{1}
X = (R - \varrho\cos\alpha) \cos\varphi,\quad
Y = (R - \varrho\cos\alpha) \sin\varphi,\\
Z = \varrho\sin\alpha.
\end{gather*}
Daher wird das Bogenelement :
\[\tag{2}
ds = \sqrt{dX^2 + dY^2 + dZ^2} =
\sqrt{(R - \varrho\cos\alpha)^2\cdot d\varphi^2
+ \varrho^2\cdot d\alpha^2}
\]
oder :
\[\tag{3}
ds = (R - \varrho\cos\alpha)^2\cdot
\sqrt{d\xi^2 + d\eta^2},
\]
wo
\[\tag{4}
\xi = \varphi,\quad
\eta = \int_0^\alpha
\frac{\varrho\, d\alpha}
{R - \varrho\cos\alpha}
\]
gesetzt sein soll .
Nach Formel ( 3 ) haben wir eine conforme Abbildung
der Ringfläche auf die \xi\eta -Ebene . Die ganze Ringfläche wird
offenbar einmal überstrichen , wenn \varphi und \alpha ( in den Formeln ( 1 ) )
jedes von - \pi bis + \pi läuft . Die conforme Abbildung der
Ringfläche überdeckt daher ein Rechteck der Ebene , wie es
durch folgende Figur vorgestellt wird :
Fig. 35 .
Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt
\displaystyle\int_0^\pi\frac{\varrho\, d\alpha}{R - \varrho\cos\alpha} einfach p geschrieben . — Wollen wir uns die
Beziehung zwischen Rechteck und Ringfläche recht anschaulich
vorstellen , so denke man sich ersteres aus dehnsamem
Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten
des Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen . Oder auch ,
man denke sich den Ring von analoger Beschaffenheit , zerschneide
ihn längs einer Breitencurve und einer Meridiancurve
und breite ihn dann in die \xi\eta -Ebene aus . Ich setze
statt weiterer Erläuterung eine Figur her , welche die Verticalprojection
der Ringfläche von der positiven Z -Axe aus
auf die XY -Ebene vorstellt und bei der die Beziehung zur
\eta\xi -Ebene markirt ist :
Fig. 36 .
Natürlich erblickt man nur die Oberseite der Ringfläche ,
die auf der Rückseite abgebildeten Quadranten 3 und 4 werden
beziehungsweise von 2 und 1 verdeckt .
Sei nun andererseits bei reellem \varkappa (< 1) über der Ebene
eine zweiblättrige Fläche mit vier Verzweigungspuncten
Z = \pm 1 , \pm \frac{1}{\varkappa} gegeben :
Fig. 37 .
wobei ich mir ( wie es in der Figur angedeutet ist ) die beiden
Halbblätter , welche die positive Halbebene überlagern , schraffirt
denken will . Dabei sollen die Verzweigungsschnitte mit
den geradlinigen Strecken zwischen +1 und +\frac{1}{\varkappa} einerseits ,
und -1 und -\frac{1}{\varkappa} andererseits zusammenfallen .
Diese zweiblättrige Fläche repräsentirt , wie man weiss ,
die Verzweigung von w = \sqrt{1 - z^2 \cdot 1 - \varkappa^2z^2} , und zwar
können wir , in Anbetracht der Wahl der Verzweigungsschnitte ,
die Zuordnung so treffen , dass auf dem oberen
Blatte w durchweg einen positiven reellen Theil besitzt . Wir
betrachten nun das Integral
\[
W = \int_0^z \frac{dz}{w} .
\]
Dasselbe liefert uns in bekannter Weise die Abbildung
unserer zweiblättrigen Fläche ebenfalls auf ein Rechteck ,
dessen nähere Beziehung zur zweiblättrigen Fläche durch
folgende Figur gegeben ist , auf welcher man die Schraffirungen
und sonstigen Unterscheidungen der Figur ( 37 )
wiederfindet :
Fig. 38 .
Dem oberen Blatte von Figur ( 37 ) entspricht die linke
Seite dieser Figur . Man beachte vor Allem , wie sich die
Abbildung für die Umgebung der Verzweigungspuncte der
zweiblättrigen Fläche gestaltet . Vielleicht ist es am einfachsten ,
die Sache sich so vorzustellen , dass man von ( 37 ) zunächst
durch stereographische Projection zu einer zweimal überdeckten
Kugelfläche übergeht , welche auf einem Meridian
vier Verzweigungspuncte trägt , — dass man die so erhaltene
Fläche durch einen längs des Meridians verlaufenden Schnitt
in vier Halbkugeln zerlegt , deren einzelne man durch geeignete
Dehnung und Deformirung in der Nähe der vier
Verzweigungspuncte in ein ebenes Rechteck verwandelt , — dass
man endlich die so entstehenden vier Rechtecke entsprechend
den Beziehungen zwischen den vier Halbkugeln
nach Art von Figur ( 38 ) neben einander legt . Man sieht
auf diese Art auch deutlich , dass in Figur ( 38 ) immer zwei
( zusammengehörige ) Randpuncte denselben Punct der ursprünglichen
Fläche bezeichnen .
Um nun zwischen dem Ringe und der zweiblättrigen
Fläche die gewünschte Beziehung zu erzielen , haben wir nur
dafür zu sorgen , dass das Rechteck der Figur ( 38 ) durch
passende Wahl des Moduls \varkappa mit dem Rechtecke der Figur ( 35 )
ähnlich wird . Eine proportionale Vergrösserung des einen
Rechtecks ( welches auch eine conforme Umgestaltung ist )
bringt dasselbe sodann mit dem anderen Rechteck zur Deckung
und vermittelt so eine eindeutig-conforme Abbildung der zweiblättrigen
Fläche auf die Ringfläche ( oder der letzteren auf
die erstere ) . Es wird wiederum genügen , das Sachverhältniss
durch eine Figur zu kennzeichnen , dieselbe entspricht genau
der eben gegebenen Figur ( 36 ) :
Fig. 39 .
Die Schraffirung soll sich dabei nur auf die Vorderseite
der Ringfläche beziehen ; auf der Rückseite ist die untere
Hälfte der Figur schraffirt zu denken , die obere frei zu
lassen . —
Die conforme Abbildung , welche wir wünschten , ist hiermit
thatsächlich geleistet . Wir wollen jetzt rückwärts die
Strömung auf der Ringfläche bestimmen , durch deren Vermittelung
im Sinne des §. 14 die Abbildung zu Stande kommt .
Dieselbe wird an den mit \pm 1 , \pm \varkappa^2 bezeichneten Stellen
Kreuzungspuncte besitzen müssen , an den beiden Stellen \infty
algebraische Unendlichkeitspuncte von einfacher Multiplicität .
Man findet die betreffenden Curven , die Niveaucurven sowohl
wie die Strömungscurven , am besten , wenn man sich des
Rechtecks als Zwischenfigur bedient . Offenbar übertragen sich
die Curven x = Const. , y = Const . der z -Ebene ( Figur 37 ) auf
das Rechteck der Figur ( 38 ) , wie die Figuren ( 40 ) , ( 41 ) angeben .
Ich habe dabei allein den Curven y = Const . Pfeilspitzen
zugesetzt , um sie im Gegensatze zu den anderen als Strömungscurven
zu charakterisiren .
Fig. 40 .
Fig. 41 .
Man hat nun einfach diese Zeichnungen in derselben
Weise zusammenzubiegen , wie es bei Figur ( 35 ) geschildert
wurde , um die Ringfläche und auf ihr die gewünschten Curvensysteme
zu erhalten . Das Resultat ist das folgende :
Fig. 42 .
Fig. 43 .
Dabei erscheinen in Figur ( 42 ) die vier Kreuzungspuncte
der Strömung vermöge der gewählten Projectionsart als Berührungspuncte
der Niveaucurven mit der scheinbaren Contour
der Ringfläche .
§. 16. Functionen von x+iy , welche den untersuchten Strömungen entsprechen .
Sei x+iy , wie in §. 14 , eine eindeutige complexe Function
des Ortes auf unserer Fläche mit m algebraischen , einfachen
Unendlichkeitspuncten . Wir verwandeln unsere Fläche
nach Anleitung jenes Paragraphen in eine m -blättrige Fläche
über der x + iy -Ebene Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig ;
wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlich
eingehaltene Darstellungsweise .
und legen uns nun die Frage
vor , in welche Functionen des Argumentes x + iy die bisher
untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen .
Man erinnere sich dabei der Entwickelungen des §. 6.
Seizunächst w eine complexe Function des Ortes , welche auf
unserer Fläche , ebenso wie x + iy , eindeutig ist . Vermöge der
Festsetzungen , die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer
Functionen und insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen
worden sind , ergibt sich sofort , dass w als Function
von x + iy = z nirgendwo einen wesentlich singulären Punct
hat . Ueberdiess ist w auf der m -blättrigen über der z -Ebene
ausgebreiteten Fläche , so gut wie auf der ursprünglichen
Fläche , eindeutig . Daher folgt auf Grund bekannter Sätze :
dass w eine algebraische Function von z ist .
Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen ,
dass die m Werthe von w , welche demselben z entsprechen ,
zu je \nu übereinstimmen mögen ( wobei \nu natürlich ein Theiler
von m sein muss ) . Aber jedenfalls können wir solche eindeutige
Functionen w auswählen , bei denen dieses nicht der
Fall ist . Wir bestimmten oben ( §. 13 ) die eindeutigen Functionen ,
indem wir ihre Unendlichkeitspuncte willkürlich annahmen .
Wir haben es daher in der Hand , das erwähnte
Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden : wir brauchen nur die
Unendlichkeitspuncte von w so anzunehmen , dass nicht jedesmal
\nu von ihnen dasselbe z aufweisen . Dann kommt :
Die irreducibele Gleichung , welche zwischen w und z besteht :
\[
f(w, z) = 0
\]
hat in w die m^\text{te} Ordnung .
Ebensogut wird sie in z natürlich die n^{\text{te}} Ordnung besitzen ,
wenn n die Gesammtmultiplicität der Unendlichkeitspuncte
ist , die w aufweist .
Aber die Beziehung dieser Gleichung f = 0 zu unserer
Fläche ist noch eine innigere , als die blosse Uebereinstimmung
der Ordnung mit der Blätterzahl aussagt . Zu jedem Puncte
der Fläche gehört nur ein Werthepaar w , z , das der Gleichung
genügt , und umgekehrt gehört zu jedem solchen Werthepaare
im Allgemeinen Im Besonderen kann diess anders sein . Wenn man w und z als
Parallel-Coordinaten , die zwischen ihnen bestehende Gleichung durch
eine Curve deutet , so sind es , wie man weiss , die Doppelpuncte dieser
Curve , welche jenen besonderen Vorkommnissen entsprechen .
nur ein Punct der Fläche . Gleichung
und Fläche sind sozusagen eindeutig auf einander bezogen .
Es sei jetzt w_1 eine neue eindeutige Function auf unserer
Fläche , also jedenfalls eine algebraische Function von z . Dann
kann man die Art dieser algebraischen Function , nachdem einmal
die Gleichung f(w,z) = 0 unter der angegebenen Voraussetzung
gebildet ist , mit zwei Worten kennzeichnen . Man
zeigt nämlich , dass w_1 eine rationale Function von w und z ist ,
und dass auch umgekehrt jede rationale Function von w und z eine
Function vom Charakter des w_1 abgibt . Das Letztere ist selbstverständlich .
Denn eine rationale Function von w und z ist in
unserer Fläche eindeutig ; überdiess als analytische Function von
z eine complexe Function des Ortes in der Fläche . Aber auch das
Erstere ist leicht zu beweisen Vergl. die eingehende Beweisführung bei Prym , Borchardt's
Journal , Bd. 83 , p. 251 ff. : Beweis eines Riemann'schen Satzes .
.
Man bezeichne die m Werthe
von w , die zu einem beliebigen Werthe von z gehören , mit
w^{(1)} , w^{(2)} , \dotsc w^{(m)} ( allgemein w^{(\alpha)} ) , die entsprechenden
Werthe von w_1 ( die nicht nothwendig alle verschieden zu sein
brauchen ) mit w_1^{(1)} , w_1^{(2)} , \dotsc w_1^{(m)} . Dann ist die Summe :
\[
w_1^{(1)}w^{(1)^\nu} + w_1^{(2)}w^{(2)^\nu} + \dotsb w_1^{(m)}w^{(m)^\nu}
\]
( wo \nu eine beliebige , positive oder negative ganze Zahl bedeuten
soll ) als symmetrische Function der verschiedenen
Werthe w_1^{(\alpha)}w^{(\alpha)^\nu} eine eindeutige Function von z , und also ,
als algebraische Function , eine rationale Function von z . Aus
m beliebigen der so entstehenden Gleichungen kann man
w_1^{(1)} , w_1^{(2)} , \dotsc w_1^{(m)} als linear vorkommende Unbekannte berechnen ,
und es zeigt dann eine leichte Discussion , dass in
der That das einzelne w_1^{(\alpha)} eine rationale Function des zugehörigen
w^{(\alpha)} und des z geworden ist . —
Von diesem Satze ausgehend bestimmt man nun auch
sofort den Charakter derjenigen Functionen von z , welche
durch die von uns in Betracht gezogenen mehrdeutigen Functionen
des Ortes geliefert werden . Sei W eine solche Function .
Dann ist W jedenfalls eine analytische Function von z ; man
kann also von einem Differentialquotienten \dfrac{dW}{dz} sprechen und
diesen selbst wieder als complexe Function des Ortes auf
unserer Fläche deuten . Derselbe ist nothwendig als Function
des Ortes eindeutig . Denn die Vieldeutigkeit von W bezieht
sich ja nur auf constante Periodicitätsmoduln , welche , in beliebiger
Vielfachheit genommen , dem Anfangswerthe additiv
hinzutreten können . Daher ist \dfrac{dW}{dz} nach dem eben Bewiesenen
eine rationale Function von w und z , und es stellt sich also
W als Integral einer solchen Function dar :
\[
W = \int R(w,\;z)\;dz.
\]
Der umgekehrte Satz , dass jedes solche Integral eine
complexe Function des Ortes in unserer Fläche abgibt , welche
zu der von uns betrachteten Functionsclasse gehört , ist auf
Grund bekannter Entwickelungen selbstverständlich . Diese
Entwickelungen beziehen sich einmal auf das Unendlichwerden
der Integrale , andererseits auf die Werthänderungen , welche die
Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden . Ein
näheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnöthig . —
Wir sind , wie wir sehen , zu einem wohlumgränzten Resultate
geführt worden . Ist erst einmal die algebraische Gleichung
bestimmt , welche die Abhängigkeit zwischen z und dem
in hohem Maasse willkürlichen w definirt , so sind die übrigen
Functionen des Ortes der Art nach wohlbekannt ; sie decken
sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen Functionen von
w und z , und mit den Integralen solcher Functionen .
Es wird gut sein , dieses Resultat am Falle der wiederholt
betrachteten Ringfläche p = 1 zu erläutern . Als Functionen
z und w werden wir dieselben zu Grunde legen , die
im vorigen Paragraphen besprochen wurden , und von denen
die erstere durch die Figuren ( 42 ) , ( 43 ) erläutert wird . Die
zwischen ihnen bestehende Gleichung lautet einfach , wie wir
wissen :
\[
w^2 = 1 - z^2 \cdot 1 - \varkappa^2z^2
\]
und es verwandeln sich also die Integrale \int R(w,\;z)\;dz in
diejenigen , die man als elliptische Integrale zu bezeichnen
pflegt . Unter ihnen gibt es , nach §. 12 , ein einziges " überall
endliches " Integral . Aus der in Figur ( 38 ) gegebenen Abbildung
folgt , dass dieses kein anderes ist , als das dort betrachtete
\displaystyle\int\frac{dz}{w} , das gewöhnlich sogenannte Integral erster
Gattung . Die zugehörigen Niveaucurven und Strömungscurven
sind dieselben , welche in Figur ( 21 ) und ( 22 ) dargestellt sind .
Aber auch diejenigen Functionen , denen die Figuren ( 29 ) und
( 30 ) , bez. ( 31 ) und ( 32 ) entsprechen , sind in der gewöhnlichen
Analysis wohlbekannt . Wir haben das einemal eine
Function mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspuncten , das
andere Mal eine solche mit nur einem algebraischen Unstetigkeitspuncte .
Als Functionen von z betrachtet geben dieselben
solche elliptische Integrale ab , welche man als Integrale dritter
Gattung bez. zweiter Gattung zu bezeichnen pflegt .
§. 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen .
Mit den Entwickelungen des vorigen Paragraphen ist der
Zielpunct , den wir uns mit der allgemeinen Fragestellung des
§. 7 gesteckt haben , thatsächlich erreicht . Wir haben auf
beliebiger Fläche die allgemeinsten für uns in Betracht kommenden
complexen Functionen des Ortes bestimmt und nun
die analytischen Abhängigkeiten derselben von einander definirt ,
indem wir zusahen , wie alle von einer , übrigens beliebig
gewählten , eindeutigen Function des Ortes im Sinne
der gewöhnlichen Analysis abhängig sind . Es bleibt uns also ,
um unseren Gedankengang abzuschliessen , nur noch ein Umblick
zu halten , was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen
sein mag . Wir haben dann allerdings keineswegs
den vollen Inhalt aber doch die Grundlage der Riemann'schen
Theorie gewonnen , und es kann wegen weiterer Ausführungen
auf Riemann's Originalarbeit sowie die sonstigen
Darstellungen der Theorie verwiesen werden .
Constatiren wir zunächst , dass es in der That die Gesammtheit
der algebraischen Functionen und ihrer Integrale
ist , welche durch unsere Untersuchung umspannt wird . Denn
wenn eine beliebige algebraische Gleichung f(w, z) = 0 gegeben
ist , so können wir in der gewöhnlichen Weise über
der z -Ebene eine zugehörige mehrblättrige Riemann'sche
Fläche construiren und nun auf dieser einförmige Strömungen
und complexe Functionen des Ortes studieren ( vergl. §. 15 ) .
Wir fragen , ob das Studium dieser Functionen durch
unsere Betrachtungen in der That gefördert sei . Erinnern
wir uns zu dem Zwecke , dass es vor allen Dingen die Vieldeutigkeit
der Integrale war , welche so lange einen Fortschritt
in ihrer Theorie verhindert hat . Dass Integrale durch
das Auftreten logarithmischer Unstetigkeitspuncte vieldeutig
werden , hatte schon Cauchy erkannt . Aber erst durch die
Riemann'sche Fläche ist die andere Art von Periodicität ,
welche in dem Zusammenhange der Fläche ihren Grund hat
und an den Querschnitten der Fläche gemessen wird , uns
völlig deutlich geworden . — Ein anderer Punct ist dieser .
Man hat sich von je bei der Untersuchung der Integrale der
Umformung durch Substitution bedient , ohne sich indess über
eine bloss empirische Verwerthung derselben beträchtlich zu
erheben . Bei Riemann's Theorie ist eine umfangreiche Classe
von Substitutionen von selbst gegeben und in ihrer Wirkung
zu beurtheilen . Die Variabelen w und z sind für uns nur
irgend zwei , von einander unabhängige , eindeutige Functionen
des Ortes ; wir können statt ihrer ebensogut zwei andere ,
w_1 und z_1 , zu Grunde legen , wobei sich w_1 und z_1 als übrigens
beliebige rationale Functionen von w und z und ebensowohl
letztere als rationale Functionen von w_1 und z_1 erweisen . Die
Riemann'sche Fläche , auf der wir operiren , wird von dieser
Umänderung durchaus nicht nothwendig betroffen . Unter der
Menge der zufälligen Eigenschaften unserer Functionen erkennen
wir also wesentliche , welche bei eindeutiger Umformung
ungeändert bleiben . Und vor Allem tritt uns in der Zahl p
von vorneherein ein solches invariantes Element entgegen . — Indem
die Riemann'sche Theorie die beiden hiermit bezeichneten
Schwierigkeiten , welche frühere Bearbeiter gehemmt
hatten , bei Seite räumt , gelangt sie unmittelbar zu
dem Satze , den wir in §. 10 aufstellten , und der die Willkürlichkeit
der in Betracht zu ziehenden Functionen bestimmt .
Ich meine den Satz , dass man ( unter den wiederholt angegebenen
Beschränkungen ) die Unendlichkeitspuncte der Function
und die Periodicitätsmoduln ihres reellen Theiles an den Querschnitten
als willkürliche und hinreichende Bestimmungsstücke
derselben erachten darf . —
So etwa stellt sich die Bilanz , wenn man die functionentheoretischen
Interessen , wie es unter Mathematikern
zu geschehen pflegt , voranstellt . Aber vergessen wir nicht ,
dass die umgekehrte Auffassung im Grunde ebenso berechtigt
ist . Das Studium einförmiger Strömungen auf gegebenen
Flächen kann umsomehr als Selbstzweck betrachtet werden ,
als es bei zahlreichen physikalischen Problemen unmittelbar
zu Verwerthung gelangt . In der unendlichen Mannigfaltigkeit
dieser Strömungen orientirt uns die Riemann'sche
Theorie , indem sie auf den Zusammenhang hinweist , der
zwischen diesen Strömungen und den algebraischen Functionen
der Analysis statt hat .
Wir können endlich den geometrischen Gesichtspunct hervorkehren ,
und die Riemann'sche Theorie als ein Mittel betrachten ,
um die Lehre von der conformen Abbildung geschlossener
Flächen auf einander der analytischen Behandlung
zugänglich zu machen . Eben diese Auffassung ist es , der ich
im folgenden , dritten Abschnitte meiner Darstellung Ausdruck
zu geben bemüht bin . Es wird nicht nöthig sein , schon an
dieser Stelle ausführlicher hierauf einzugehen .
§. 18. Weiterbildung der Theorie .
In Riemann's eigenem Gedankengange , wie ich ihn vorstehend
zu schildern versuchte , veranschaulicht die Riemann'sche
Fläche nicht nur die in Betracht kommenden
Functionen , sondern sie definirt dieselben . Es scheint möglich ,
diese beiden Dinge zu trennen : die Definition der Functionen
von anderer Seite zu nehmen und die Fläche nur als
Mittel der Veranschaulichung beizubehalten . Das ist es in der
That , was von der Mehrzahl der Mathematiker um so lieber
geschehen ist , als Riemann's Definition der Function bei genauerer
Untersuchung beträchtliche Schwierigkeiten mit sich
bringt Vergl. die betreffenden Bemerkungen der Vorrede .
.
Man beginnt also etwa mit der algebraischen Gleichung
und der Begriffsbestimmung des Integrals , und construirt
erst hinterher eine zugehörige Riemann'sche Fläche .
Dann aber ist von selbst eine grosse Verallgemeinerung
der ursprünglichen Auffassung gegeben . Bislang galten uns
zwei Flächen nur dann als gleichwerthig , wenn die eine aus
der anderen durch eindeutige conforme Abbildung entstand .
Jetzt ist kein Grund mehr , an der Conformität der Abbildung
festzuhalten . Jede Fläche , welche durch stetige Abbildung eindeutig
in die gegebene verwandelt werden kann , überhaupt jedes
geometrische Gebilde , dessen Elemente sich stetig eindeutig auf
die ursprüngliche Fläche beziehen lassen , kann ebensowohl zur
Versinnlichung der in Betracht zu ziehenden Functionen gebraucht
werden . Ich habe diesem Gedanken , wie ich bei
gegenwärtiger Gelegenheit ausführen möchte , in früheren Arbeiten
nach zwei Richtungen hin Ausdruck gegeben .
Einmal operirte ich mit dem Begriffe einer möglichst
übersichtlichen , übrigens verschiedentlich modificirbaren Normalfläche
( vergl. §. 8 ) , auf welcher ich den Verlauf der in
Betracht kommenden Functionen durch verschiedene graphische
Hülfsmittel zu illustriren bemüht war Vergl. meine Arbeiten über elliptische Modulfunctionen in den
Bänden 14 , 15 , 17 der mathematischen Annalen .
. Hierher
gehören auch die Polygonnetze , deren ich mich wiederholt
bediente Man sehe insbesondere die dem 14. Annalenbande beigegebene
Tafel ( " Zur Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen '' )
sowie die später noch zu nennende Arbeit von Dyck im
17. Bande daselbst .
,
indem ich mir die Riemann'sche Fläche in geeigneter
Weise zerschnitten und dann in die Ebene ausgebreitet
dachte . Es bleibe dabei an dieser Stelle unerörtert ,
ob nicht den so entstehenden Figuren , die zunächst beliebig
stetig verändert werden dürfen , im Interesse weitergehender
functionentheoretischer Untersuchungen hinterher doch eine
gesetzmässige Gestalt ertheilt werden soll , vermöge deren
sich eine Definition der durch die Figur zu veranschaulichenden
Functionen ermöglicht .
Das andere Mal " Ueber eine neue Art von Riemann'schen Flächen '' , mathematische
Annalen Bd. 7 und 10 .
stellte ich mir die Aufgabe , in möglichst
anschaulicher Weise den Zusammenhang darzulegen
zwischen der Auffassungsweise der Functionentheorie und
derjenigen der gewöhnlichen analytischen Geometrie , welch'
letztere eine Gleichung zwischen zwei Variabelen als Curve
deutet . Indem ich von dem Satze ausging , dass jede imaginäre
Gerade der Ebene und also auch jede imaginäre Tangente einer
Curve einen und nur einen reellen Punct besitzt , erhielt ich
eine Riemann'sche Fläche , die sich an den Verlauf der gegebenen
Curve auf das Innigste anschmiegt . Ich habe diese
Fläche , wie es mein ursprünglicher Zweck war , bisher nur
zur Veranschaulichung gewisser einfacher Integrale gebraucht Siehe : Harnack ( Ueber die Verwerthung der elliptischen Functionen
für die Geometrie der Curven dritten Grades ) im 9. Bande der
mathematischen Annalen , siehe ferner meinen schon oben genannten
Aufsatz : " Ueber den Verlauf der Abel'schen Integrale bei den Curven
vierten Grades '' im 10. Bande daselbst .
.
Aber es findet eine ähnliche Bemerkung ihre Stelle , wie
oben bei den Polygonnetzen . Insofern die Fläche gesetzmässig
ist , muss auch sie zur Definition der auf ihr existirenden
Functionen dienen können . In der That kann man für diese
Functionen eine partielle Differentialgleichung bilden , welche
den Differentialgleichungen zweiter Ordnung , die wir in §§. 1
und 5 betrachten , in etwa analog ist : nur dass der Differentialausdruck ,
an den diese Gleichung anknüpft , nicht unmittelbar
als Bogenelement einer Fläche zu deuten ist . —
Diese wenigen Bemerkungen müssen genügen , um auf
Betrachtungen hinzuweisen , deren Verfolg mir interessant
scheint .
Abschnitt III. - Folgerungen .
§. 19. Ueber die Moduln algebraischer Gleichungen .
Es gibt einen wichtigen Punct , in welchem die Riemann'sche
Theorie der algebraischen Functionen nicht nur der Methode
sondern auch dem Resultate nach über die sonst üblichen
Darstellungen dieser Theorie hinausgreift . Sie besagt nämlich
dass zu jeder über der z -Ebene ausgebreiteten , graphisch gegebenen
mehrblättrigen Fläche zugehörige algebraische Functionen
construirt werden können , — wobei man beachten mag ,
dass diese Functionen , sofern sie überhaupt existiren , in
hohem Maasse willkürlich sind , da R(w,z) im Allgemeinen
gerade so verzweigt ist , wie w . — Der genannte Satz ist
um so merkwürdiger , als er eine Angabe über eine interessante
Gleichung höheren Grades implicirt . Sind nämlich die Verzweigungspuncte
einer m -blättrigen Fläche gegeben , so existiren
noch eine endliche Zahl von wesentlich verschiedenen
Möglichkeiten , dieselben in die m -Blätter einzuordnen : man
wird diese Zahl durch Betrachtungen auffinden können , die
der reinen Analysis situs angehören Solche Bestimmungen machte z. B. Hr. Kasten in seiner Inauguraldissertation :
Zur Theorie der dreiblättrigen Riemann'schen Fläche .
Bremen 1876 .
. Aber dieselbe Zahl
hat unserem Satze zufolge ihre algebraische Bedeutung . Man
bezeichne , wie es Riemann thut , alle solche algebraischen
Functionen von z als derselben Classe angehörig , die sich ,
unter Benutzung von z , rational durch einander ausdrücken
lassen . Dann ist unsere Wenn es hier wieder gestattet ist auf eigene Arbeiten zu verweisen ,
so geschehe diess zunächst mit Bezug auf eine Stelle im 12. Bande
der mathematischen Annalen ( p. 173 ) , wo der Schluss begründet wird ,
dass gewisse rationale Functionen durch die Zahl ihrer Verzweigungen
völlig bestimmt sind , sodann in Bezug auf Bd. 15 , p. 533 ebenda , wo
eine ausführliche Betrachtung lehrt , dass es zehn rationale Functionen
elften Grades gibt , die gewisse Verzweigungsstellen besitzen .
Zahl die Anzahl der verschiedenen
Classen algebraischer Functionen , welche in Bezug auf z die
gegebenen Verzweigungswerthe besitzen .
Ich wünsche im gegenwärtigen und im folgenden Paragraphen
verschiedene Folgerungen zu ziehen , die sich aus
dem vorausgeschickten Satze gewinnen lassen , und zwar mag zunächst
die Frage nach den Moduln der algebraischen Functionen
behandelt werden , d. h. die Frage nach denjenigen Constanten ,
welche bei eindeutiger Transformation der Gleichungen
f(w,z) = o die Rolle der Invarianten spielen .
Sei zu diesem Zwecke \varrho eine zunächst unbekannte Zahl ,
welche angibt , wie vielfach unendlich oft eine Fläche sich
eindeutig in sich transformiren , d. h. conform auf sich selber
abbilden lässt . Sodann erinnere man sich an die Anzahl der
Constanten in den eindeutigen Functionen auf gegebener
Fläche ( §. 13 ) . Es gab im Allgemeinen \infty^{2m - p + 1} eindeutige
Functionen mit m Unendlichkeitspuncten , und diese Zahl
war jedenfalls genau richtig ( wie ohne Beweis angegeben
wurde ) , wenn m > 2p - 2 war . Nun bildet jede dieser
Functionen die gegebene Fläche auf eine m -blättrige Fläche
über der Ebene eindeutig ab . Daher ist die Gesammtheit der
m -blättrigen Flächen , auf welche man eine gegebene Fläche
conform eindeutig beziehen kann , und also auch der m -blättrigen
Flächen , die man einer Gleichung f(w,z) = 0 durch
eindeutige Transformation zuordnen kann , \infty^{2m - p + 1 - \varrho} fach .
Denn jedesmal \infty^\varrho Abbildungen ergeben dieselbe m -blättrige
Fläche , weil jede Fläche der Voraussetzung nach \infty^\varrho mal auf
sich selber abgebildet werden kann .
Nun gibt es aber überhaupt \infty^w m -blättrige Flächen , unter
w die Zahl der Verzweigungspuncte , d. h. 2m + 2p - 2 verstanden .
Denn durch die Verzweigungspuncte wird die Fläche ,
wie oben bemerkt , endlich-deutig bestimmt , und Verzweigungspunkte
höherer Multiplicität entstehen durch Zusammenrücken
einfacher Verzweigungspuncte , wie dieses betreffs der entsprechenden
Kreuzungspuncte bereits in §. 1 erläutert wurde
( vergl. Figur ( 2 ) und ( 3 ) daselbst ) . Zu jeder dieser Flächen
gehören , wie wir wissen , algebraische Functionen . Die Anzahl
der Moduln ist daher w - (2m + 1 - p - \varrho) = 3p - 3 + \varrho .
Bemerken wir hierzu , dass die Gesammtheit der m -blättrigen
Flächen mit w Verzweigungspuncten ein Continuum
bildet Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch ,
die man in den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet
findet .
, wie das Entsprechende betreffs der auf gegebener
Fläche existirenden eindeutigen Functionen mit m Unendlichkeitspuncten
bereits in §. 13 hervorgehoben wurde . Wir
schliessen dann , dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen
p ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit
constituiren ( wobei wir alle Gleichungen , die aus
einander durch eindeutige Transformation hervorgehen , als
ein Individuum erachten ) . Hierdurch erst gewinnt die angegebene
Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung : sie ist die
Zahl der Dimensionen dieser zusammenhängenden Mannigfaltigkeit .
Es kommt jetzt noch darauf an , die Zahl \varrho zu bestimmen .
Diess geschieht durch folgende Sätze :
1. Jede Gleichung p = o kann \infty^3 mal eindeutig in sich ,
selbst transformirt werden . Denn auf der zugehörigen Riemann'schen
Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem
Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl ( §. 13 ) , von
denen man , um eine eindeutige Transformation der Fläche
in sich zu haben , nur irgend zwei entsprechend zu setzen
hat . — Des Näheren stellt sich die Sache so . Heisst eine
der genannten Functionen z , so sind alle anderen ( nach §. 16 )
algebraische eindeutige , d. h. rationale Functionen von z , und ,
da das Verhältniss umkehrbar sein muss , lineare Functionen
von z . Umgekehrt ist auch jede lineare Function von z eine
eindeutige Function des Ortes in unserer Fläche , mit nur
einem Unendlichkeitspuncte . Daher wird man die allgemeinste
eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen ,
wenn man jedem Puncte z der Riemann'schen Fläche einen
anderen durch die Formel zuordnet :
\[
z_1 = \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta},
\]
unter \alpha:\beta:\gamma:\delta beliebige Constante verstanden .
2 ) Jede Gleichung p = 1 kann einfach unendlich oft eindeutig
in sich transformirt werden . Zum Beweise betrachte
man das zugehörige überall endliche Integral W und insbesondere
die Abbildung , welche von der zweckmässig zerschnittenen
Riemann'schen Fläche in der Ebene W entworfen wird .
Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan
( §. 15 , Figur ( 38 ) ) ; eine genaue Ausführung im allgemeinen
Falle wird um so weniger nöthig sein , als es sich um Betrachtungen
handelt , die in der Theorie der elliptischen Functionen
ausführlich entwickelt zu werden pflegen . Das Resultat
ist , dass zu jedem Werthe von W ein Punct und nur ein
Punct der betreffenden Riemann'schen Fläche gehört , während
sich die unendlich vielen Werthe von W , die demselben Punkte
der Riemann'schen Fläche entsprechen , aus einem derselben
in der Form zusammensetzen : W + m_1\omega_1 + m_2\omega_2 , unter
m_1 , m_2 beliebige ganze Zahlen , unter \omega_1 , \omega_2 die beiden
Perioden des Integrals verstanden . Bei eindeutiger Umformung
wird jedem Puncte W ein Punct W_1 in der Weise zugeordnet
werden müssen , dass jeder Vermehrung von W um Perioden
eine solche von W_1 entspricht , und umgekehrt . Diess gelingt
in der That , aber im Allgemeinen nur in der Weise , dass
man
\[
W_1 = \pm W + C
\]
setzt . Nur im besonderen Falle ( wenn das Periodenverhältniss
\frac{\omega_1}{\omega_2} bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat ) kann W_1
auch gleich \pm i W + C , oder \pm\varrho W + C gesetzt werden
( unter \varrho eine dritte Einheitswurzel verstanden ) Ich führe dieses Resultat , welches aus der Theorie der elliptischen
Functionen wohlbekannt ist , im Texte ohne Beweis an .
. Wie dem
auch sei , wir haben in jedem Falle in den Transformationsformeln
nur eine willkürliche Constante und also den wechselnden
Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich
viele Transformationen , wie behauptet wurde .
3 ) Gleichungen p>1 können niemals unendlich oft eindeutig
in sich transformirt werden . Es ist bei diesem Satze an eine continuirliche Schaar von Transformationen ,
also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen
Parametern gedacht . Ob eine Fläche p > 1 unter Umständen nicht
durch unendlich viele discrete Transformationen in sich übergehen
kann , bleibt im Texte unerörtert ; doch scheint diess bei endlichem
p in der That auch unmöglich .
Ich verweise , was den analytischen Beweis dieser Behauptung
angeht , auf die Darstellungen von Schwarz
( Borchardt's Journal Bd. 87 ) und Hettner ( Göttinger Nachrichten ,
1880 , p. 386 ) . Auf anschauungsmässigem Wege kann
man sich die Richtigkeit der Behauptung folgendermassen
verständlich machen . Sollte es unendlich viele eindeutige
Transformationen der Gleichung in sich geben , so müsste es
möglich sein , die zugehörige Riemann'sche Fläche derart continuirlich
über sich hin zu verschieben , dass jede kleinste
Figur mit sich selbst ähnlich bleibt . Die Curven , längs deren
eine solche Verschiebung vor sich ginge , müssten die Fläche
jedenfalls vollständig und zugleich einfach überdecken . Ein
Kreuzungspunct dürfte in diesem Curvensysteme offenbar
nicht vorhanden sein . Man müsste einen solchen Punct nämlich ,
damit keine Vieldeutigkeit der Transformation eintritt ,
als festbleibenden Punct betrachten und also die Geschwindigkeit
der Verschiebung in ihm gleich Null setzen . Dann aber
würde eine kleine Figur , welche bei der Verschiebung auf
den Kreuzungspunct zu rückt , im Sinne der Bewegung nothwendig
zusammengedrückt , senkrecht dazu auseinandergezogen
werden ; sie könnte also nicht mit sich selbst ähnlich bleiben ,
wie es doch durch den Begriff der conformen Abbildung verlangt
wird . — Andererseits müssen aber in jedem Curvensysteme ,
das eine Fläche p > 1 vollständig und einfach überdeckt ,
nothwendig Kreuzungspuncte vorhanden sein . Diess
ist derselbe Satz , den wir , in etwas weniger allgemeiner Form ,
in §. 11 aufgestellt haben . — Die ganze Verschiebung der
Fläche in sich ist also unmöglich , was zu beweisen war .
Nach diesen Sätzen ist \varrho = 3 für p = o , gleich 1 für
p = 1 , und gleich Null für alle grösseren p . Die Zahl der
Moduln ist also für p = 0 gleich Null , für p = 1 gleich Eins ,
für grössere p gleich 3p-3 .
Es wird gut sein , noch folgende Bemerkungen hinzuzufügen .
Um den Punct eines Raumes von (3p-3) Dimensionen
zu bestimmen , wird man im Allgemeinen mit (3p-3)
Grössen nicht ausreichen : man wird mehr Grössen benöthigen ,
zwischen denen dann algebraische ( oder auch transcendente ) Relationen
bestehen . Ausserdem mag es aber auch sein , dass man
zweckmässigerweise Bestimmungsstücke einführt , von denen jedesmal
verschiedene Serien denselben Punct der Mannigfaltigkeit
bezeichnen . Welche Verhältnisse bei den (3p-3) Moduln , die
bei p > 1 existiren müssen , in dieser Hinsicht vorliegen , ist nur
erst wenig erforscht . Dagegen ist der Fall p = 1 aus der Theorie
der elliptischen Functionen genau bekannt . Ich erwähne die
auf ihn bezüglichen Resultate , um mich im Folgenden bei
aller Kürze doch präcise ausdrücken zu können . Sei vor allen
Dingen hervorgehoben , dass für p = 1 das algebraische Individuum
( um diesen oben gebrauchten Ausdruck noch einmal
zu verwenden ) in der That durch eine ( und nur eine ) Grösse
charakterisirt werden kann : die absolute Invariante J = \dfrac{{g_2}^3}{\Delta Vergl. die Darstellung im 14. Bande der mathematischen Annalen ,
p. 112 ff .
. Wenn im Folgenden gesagt wird , dass zur Ueberführbarkeit
zweier Gleichungen p = 1 in einander die Gleichheit des
Moduls nicht nur hinreichend , sondern auch erforderlich sei ,
so ist stets an die Invariante J gedacht . Statt ihrer verwendet
man , wie bekannt , gewöhnlich das Legendre 'sche \varkappa^2 , welches
bei gegebenem J sechswerthig ist , so dass bei der Formulirung
allgemeiner Sätze eine gewisse Schwerfälligkeit unvermeidbar
scheint . In noch höherem Maasse ist dies der Fall , wenn
man das Periodenverhältniss \dfrac{\omega_1}{\omega_2} des elliptischen Integrals
erster Gattung , wie dies in anderer Beziehung vielfach zweckmässig
ist , als Modul einführt . Jedesmal unendlich viele
Werthe des Moduls bezeichnen dann dasselbe algebraische
Individuum .
§. 20. Conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst .
In den nun noch folgenden Paragraphen mögen die entwickelten
Principien , wie in Aussicht gestellt , nach der geometrischen
Seite verfolgt werden , um wenigstens die Grundzüge
für eine Theorie der conformen Abbildung von Flächen
auf einander zu gewinnen Die im Texte aufzustellenden Sätze finden sich explicite grösstentheils
in der Literatur nicht vor . Wegen der Flächen p = 0 vergleiche
man den bereits citirten Aufsatz von Schwarz ( Berliner Monatsberichte
1870 ) . Man sehe ferner eine Arbeit von Schottky : Ueber die conforme
Abbildung mehrfach zusammenhängender Flächen } , die als Berliner
Inaugural-Dissertation 1875 erschien und später ( 1877 ) in umgearbeiteter
Form in Borchardts Journal Bd. 83 abgedruckt wurde . Es handelt sich
in derselben um solche p -fach zusammenhängende ebene Bereiche ,
welche von (p + 1) Randcurven begränzt werden .
und so den Andeutungen zu
entsprechen , mit denen Riemann , wie bereits in der Vorrede
bemerkt , seine Dissertation abschloss . Ich werde mich dabei ,
was die Fälle p = 0 und p = 1 angeht , um nicht zu weitläufig
zu werden , vielfach auf eine blosse Angabe der Resultate
oder eine Andeutung ihres Beweises beschränken müssen .
Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen
einer geschlossenen Fläche auf sich selbst fragen , haben wir
eine Unterscheidung einzuführen , von der bislang noch nicht
die Rede war : die Abbildung kann ohne Umlegung der Winkel
geschehen oder mit Umlegung derselben . Wir haben eine Abbildung
der einen Art , wenn wir eine Kugel durch Drehung
um den Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen ;
wir bekommen die zweite Art , wenn wir zu demselben Zwecke
eine Spiegelung an einer Diametralebene verwenden . Die
analytische Behandlung , wie wir sie bisher benutzten , entspricht
nur den Abbildungen der ersten Art . Sind u + iv
und u_1 + iv_1 zwei complexe Functionen des Ortes auf derselben
Fläche , so liefert u = u_1 , v = v_1 die allgemeinste Abbildung
erster Art ( vergl. §. 6 ) . Aber es ist leicht zu sehen ,
wie man die Erweiterung zu treffen hat , um auch Abbildungen
zweiter Art zu umfassen . Man hat einfach u = u_1 , v = - v_1
zu setzen , um eine Abbildung zweiter Art zu haben .
Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen
Paragraphen , was sich auf Abbildung der ersten Art bezieht .
Indem wir uns möglichst geometrischer Ausdrucksweise bedienen ,
formuliren wir die folgenden Theoreme :
Flächen p = 0 oder p = 1 können immer , Flächen p > 1
niemals unendlich oft durch Abbildung der ersten Art in sich
übergeführt werden .
Bei den Flächen p = 0 ist die einzelne Abbildung der
ersten Art bestimmt , wenn man drei beliebige Puncte der Fläche
drei beliebigen Puncten derselben zugeordnet hat .
Ist p = 1 , so darf man einen beliebigen Punct der Fläche
einem zweiten nach Willkür zuweisen , und hat dann noch zur
Bestimmung der Abbildung erster Art im Allgemeinen eine
zweifache , im besonderen Falle eine vierfache oder sechsfache
Möglichkeit .
Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen , dass
besondere Flächen p > 1 durch getrennte Transformationen
der ersten Art in sich übergehen mögen . Tritt diess ein ,
so bildet es eine bei beliebiger conformen Umänderung der
Fläche invariante Eigenschaft , nach deren Vorhandensein und
Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der Gesammtheit
der übrigen herausgehoben werden können . Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer
Gruppe eindeutiger Transformationen in sich . Die Bemerkungen des
Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab , wie sie in neuerer
Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind ( cf. die bereits citirte Arbeit
im 17. Bande der Mathematischen Annalen : Aufstellung und Untersuchung
von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen ) .
Doch verfolgen wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter .
Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir
voranstellen , dass jede Transformation der zweiten Art in
Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation
der zweiten Art ergibt . Nun kennen wir bei den
Flächen p = 0 und p = 1 die Transformationen erster Art
auf Grund der angegebenen Sätze vollständig . Es wird bei
ihnen also genügen , zu untersuchen , ob überhaupt eine Transformation
der zweiten Art existirt . Bei den Flächen p = 0
ist diess sofort zu bejahen . Denn es genügt , eine beliebige
der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte ,
x + iy , herauszugreifen , und dann x_1 = x ,
y_1 = - y zu setzen . Bei den Flächen p = 1 ist die Sache
anders . Man findet , dass im Allgemeinen keine Transformation
der zweiten Art existirt . Zum Beweise ist es am einfachsten ,
die Werthe in Betracht zu ziehen , welche das überall
endliche Integral W auf der Fläche p = 1 annimmt . Man denke
sich in der Ebene W die Puncte W = m_1\omega_1 + m_2\omega_2 markirt ,
unter m_1, m_2 wie oben beliebige positive oder negative ganze
Zahlen verstanden . Man zeigt dann leicht , dass eine Transformation
der zweiten Art der Fläche p = 1 in sich nur dann
möglich ist , wenn dieses Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt .
Es ist diess gerade der Fall , in welchem die oben definirte absolute
Invariante J einen reellen Werth aufweist . Je nachdem
dabei J < oder > 1 , können jene Puncte in der W -Ebene
als die Ecken eines rhombischen oder eines rechteckigen Systems
betrachtet werden .
Sei nun p > 1 . Wenn für eine solche Fläche eine Transformation
der zweiten Art existirt , so wird dieselbe im Allgemeinen
von keiner weiteren Transformation derselben Art
begleitet sein Es gibt natürlich wieder Flächen , welche neben einer Anzahl
von Transformationen erster Art eine gleiche Anzahl von Transformationen
zweiter Art zulassen ; dieselben entsprechen den regulär-symmetrischen
Flächen der Dyck'schen Arbeit .
. Denn sonst würde die Wiederholung oder
Combination dieser Transformationen eine von der Identität
verschiedene Transformation der ersten Art liefern . Die Transformation
muss daher nothwendig eine symmetrische sein , d. h.
eine solche , welche die Puncte der Fläche paarweise zusammenordnet .
Ich will dementsprechend die Fläche selbst eine
symmetrische nennen .
Uebrigens mögen hinterher unter diesem Namen überhaupt
alle Flächen mit einbegriffen sein , welche Transformationen
zweiter Art in sich zulassen , die zweimal angewandt zur
Identität zurückführen . Es gehören dahin , wie man sofort
sieht , die Flächen p = 0 , sowie auch sämmtliche Flächen
p = 1 mit reeller Invariante .
§. 21. Besondere Betrachtung der symmetrischen Flächen .
Für die symmetrischen Flächen , auf die wir hier unser
besonderes Augenmerk richten wollen , ergibt sich sofort eine
Eintheilung nach der Zahl und Art der auf ihr befindlichen
Uebergangscurven , d. h. derjenigen Curven , deren Puncte bei
der in Betracht kommenden symmetrischen Umformung ungeändert
bleiben .
Die Zahl dieser Curven kann jedenfalls nicht grösser sein ,
als (p+1) . Denn wenn man eine Fläche längs aller ihrer
Uebergangscurven mit Ausnahme einer einzigen zerschneidet ,
so bildet sie , indem ihre symmetrischen Hälften noch immer
in der einen Uebergangscurve zusammenhängen , nach wie
vor ein ungetrenntes Ganze . Es würden sich also , wenn
mehr als (p + 1) Uebergangscurven vorhanden wären , auf
der Fläche mehr als p nicht zerstückende Rückkehrschnitte
ausführen lassen , was ein Widerspruch gegen die Definition
der Zahl p ist .
Dagegen ist unterhalb dieser Gränze jede Zahl von Uebergangscurven
möglich . Es mag hier genügen , in diesem Sinne
die Fälle p = 0 und p = 1 zu discutiren ; für die höheren p
ergeben sich dann von selbst naheliegen de Beispiele .
1 ) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene
mit sich zur Deckung bringen , so bildet der
grösste Kreis , in welchem sie von der Diametralebene geschnitten
wird , eine Uebergangscurve . Wir erhalten eine
Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte
der Kugel entsprechend setzen , welche die Endpuncte eines
Durchmessers bilden . Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren .
Die analytische Darstellung ist diese . Wenn eine
Uebergangscurve existirt , so gibt es eindeutige Functionen
des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte , die auf der
Uebergangscurve reelle Werthe annehmen . Heisst eine derselben
x + iy , so ist die Umformung , wie oben schon
als Beispiel angegeben , durch x_{1} = x , y_{1} = -y gegeben . — Im
zweiten Falle kann man eine Function x + iy so wählen ,
dass ihre Werthe \infty und 0 , sowie +1 und -1 zusammengeordnete
Puncte vorstellen . Dann ist
\[
x_1 - iy_1 = \frac{-1}{x+iy}
\]
die analytische Formel der betreffenden Umänderung .
2 ) Im Falle p = 1 müssen wir die Invariante J , wie wir
wissen , jedenfalls reell nehmen . Sei dieselbe zunächst > 1 .
Dann können wir das zugehörige überall endliche Integral
W ( durch Zufügung eines geigneten constanten Factors ) so
normiren , dass die eine Periode reell , gleich a , die andere
rein imaginär , gleich ib , wird . Setzen wir dann ( für
W = U + iV ) :
\[
U_1 = U,\quad V_1 = -V
\]
so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche p = 1
mit den zwei Uebergangscurven :
\[
V = o,\quad V = \frac{b}{2}
\]
schreiben wir dagegen :
\[
U_1 = U + \frac{a}{2},\quad V_1 = -V,
\]
was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist ,
so haben wir den Fall , in welchem keine Uebergangscurve
entsteht . — Der Fall mit nur einer Uebergangscurve tritt
ein , wenn wir J < 1 nehmen . Wir können dann W so
wählen , dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden .
Wir schreiben dann wieder
\[
U_1 = U,\quad V_1 = -V
\]
und haben eine symmetrische Umformung mit der einen
Uebergangscurve V = 0 .
Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der
symmetrischen Flächen nach der Zahl der Uebergangscurven
stellt sich aber noch eine zweite . Ich will die Fälle von 0
oder (p + 1) Uebergangscurven einen Augenblick ausschliessen .
Dann bietet sich von vorneherein eine doppelte
Möglichkeit . Eine Zerschneidung der Fläche längs sämmtlicher
Uebergangscurven mag nämlich entweder ein Zerfallen
der Fläche herbeiführen , oder nicht . Es sei \pi die Zahl der
Uebergangscurven . Man zeigt dann leicht , dass p - \pi ungerade
sein muss , wenn ein Zerfallen eintreten soll . Eine
weitere Beschränkung existirt nicht , wie man an Beispielen
beweist . Wir wollen dementsprechend symmetrische Flächen
der einen und der andern Art unterscheiden und den ersteren
( den zerfallenden ) Flächen die Fläche mit (p + 1) Uebergangscurven ,
den letzteren die Fläche ohne Uebergangscurve
zurechnen .
Diese Sätze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten ,
welche in der analytischen Geometrie die gestaltliche
Untersuchung der Curven von gegebenen p erzielt hat . Vergl. Harnack : Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen
Curven , in Bd. 10 der Mathematischen Annalen , p. 189 ff . ; vergleiche
ferner p. 415 , 416 daselbst , wo ich die Eintheilung jener Curven
in zweierlei Arten gegeben habe . Vielleicht ist es zweckmässig , bei
diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und
die Riemann'sche Theorie , so wie beide hier im Texte dargestellt
werden , geradezu als Ausgangspunct zu wählen .
Und in der That zeigt sich , dass diese Analogie eine begründete
ist . Die analytische Geometrie beschäftigt sich bei
jenen Untersuchungen ( zunächst ) nur mit solchen Gleichungen
\[
f(w,z) = 0,
\]
welche reelle Coefficienten besitzen . Beachten wir zunächst , dass
jede solche Gleichung über der z -Ebene in der That eine symmetrische
Riemann'sche Fläche bestimmt , insofern ja die Gleichung
und also auch die Fläche ungeändert bestehen bleibt ,
wenn man w und z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe
ersetzt — und dass die Uebergangscurven auf dieser Fläche
den reellen Werthereihen von w und z entsprechen , welche
f=0 befriedigen , d. h. genau den verschiedenen Zügen ,
welche die Curve f = 0 im Sinne der analytischen Geometrie
aufweist .
Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen . Sei eine
symmetrische Fläche und auf ihr eine beliebige complexe
Function des Ortes , u + iv , gegeben . Bei der symmetrischen
Umformung erfährt unsere Fläche eine Umlegung der Winkel .
Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe
u_1 , v_1 beilegt , wie sie , unter der Benennung u , v , sein symmetrischer
Punct aufweist , so wird u_1 - iv_1 eine neue complexe
Function des Ortes sein . Man bilde nun :
\[
U + iV = (u + u_1) + i(v - v_1),
\]
so hat man einen Ausdruck , der im allgemeinen nicht identisch
verschwindet ; es genügt zu dem Zwecke , die Unendlichkeitspuncte
von u + iv in unsymmetrischer Weise anzunehmen .
Man hat also eine complexe Function des Ortes ,
welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle aber
entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist . — Solcher
U + iV mögen nun irgend zwei : W und Z , die überdiess
eindeutige Functionen des Ortes sein sollen , herausgegriffen
werden . Die zwischen diesen bestehende algebraische Gleichung
hat dann die Eigenschaft , ungeändert zu bleiben , wenn
man W und Z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe
ersetzt . Sie ist also eine Gleichung mit reellen Coefficienten ,
womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist .
Ich knüpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen
üher die reellen eindeutigen Transformationen reeller Gleichungen
f(w, z) = 0 in sich , oder , was dasselbe ist , über
solche conforme Abbildungen erster Art symmetrischer Flächen
auf sich selbst , bei denen symmetrische Puncte wieder in
symmetrische Puncte übergehen . In unendlicher Zahl können
solche Transformationen nach dem allgemeinen Satze des
§. 19 nur für p = 0 und p = 1 auftreten ; wir beschränken
uns also auf diese Fälle . Nehmen wir zuvörderst p = 1 .
Dann sehen wir sofort , dass unter den früher aufgestellten
Transformationen nur noch diejenigen
\[
W_1 = \pm W + C
\]
in Betracht kommen , bei denen C eine reelle Constante bedeutet .
Analog in dem ersten Falle p = 0 . Die Beziehung
x_{1} = x, y_{1} = -y bleibt ungeändert , wenn man x + iy = z
und x_1 + iy_1 = z_1 gleichzeitig derselben linearen Transformation :
\[
z' = \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta}
\]
unterwirft , wo die Verhältnissgrössen \alpha : \beta : \gamma : \delta reell sind .
In dem zweiten Falle p = 0 ist die Sache etwas complicirter .
Auch bei ihm sind lineare Transformationen mit drei reellen
Parametern möglich . Dieselben nehmen aber für das oben
eingeführte z die folgende Gestalt an :
\[
z' = \frac{(a+ib)z + (c+id)}{-(c-id)z + (a-ib)},
\]
wo a : b : c : d die drei reellen Parameter vorstellen . Dieses
Resultat ist implicite in den Untersuchungen enthalten , die
sich auf die analytische Repräsentation der Drehungen der
x + iy -Kugel um ihren Mittelpunct beziehen . Siehe zumal : Cayley , on the correspondence between homographies
and rotations , Mathematische Annalen , Bd. 15 , p. 238-240 .
§ 22. Conforme Abbildung verschiedener Flächen auf einander .
Wenn es sich jetzt darum handelt , verschiedene geschlossene
Flächen auf einander abzubilden , so liefern die
vorausgeschickten Untersuchungen über die conforme Abbildung
geschlossener Flächen auf sich selbst die nöthigen
Nebenbestimmungen , welche angeben , wie oft sich eine solche
Abbildung gestaltet , sofern eine solche überhaupt möglich ist .
Flächen , welche sich conform aufeinander abbilden lassen , besitzen
jedenfalls ( wie schon hervorgehoben ) übereinstimmende
Transformationen in sich selbst . Man erhält also alle Abbildungen
der einen Fläche auf die zweite , wenn man eine
beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet , welche eine
der beiden Flächen in sich selbst überführen . Ich werde
hierauf nicht weiter zurückkommen .
Betrachten wir nun zuvörderst allgemeine , d. h. nicht
symmetrische Flächen . Dann treten die Abzählungen des
§. 19 betreffs der Moduln algebraischer Gleichungen unmittelbar
in Geltung . Wir haben zunächst :
Flächen p = 0 lassen sich immer conform auf einander
abbilden ;
und finden übrigens , dass die Flächen p = 1 einen , die
Flächen p > 1 (3 p - 3) bei conformer Abbildung unzerstörbare
Moduln besitzen . Jeder solche Modul ist im Allgemeinen
eine complexe Constante . Dem Umstande entsprechend ,
dass bei symmetrischen Flächen reelle Parameter
in Betracht gezogen werden müssen , wollen wir ihn in seinen
reellen und seinen imaginären Bestandtheil zerlegt denken .
Dann haben wir :
Sollen zwei Flächen p > 0 auf einander abbildbar sein ,
so sind im Falle p = 1 zwei , im Falle p > 1 (6p - 6)
Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen zu
erfüllen .
Indem wir uns jetzt zu den symmetrischen Flächen
wenden , haben wir noch eine kleine Zwischenbetrachtung zu
machen . Zunächst ist ersichtlich , dass zwei solche Flächen
nur dann " symmetrisch '' auf einander bezogen werden können ,
wenn sie neben dem gleichen p dieselbe Zahl \pi der Uebergangscurven
darbieten und überdiess beide entweder der ersten
oder der zweiten Art angehören . Im Uebrigen wiederhole
man speciell für die symmetrischen Flächen die Abzählungen
des §. 13 betreffs der Zahl der in eindeutigen Functionen
enthaltenen Constanten unter der Bedingung , dass nur solche
Functionen in Betracht gezogen werden , welche an symmetrischen
Stellen conjugirt imaginäre Werthe aufweisen .
Hiermit combinire man sodann nach dem Muster des §. 19
die Zahl solcher über der Z -Ebene construirbarer mehrblättriger
Flächen , welche in Bezug auf die Axe der reellen
Zahlen symmetrisch sind . Ich will dabei , um das Auftreten
unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden , zuvörderst
annehmen , dass p > 1 sei . Die Sache ist dann so
einfach , dass ich sie nicht speciell durchzuführen brauche .
Der Unterschied ist nur , dass die in Betracht kommenden ,
früher unbeschränkten Constanten nunmehr gezwungen sind ,
entweder einzeln reell oder paarweise conjugirt complex zu
sein . In Folge dessen reduciren sich alle Willkürlichkeiten
auf die Hälfte . Wir mögen folgendermassen sagen :
Zur Abbildbarkeit zweier symmetrischer Flächen p > 1
auf einander ist neben der Uebereinstimmung in den Attributen
das Bestehen von (3p - 3) Gleichungen zwischen den reellen
Constanten der Fläche erforderlich .
Die Fälle p = 0 und p = 1 , welche hierbei ausgeschlossen
wurden , sind implicite bereits im vorigen Paragraphen erledigt .
Selbstverständlich müssen zwei symmetrische Flächen
p = 1 , die sich auf einander sollen abbilden lassen , die
gleiche Invariante J besitzen , was eine Bedingung für die
Constanten der Flächen abgibt , insofern J jedenfalls reell
ist . Im Uebrigen aber findet man sofort , dass die Abbildung
sich allemal ermöglicht , sobald die symmetrischen Flächen ,
wie dies selbstverständlich verlangt werden muss , in der
Zahl der Uebergangscurven übereinstimmen .
§. 23. Berandete Flächen und Doppelflächen .
Auf Grund der nunmehr gewonnenen Resultate können
wir den bisherigen Untersuchungen über die Abbildung geschlossener
Flächen eine scheinbar bedeutende Verallgemeinerung
zu Theil werden lassen , und habe ich eben desshalb
die symmetrischen Flächen so ausführlich betrachtet . Wir
können jetzt nämlich berandete Flächen und Doppelflächen
in Betracht ziehen ( mögen nun letztere berandet sein , oder
nicht ) und mit einem Schlage die auf sie bezüglichen Fragen
erledigen . Hierzu gehört , was die Einführung der Randcurven
angeht , dass wir uns von einer gewissen Beschränkung
befreien , welche wir bisher , allerdings nur implicite , vorausgesetzt
haben . Wir dachten uns die Flächen , auf denen wir
operirten , bislang durchweg als stetig gekrümmt , oder doch
nur in einzelnen Puncten ( den Verzweigungspuncten ) mit
Unstetigkeiten behaftet . Aber nichts hindert uns , jetzt
hinterher auch andere Unstetigkeiten zuzulassen . Wir werden
uns z. B. vorstellen dürfen , dass unsere Fläche aus einer
endlichen Anzahl verschiedener ( im Allgemeinen selbst gekrümmter )
Stücke , welche unter endlichen Winkeln zusammenstossen ,
polyederartig zusammengesetzt sei . Können wir uns
doch auf einer solchen Fläche ebensogut elektrische Ströme
verlaufend denken , wie auf einer stetig gekrümmten ! Unter
diese Flächen nun lassen sich die berandeten Flächen subsumiren . Ich verdanke diese Auffassung einer gelegentlichen Unterredung
mit Hrn. Schwarz ( Ostern 1881 ) . Man vergl. p. 320 ff. der bereits
genannten Arbeit von Schottky im 83. Bande von Borchardt's Journal ,
sowie die Originaluntersuchungen von Schwarz über die Abbildung
geschlossener Polyederflächen auf die Kugel ( Berliner Monatsberichte
1865 p. 150 ff. , Borchardt's Journal Bd. 70 , p. 121—136 , Bd. 75 , p. 330 . )
Man fasse nämlich die beiden Seiten der berandeten
Fläche als Polyederflächen auf , welche längs der
Randcurve ( also durchweg unter einem Winkel von 360 Grad )
zusammenstossen und behandele nunmehr statt der ursprünglichen
berandeten Fläche die aus beiden Seiten zusammengesetzte
Gesammtfläche . Ich drücke mich im Texte der Kürze halber so aus , als wenn
die ursprüngliche Fläche eine zweiseitige Fläche gewesen wäre ,
während doch nicht ausgeschlossen sein soll , dass sie eine Doppelfläche
ist .
Diese Gesammtfläche ist dann in der
That eine geschlossene Fläche . Sie ist aber überdiess eine
symmetrische Fläche . Denn wenn man die übereinanderliegenden
Puncte der beiden Flächenseiten vertauscht , so erfährt
die Gesammtfläche eine conforme Abbildung auf sich
selbst mit Umlegung der Winkel . Die Randcurven sind
dabei die Uebergangscurven . Zugleich aber gewinnt unsere
Eintheilung der symmetrischen Flächen in zweierlei Arten eine
wichtige und durchschlagende Bedeutung . Die gewöhnlichen
berandeten Flächen , bei denen man zwei Flächenseiten unterscheiden
kann , entsprechen offenbar der ersten Art . Der
zweiten Art aber correspondiren die Doppelflächen , bei denen
man von einer Flächenseite durch continuirliches Fortschreiten
über die Fläche hin zur anderen gelangen kann . Auch der
Fall ist nicht auszuschliessen ( wie bereits angedeutet ) , dass
die Doppelfläche überhaupt keine Randcurve besitzen mag .
Wir haben dann eine symmetrische Fläche ohne Uebergangscurve
vor uns .
Ich betrachte nunmehr der Reihe nach die verschiedenen
auseinanderzuhaltenden Fälle .
1 ) Sei zuvörderst eine einfach berandete , einfach zusammenhängende
Fläche gegeben . Eine solche Fläche erscheint für
uns als eine geschlossene Fläche p = 0 , welche unter Auftreten
einer Uebergangscurve symmetrisch auf sich selbst
bezogen ist . Wir finden also , dass zwei solche Flächen sich
allemal durch Abbildung der einen oder der anderen Art conform
auf einander beziehen lassen , und dass man dabei in
jedem der beiden Fälle noch drei reelle Constanten zur willkürlichen
Verfügung hat . Wir können die letzteren insbesondere
dazu benutzen , um einen beliebigen inneren Punct
der einen Fläche einem entsprechend gelegenen Puncte
der anderen Fläche zuzuweisen und überdiess einen beliebigen
Randpunct der einen Fläche einem beliebigen Randpuncte
der anderen . Diese Bestimmungsweise entspricht dem
bekannten Satze , den Riemann betreffs der conformen Abbildung
einer einfach berandeten , einfach zusammenhängenden ,
ebenen Fläche auf die Fläche eines Kreises gegeben und in
Nro. 21 seiner Dissertation als Beispiel für die Anwendung seiner
Theorie auf Probleme der conformen Abbildung ausführlich
erläutert hat .
2 ) Wir betrachten ferner Doppelflächen p = 0 ( ohne Randcurven ) .
Aus §§. 21 , 22 folgt sofort , dass zwei solche Flächen
allemal conform auf einander bezogen werden können , und
man dabei , den Schlussformeln des §. 21 entsprechend , noch
drei reelle Constanten zu beliebiger Verfügung hat .
3 ) Die verschiedenen hier in Betracht kommenden Fälle ,
welche eine Gesammtfläche p = 1 ergeben , betrachten wir gemeinsam .
Es gehören dahin zunächst die zweifach berandeten ,
zweifach zusammenhängenden Flächen , also Flächen , die wir
uns im einfachsten Falle als geschlossene Bänder vorstellen
dürfen . Es gehören dahin ferner die bekannten Doppelflächen
mit nur einer Randcurve , die man erhält , wenn man die beiden
schmalen Seiten eines rechteckigen Papierstreifens zusammenbiegt ,
nachdem man den Streifen um 180 Grad tordirt hat .
Es gehören endlich dahin gewisse unberandete Doppelflächen .
Man kann sich von denselben ein Bild machen , indem man
etwa ein Stück eines Kautschukschlauches umstülpt und nun
so sich selbst durchdringen lässt , dass bei Zusammenbiegung
der Enden die Aussenseite mit der Innenseite zusammenkommt .
Bezüglich aller dieser Flächen besagen die früheren
Sätze , dass die Abbildbarkeit der einzelnen Fläche auf eine
zweite derselben Art das Bestehen einer aber nur einer Gleichung
zwischen den reellen Constanten der Flächen voraussetzt ,
dass aber die Abbildung , wenn überhaupt , in unendlich
vielen Weisen geschehen kann , indem man ein doppeltes Vorzeichen
und eine reelle Constante zu beliebiger Verfügung hat .
4 ) Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen
Fläche . Die Fläche soll \pi Randkurven besitzen und
überdiess p' nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen , wobei
entweder p' > 0 sein muss oder \pi > 2 . Dann wird die
aus Vorder- und Rückseite gebildete Gesammtfläche 2p' + \pi - 1
nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen . Denn man kann
erstens die p' nach Voraussetzung auf der einfachen Flächenseite
möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen ( sowohl
auf der Vorderseite , als der Rückseite ) , man kann ferner
noch längs (\pi - 1) der vorhandenen Randcurven Schnitte
anbringen , ohne dass die Gesammtfläche aufhörte , ein einziges
zusammenhängendes Flächenstück zu bilden . Wir werden
also in den Sätzen des vorigen Paragraphen p = 2p' + \pi - 1
setzen und haben :
Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich , wenn überhaupt ,
nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander
abbilden . Die Abbildbarkeit hängt von 6p' + 3\pi - 6 Gleichungen
zwischen den reellen Constanten der Flächen ab .
5 ) Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelfläche
mit \pi Randcurven und P auf der doppelt gedachten
Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten .
Indem wir die drei unter 2 ) und 3 ) betrachteten Möglichkeiten
( P = 0 , \pi = 0 oder 1 , und P = 1 , \pi = 0 ) bei Seite
lassen , erhalten wir denselben Satz , wie unter 4 ) , nur dass
überall statt 2p' + \pi - 1 die Summe P + \pi zu schreiben
ist , wo P nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein
kann . Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten
einer Doppelfläche , die bei beliebiger conformer Abbildung ungeändert
bleiben , 3P + 3\pi - 3 . —
Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren
sich die allgemeinen Theoreme und Entwickelungen , welche
Herr Schottky in seiner wiederholt citirten Abhandlung
gegeben hat , als specielle Fälle .
§. 24. Schlussbemerkung .
Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende geführten
letzten Abschnitt's dieser Schrift sollten , wie wiederholt gesagt ,
den Andeutungen entsprechen , mit denen Riemann
seine Dissertation abschloss . Allerdings haben wir uns auf
eindeutige Beziehung zweier Flächen durch conforme Abbildung
beschränkt . Riemann hat , wie er ausspricht , ebensowohl
an mehrdeutige Beziehung gedacht . Man würde sich
dementsprechend jede der beiden in Vergleich kommenden
Flächen mit mehreren Blättern überdeckt vorstellen müssen
und erst die so entstehenden mehrblättrigen Flächen conform
eindeutig zu beziehen haben . Die Verzweigungspuncte , welche
diese mehrblättrigen Flächen besitzen mögen , würden ebensoviele
neue , zur Disposition stehende complexe Constante
abgeben . — Hierzu ist zu bemerken , dass wir wenigstens
einen Fall einer solchen Beziehung bereits ausführlich in Betracht
gezogen haben . Indem wir eine beliebige Fläche mehrblättrig
über die Ebene ausbreiteten ( §. 15 ) , haben wir
zwischen Fläche und Ebene eine Beziehung hergestellt , die
von der einen Seite mehrdeutig ist . Es ist dann weiter hervorzuheben ,
dass eben dieser specielle Fall auch zwei beliebige
Flächen mehrdeutig auf einander beziehen lässt . Denn
sind erst die beiden Flächen auf die Ebene abgebildet , so
sind sie , durch Vermittelung der Ebene , auch auf einander
bezogen . — Mit diesen Bemerkungen ist die Frage nach der
mehrdeutigen Abbildung natürlich keineswegs erschöpft . Aber
es ist doch eine Grundlage zu ihrer Behandlung gewonnen ,
indem gezeigt ist , wie sie sich in die übrigen functionentheoretischen
Speculationen Riemann's , von denen wir hier
Rechenschaft zu geben hatten , einfügt .