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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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[Gleich. 66] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville'schen Satzes.

Werthe, welche zum Werthe s + 2 d s der Independenten ge-
hören, wenn man von den Anfangswerthen 58) ausgeht, mit
zwei oben angehängten Strichen bezeichnen.

g" sei das Gebiet, welches alle Werthe der dependenten
Variabeln umfasst, die den im Gebiete G liegenden Anfangs-
werthen nach dem Werthe s + 2 d s der Independenten ent-
sprechen und
integral d s"1 d s"2 ... d s"n
sei das über das Gebiet g" erstreckte Integrale des Productes
der Differentiale aller dependenten Variabeln. Dann findet
man analog, wie man die Gleichung 64) erhielt,
[Formel 1] .
Da nun eine analoge Gleichung für alle vorhergehenden und
folgenden Zuwächse der Independenten s gilt, so hat man
allgemein:
65) [Formel 2] .
Hier bedeuten s0 und t0 die Werthe von s und t für s = 0;
integral d S1 d S2 ... d Sn aber ist das über das Gebiet G erstreckte
Integrale des Productes der Differentiale aller dependenten
Variabeln.

Man sieht sofort, dass die Gleichung 55) derjenige specielle
Fall der Gleichung 65) ist, welchen man erhält, wenn man
unter s wieder die Zeit, unter s1, s2 ... sn aber die generali-
sirten Coordinaten p1, p2 ... pm und die Momente q1, q2 ... qm
eines beliebigen mechanischen Systemes versteht. Ist nämlich
wie in § 25 L und V die kinetische und potentielle Energie
des mechanischen Systemes und setzt man L + V = E, so lauten
die Lagrange'schen Gleichungen für das mechanische System
folgendermaassen:
66) [Formel 3] .1)

1) Jacobi, Vorlesungen üb. Dynamik, 9. Vorles., S. 71, Gleich. 8.
Thomson und Tait, Nat. phil., new ed., Vol. I, p. 1, S. 307, Art. 319,
deutsch S. 284. Rausenberger, Mechanik, Leipz. 1888, I. Bd., S. 200.

Boltzmann, Gastheorie II. 6

[Gleich. 66] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes.

Werthe, welche zum Werthe s + 2 δ s der Independenten ge-
hören, wenn man von den Anfangswerthen 58) ausgeht, mit
zwei oben angehängten Strichen bezeichnen.

g″ sei das Gebiet, welches alle Werthe der dependenten
Variabeln umfasst, die den im Gebiete G liegenden Anfangs-
werthen nach dem Werthe s + 2 δ s der Independenten ent-
sprechen und
∫ d s″1 d s″2 … d s″n
sei das über das Gebiet g″ erstreckte Integrale des Productes
der Differentiale aller dependenten Variabeln. Dann findet
man analog, wie man die Gleichung 64) erhielt,
[Formel 1] .
Da nun eine analoge Gleichung für alle vorhergehenden und
folgenden Zuwächse der Independenten s gilt, so hat man
allgemein:
65) [Formel 2] .
Hier bedeuten σ0 und τ0 die Werthe von σ und τ für s = 0;
∫ d S1 d S2 … d Sn aber ist das über das Gebiet G erstreckte
Integrale des Productes der Differentiale aller dependenten
Variabeln.

Man sieht sofort, dass die Gleichung 55) derjenige specielle
Fall der Gleichung 65) ist, welchen man erhält, wenn man
unter s wieder die Zeit, unter s1, s2 … sn aber die generali-
sirten Coordinaten p1, p2 … pμ und die Momente q1, q2 … qμ
eines beliebigen mechanischen Systemes versteht. Ist nämlich
wie in § 25 L und V die kinetische und potentielle Energie
des mechanischen Systemes und setzt man L + V = E, so lauten
die Lagrange’schen Gleichungen für das mechanische System
folgendermaassen:
66) [Formel 3] .1)

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[81/0099] [Gleich. 66] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes. Werthe, welche zum Werthe s + 2 δ s der Independenten ge- hören, wenn man von den Anfangswerthen 58) ausgeht, mit zwei oben angehängten Strichen bezeichnen. g″ sei das Gebiet, welches alle Werthe der dependenten Variabeln umfasst, die den im Gebiete G liegenden Anfangs- werthen nach dem Werthe s + 2 δ s der Independenten ent- sprechen und ∫ d s″1 d s″2 … d s″n sei das über das Gebiet g″ erstreckte Integrale des Productes der Differentiale aller dependenten Variabeln. Dann findet man analog, wie man die Gleichung 64) erhielt, [FORMEL]. Da nun eine analoge Gleichung für alle vorhergehenden und folgenden Zuwächse der Independenten s gilt, so hat man allgemein: 65) [FORMEL]. Hier bedeuten σ0 und τ0 die Werthe von σ und τ für s = 0; ∫ d S1 d S2 … d Sn aber ist das über das Gebiet G erstreckte Integrale des Productes der Differentiale aller dependenten Variabeln. Man sieht sofort, dass die Gleichung 55) derjenige specielle Fall der Gleichung 65) ist, welchen man erhält, wenn man unter s wieder die Zeit, unter s1, s2 … sn aber die generali- sirten Coordinaten p1, p2 … pμ und die Momente q1, q2 … qμ eines beliebigen mechanischen Systemes versteht. Ist nämlich wie in § 25 L und V die kinetische und potentielle Energie des mechanischen Systemes und setzt man L + V = E, so lauten die Lagrange’schen Gleichungen für das mechanische System folgendermaassen: 66) [FORMEL]. 1) 1) Jacobi, Vorlesungen üb. Dynamik, 9. Vorles., S. 71, Gleich. 8. Thomson und Tait, Nat. phil., new ed., Vol. I, p. 1, S. 307, Art. 319, deutsch S. 284. Rausenberger, Mechanik, Leipz. 1888, I. Bd., S. 200. Boltzmann, Gastheorie II. 6

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Zitationshilfe:	Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 81. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/99>, abgerufen am 18.04.2024.

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