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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung.
§. 314.

Zur Bestimmung der Festigkeit, die mit biegsamen Körpern zu erreichen ist, werden
nun abermals genaue Versuche erfordert. Wir finden solche Versuche in den neuern

M' M'' O' O'' versetzt, folglich an seiner Oberfläche um N' O' ausgedehnt, und an seiner untern SeiteFig.
24.
Tab.
15.

um N'' O'' verkürzt worden, so sieht man, dass auf gleiche Art das Element m n um n o verlängert,
folglich an die Stelle des [Formel 1] das Verhältniss [Formel 2] gesetzt werden müsse. Weil aber die Dreiecke
n N o und M C N einander ähnlich sind, so ist [Formel 3] , und wenn wir den Krümmungshalb-
messer des Bogens M N oder M C = r setzen, so ist [Formel 4] , folglich haben wir die Proportion
[Formel 5] . Setzen wir an die Stelle der Querschnittsfläche des
zur Vergleichung angenommenen Stabes F = B . H, so ist das Gewicht, welches das Element m n n' m'
von der Länge m n auf die Länge m o ausdehnt [Formel 6] .
Setzen wir nun die am Hebelsarme N P angebrachte und mit d q am Hebelsarme N n = x im
Gleichgewichte befindliche Kraft = d p, so folgt, wegen N P = t P -- t N = E -- y, für die Gleich-
heit der Momente, [Formel 7] .
Da nun für alle Punkte der Höhe N n n' N' die Grössen E, y und r sich nicht ändern, so gibt
das Integrale dieser Gleichung [Formel 8] ; folglich ist, wenn wir an die Stelle
von x die halbe Höhe des Stabes N N' [Formel 9] setzen, [Formel 10] . Weil aber
an der untern Hälfte des Stabes von N bis N'' das Moment der rückwirkenden Kraft (Repulsions-
kraft) dem Cohaesionsmomente von N bis N' das Gleichgewicht hält, und beide zusammen dem Mo-
mente der Last p am Hebelsarme N P entgegen wirken, so haben wir
[Formel 11] . Diess ist die allgemeine Gleichung für alle Punkte der krummen
Linie A M N B.
Um aus dieser Gleichung den Krümmungshalbmesser r wegzuschaffen, wollen wir A t = u,
t N = y und den Winkel M N J = w, sonach Tang [Formel 12] setzen. Da der Winkel
M C N = M N J -- A M S = d w ist, und weil [Formel 13] , so können wir für unsern Zweck,
wo der Balken nur wenig gebogen werden darf, für alle Fälle Cos w = 1 setzen, wornach
[Formel 14] ist. Nehmen wir nun in dem Dreiecke N C M die Länge C m = 1, folglich m v = d w
an, so ist d w : 1 = M N : M C; weil aber wegen der geringen Grösse des Winkels M N J auch
M N = J N = d y gesetzt werden kann, so haben wir [Formel 15] . Wird nun dieser Werth
in die letzte Gleichung gesetzt, so erhalten wir [Formel 16] . Das
Integrale dieser Gleichung gibt [Formel 17] , und wenn diese Glei-
chung noch einmal integrirt wird, so erhalten wir [Formel 18] u.
Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung.
§. 314.

Zur Bestimmung der Festigkeit, die mit biegsamen Körpern zu erreichen ist, werden
nun abermals genaue Versuche erfordert. Wir finden solche Versuche in den neuern

M' M'' O' O'' versetzt, folglich an seiner Oberfläche um N' O' ausgedehnt, und an seiner untern SeiteFig.
24.
Tab.
15.

um N'' O'' verkürzt worden, so sieht man, dass auf gleiche Art das Element m n um n o verlängert,
folglich an die Stelle des [Formel 1] das Verhältniss [Formel 2] gesetzt werden müsse. Weil aber die Dreiecke
n N o und M C N einander ähnlich sind, so ist [Formel 3] , und wenn wir den Krümmungshalb-
messer des Bogens M N oder M C = r setzen, so ist [Formel 4] , folglich haben wir die Proportion
[Formel 5] . Setzen wir an die Stelle der Querschnittsfläche des
zur Vergleichung angenommenen Stabes F = B . H, so ist das Gewicht, welches das Element m n n' m'
von der Länge m n auf die Länge m o ausdehnt [Formel 6] .
Setzen wir nun die am Hebelsarme N P angebrachte und mit d q am Hebelsarme N n = x im
Gleichgewichte befindliche Kraft = d p, so folgt, wegen N P = t P — t N = E — y, für die Gleich-
heit der Momente, [Formel 7] .
Da nun für alle Punkte der Höhe N n n' N' die Grössen E, y und r sich nicht ändern, so gibt
das Integrale dieser Gleichung [Formel 8] ; folglich ist, wenn wir an die Stelle
von x die halbe Höhe des Stabes N N' [Formel 9] setzen, [Formel 10] . Weil aber
an der untern Hälfte des Stabes von N bis N'' das Moment der rückwirkenden Kraft (Repulsions-
kraft) dem Cohaesionsmomente von N bis N' das Gleichgewicht hält, und beide zusammen dem Mo-
mente der Last p am Hebelsarme N P entgegen wirken, so haben wir
[Formel 11] . Diess ist die allgemeine Gleichung für alle Punkte der krummen
Linie A M N B.
Um aus dieser Gleichung den Krümmungshalbmesser r wegzuschaffen, wollen wir A t = u,
t N = y und den Winkel M N J = w, sonach Tang [Formel 12] setzen. Da der Winkel
M C N = M N J — A M S = d w ist, und weil [Formel 13] , so können wir für unsern Zweck,
wo der Balken nur wenig gebogen werden darf, für alle Fälle Cos w = 1 setzen, wornach
[Formel 14] ist. Nehmen wir nun in dem Dreiecke N C M die Länge C μ = 1, folglich μ v = d w
an, so ist d w : 1 = M N : M C; weil aber wegen der geringen Grösse des Winkels M N J auch
M N = J N = d y gesetzt werden kann, so haben wir [Formel 15] . Wird nun dieser Werth
in die letzte Gleichung gesetzt, so erhalten wir [Formel 16] . Das
Integrale dieser Gleichung gibt [Formel 17] , und wenn diese Glei-
chung noch einmal integrirt wird, so erhalten wir [Formel 18] u.
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[325/0355] Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung. §. 314. Zur Bestimmung der Festigkeit, die mit biegsamen Körpern zu erreichen ist, werden nun abermals genaue Versuche erfordert. Wir finden solche Versuche in den neuern *) *) M' M'' O' O'' versetzt, folglich an seiner Oberfläche um N' O' ausgedehnt, und an seiner untern Seite um N'' O'' verkürzt worden, so sieht man, dass auf gleiche Art das Element m n um n o verlängert, folglich an die Stelle des [FORMEL] das Verhältniss [FORMEL] gesetzt werden müsse. Weil aber die Dreiecke n N o und M C N einander ähnlich sind, so ist [FORMEL], und wenn wir den Krümmungshalb- messer des Bogens M N oder M C = r setzen, so ist [FORMEL], folglich haben wir die Proportion [FORMEL]. Setzen wir an die Stelle der Querschnittsfläche des zur Vergleichung angenommenen Stabes F = B . H, so ist das Gewicht, welches das Element m n n' m' von der Länge m n auf die Länge m o ausdehnt [FORMEL]. Setzen wir nun die am Hebelsarme N P angebrachte und mit d q am Hebelsarme N n = x im Gleichgewichte befindliche Kraft = d p, so folgt, wegen N P = t P — t N = E — y, für die Gleich- heit der Momente, [FORMEL]. Da nun für alle Punkte der Höhe N n n' N' die Grössen E, y und r sich nicht ändern, so gibt das Integrale dieser Gleichung [FORMEL]; folglich ist, wenn wir an die Stelle von x die halbe Höhe des Stabes N N' [FORMEL] setzen, [FORMEL]. Weil aber an der untern Hälfte des Stabes von N bis N'' das Moment der rückwirkenden Kraft (Repulsions- kraft) dem Cohaesionsmomente von N bis N' das Gleichgewicht hält, und beide zusammen dem Mo- mente der Last p am Hebelsarme N P entgegen wirken, so haben wir [FORMEL]. Diess ist die allgemeine Gleichung für alle Punkte der krummen Linie A M N B. Um aus dieser Gleichung den Krümmungshalbmesser r wegzuschaffen, wollen wir A t = u, t N = y und den Winkel M N J = w, sonach Tang [FORMEL] setzen. Da der Winkel M C N = M N J — A M S = d w ist, und weil [FORMEL], so können wir für unsern Zweck, wo der Balken nur wenig gebogen werden darf, für alle Fälle Cos w = 1 setzen, wornach [FORMEL] ist. Nehmen wir nun in dem Dreiecke N C M die Länge C μ = 1, folglich μ v = d w an, so ist d w : 1 = M N : M C; weil aber wegen der geringen Grösse des Winkels M N J auch M N = J N = d y gesetzt werden kann, so haben wir [FORMEL]. Wird nun dieser Werth in die letzte Gleichung gesetzt, so erhalten wir [FORMEL]. Das Integrale dieser Gleichung gibt [FORMEL], und wenn diese Glei- chung noch einmal integrirt wird, so erhalten wir [FORMEL] u.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 325. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/355>, abgerufen am 21.08.2019.