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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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I. Abschnitt. [Gleich. 3]
der Deckungssphären aller Moleküle, welcher innerhalb des
Cylinders g liegt, sich zu diesem Gesammtvolumen 4 p n s3 / 3
verhalten, wie das Volumen O d h des Cylinders g zum Ge-
sammtvolumen V des Gases. Es wäre daher
[Formel 1] .

Von allen Molekülen, deren Deckungssphäre in das
Volumen des Cylinders g eingreift, kann man die Zahl der-
jenigen vernachlässigen, deren Mittelpunkt innerhalb des Cy-
linders g selbst liegt, da die Höhe d h dieses Cylinders un-
endlich klein ist. Die Mittelpunkte aller Moleküle, deren
Deckungssphären in das Volumen des Cylinders g eingreifen,
würden daher, wenn dieser Cylinder mitten im Gefässe läge,
gleichmässig zur Hälfte auf der einen, zur Hälfte auf der an-
deren Seite des Cylinders g liegen.

Da sich nun der von uns betrachtete Cylinder g nicht
mitten im Innern des Gefässes, sondern im Abstande 1/2 s von
der Wand desselben befindet, so können bloss auf der einen
Seite desselben Mittelpunkte der n -- 1 Moleküle liegen, nicht
aber auf der anderen. Es fällt also die Hälfte der Moleküle
weg, deren Deckungssphären früher aus dem ganzen Cylinder g
das Volumen A herausschnitten, und derjenige Theil des
Volumens des Cylinders g, welcher von den Deckungssphären
irgend welcher der n -- 1 Moleküle erfüllt wird, ist nur:
[Formel 2] .1)

1) Diese Formel kann auch in der folgenden, etwas umständlicheren
Weise abgeleitet werden. Wir wollen die Endfläche des Cylinders g,
welche der Gefässwand zugewandt ist, die Basis nennen. Ein Mittel-
punkt einer der Deckungssphären kann natürlich nur auf derjenigen Seite
der Basis liegen, die von der Gefässwand abgekehrt ist. Wir construiren
auf dieser Seite zwei der Basis des Cylinders g parallele Ebenen, beide
vom Flächeninhalte O in den Entfernungen x und x + d x von der Basis.
Der Raum zwischen diesen beiden Ebenen heisse der Cylinder g1; sein
Volumen ist g1 = O d x. Die Anzahl derjenigen unserer n -- 1 Deckungs-
sphären, deren Mittelpunkte zur gegebenen Zeit im Cylinder g liegen, ist:
[Formel 3] ,

I. Abschnitt. [Gleich. 3]
der Deckungssphären aller Moleküle, welcher innerhalb des
Cylinders γ liegt, sich zu diesem Gesammtvolumen 4 π n σ3 / 3
verhalten, wie das Volumen Ω d h des Cylinders γ zum Ge-
sammtvolumen V des Gases. Es wäre daher
[Formel 1] .

Von allen Molekülen, deren Deckungssphäre in das
Volumen des Cylinders γ eingreift, kann man die Zahl der-
jenigen vernachlässigen, deren Mittelpunkt innerhalb des Cy-
linders γ selbst liegt, da die Höhe d h dieses Cylinders un-
endlich klein ist. Die Mittelpunkte aller Moleküle, deren
Deckungssphären in das Volumen des Cylinders γ eingreifen,
würden daher, wenn dieser Cylinder mitten im Gefässe läge,
gleichmässig zur Hälfte auf der einen, zur Hälfte auf der an-
deren Seite des Cylinders γ liegen.

Da sich nun der von uns betrachtete Cylinder γ nicht
mitten im Innern des Gefässes, sondern im Abstande ½ σ von
der Wand desselben befindet, so können bloss auf der einen
Seite desselben Mittelpunkte der n — 1 Moleküle liegen, nicht
aber auf der anderen. Es fällt also die Hälfte der Moleküle
weg, deren Deckungssphären früher aus dem ganzen Cylinder γ
das Volumen A herausschnitten, und derjenige Theil des
Volumens des Cylinders γ, welcher von den Deckungssphären
irgend welcher der n — 1 Moleküle erfüllt wird, ist nur:
[Formel 2] .1)

1) Diese Formel kann auch in der folgenden, etwas umständlicheren
Weise abgeleitet werden. Wir wollen die Endfläche des Cylinders γ,
welche der Gefässwand zugewandt ist, die Basis nennen. Ein Mittel-
punkt einer der Deckungssphären kann natürlich nur auf derjenigen Seite
der Basis liegen, die von der Gefässwand abgekehrt ist. Wir construiren
auf dieser Seite zwei der Basis des Cylinders γ parallele Ebenen, beide
vom Flächeninhalte Ω in den Entfernungen ξ und ξ + d ξ von der Basis.
Der Raum zwischen diesen beiden Ebenen heisse der Cylinder γ1; sein
Volumen ist γ1 = Ω d ξ. Die Anzahl derjenigen unserer n — 1 Deckungs-
sphären, deren Mittelpunkte zur gegebenen Zeit im Cylinder γ liegen, ist:
[Formel 3] ,
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[8/0026] I. Abschnitt. [Gleich. 3] der Deckungssphären aller Moleküle, welcher innerhalb des Cylinders γ liegt, sich zu diesem Gesammtvolumen 4 π n σ3 / 3 verhalten, wie das Volumen Ω d h des Cylinders γ zum Ge- sammtvolumen V des Gases. Es wäre daher [FORMEL]. Von allen Molekülen, deren Deckungssphäre in das Volumen des Cylinders γ eingreift, kann man die Zahl der- jenigen vernachlässigen, deren Mittelpunkt innerhalb des Cy- linders γ selbst liegt, da die Höhe d h dieses Cylinders un- endlich klein ist. Die Mittelpunkte aller Moleküle, deren Deckungssphären in das Volumen des Cylinders γ eingreifen, würden daher, wenn dieser Cylinder mitten im Gefässe läge, gleichmässig zur Hälfte auf der einen, zur Hälfte auf der an- deren Seite des Cylinders γ liegen. Da sich nun der von uns betrachtete Cylinder γ nicht mitten im Innern des Gefässes, sondern im Abstande ½ σ von der Wand desselben befindet, so können bloss auf der einen Seite desselben Mittelpunkte der n — 1 Moleküle liegen, nicht aber auf der anderen. Es fällt also die Hälfte der Moleküle weg, deren Deckungssphären früher aus dem ganzen Cylinder γ das Volumen A herausschnitten, und derjenige Theil des Volumens des Cylinders γ, welcher von den Deckungssphären irgend welcher der n — 1 Moleküle erfüllt wird, ist nur: [FORMEL]. 1) 1) Diese Formel kann auch in der folgenden, etwas umständlicheren Weise abgeleitet werden. Wir wollen die Endfläche des Cylinders γ, welche der Gefässwand zugewandt ist, die Basis nennen. Ein Mittel- punkt einer der Deckungssphären kann natürlich nur auf derjenigen Seite der Basis liegen, die von der Gefässwand abgekehrt ist. Wir construiren auf dieser Seite zwei der Basis des Cylinders γ parallele Ebenen, beide vom Flächeninhalte Ω in den Entfernungen ξ und ξ + d ξ von der Basis. Der Raum zwischen diesen beiden Ebenen heisse der Cylinder γ1; sein Volumen ist γ1 = Ω d ξ. Die Anzahl derjenigen unserer n — 1 Deckungs- sphären, deren Mittelpunkte zur gegebenen Zeit im Cylinder γ liegen, ist: [FORMEL],

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 8. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/26>, abgerufen am 01.10.2020.