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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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I. Abschnitt. [Gleich. 35]
35) [Formel 1] ,
Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des
Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu
erwarten war) auch d2 p / d o2 = 0, dagegen d3 p / d o3 negativ.
Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre
Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi-
nate p nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem o ab. Die-
selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für o = 1,87;
sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit
liegenden Abscissen o ihre concave, für die übrigen Abscissen
ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt
die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar.

Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme,
welche zur reducirten Temperatur t = 37.2--11 = 1,06787 gehört,
wo sie beide unmittelbar bei o = 4/3 liegen1) und rücken für
kleinere t immer weiter aus einander. Für grössere t fallen
die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab-
nahme von d p / d o gegen die positive Abscissenaxe ab.

3. Es sei 0 < t < 1, d. h. die Temperatur liege unter der
kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für
o = 1 die Grösse d p / d o positiv, während sie für grosse
Werthe des o und solche, die nahe an 1/3 liegen, negativ ist.
Es muss also d p / d o sowohl für einen Werth des o, der
grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und 1/3
liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch
d2 p / d o2 verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass
d p / d o und d2 p / d o2 nur für o = 1 gleichzeitig verschwinden
können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass
dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass-
einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für v drei gleiche
Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den

1) d2 p / d o2 verschwindet nämlich für t = (3 o -- 1)3 / 8 o4. Der Aus-
druck rechts ist für sehr grosse Werthe von o, sowie für solche, die
wenig grösser als 1/3 sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen
diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2--11 für
o = 4/3. Für t > 37.2--11 kann daher d2 p / d o2 nicht verschwinden.

I. Abschnitt. [Gleich. 35]
35) [Formel 1] ,
Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des
Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu
erwarten war) auch d2 π / d ω2 = 0, dagegen d3 π / d ω3 negativ.
Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre
Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi-
nate π nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem ω ab. Die-
selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für ω = 1,87;
sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit
liegenden Abscissen ω ihre concave, für die übrigen Abscissen
ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt
die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar.

Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme,
welche zur reducirten Temperatur τ = 37.2—11 = 1,06787 gehört,
wo sie beide unmittelbar bei ω = 4/3 liegen1) und rücken für
kleinere τ immer weiter aus einander. Für grössere τ fallen
die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab-
nahme von d π / d ω gegen die positive Abscissenaxe ab.

3. Es sei 0 < τ < 1, d. h. die Temperatur liege unter der
kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für
ω = 1 die Grösse d π / d ω positiv, während sie für grosse
Werthe des ω und solche, die nahe an ⅓ liegen, negativ ist.
Es muss also d π / d ω sowohl für einen Werth des ω, der
grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und ⅓
liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch
d2 π / d ω2 verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass
d π / d ω und d2 π / d ω2 nur für ω = 1 gleichzeitig verschwinden
können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass
dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass-
einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für v drei gleiche
Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den

1) d2 π / d ω2 verschwindet nämlich für τ = (3 ω — 1)3 / 8 ω4. Der Aus-
druck rechts ist für sehr grosse Werthe von ω, sowie für solche, die
wenig grösser als ⅓ sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen
diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2—11 für
ω = 4/3. Für τ > 37.2—11 kann daher d2 π / d ω2 nicht verschwinden.
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[30/0048] I. Abschnitt. [Gleich. 35] 35) [FORMEL], Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu erwarten war) auch d2 π / d ω2 = 0, dagegen d3 π / d ω3 negativ. Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi- nate π nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem ω ab. Die- selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für ω = 1,87; sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit liegenden Abscissen ω ihre concave, für die übrigen Abscissen ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar. Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme, welche zur reducirten Temperatur τ = 37.2—11 = 1,06787 gehört, wo sie beide unmittelbar bei ω = 4/3 liegen 1) und rücken für kleinere τ immer weiter aus einander. Für grössere τ fallen die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab- nahme von d π / d ω gegen die positive Abscissenaxe ab. 3. Es sei 0 < τ < 1, d. h. die Temperatur liege unter der kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für ω = 1 die Grösse d π / d ω positiv, während sie für grosse Werthe des ω und solche, die nahe an ⅓ liegen, negativ ist. Es muss also d π / d ω sowohl für einen Werth des ω, der grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und ⅓ liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch d2 π / d ω2 verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass d π / d ω und d2 π / d ω2 nur für ω = 1 gleichzeitig verschwinden können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass- einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für v drei gleiche Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den 1) d2 π / d ω2 verschwindet nämlich für τ = (3 ω — 1)3 / 8 ω4. Der Aus- druck rechts ist für sehr grosse Werthe von ω, sowie für solche, die wenig grösser als ⅓ sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2—11 für ω = 4/3. Für τ > 37.2—11 kann daher d2 π / d ω2 nicht verschwinden.

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 30. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/48>, abgerufen am 18.04.2024.