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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Erforderliche Belastung für elyptische Gewölbe.
über den Gewölbsteinen bewirken, so müsste eine jede nach den vorigen Formeln berech-
nete Zulage noch mit dem Cosinus des Stellungswinkels dividirt werden, um die Höhe der
auf die Gewölbsteine senkrecht zu stellenden Mauer zu finden. Weil nun Cos 85° = 0,087,
so steigt diese Höhe bei dem letzten Steine abermals in dem Verhältnisse von 87 : 1000;
hieraus ersieht man, dass sich nach der angeführten Rechnung zwar das Gesetz für
die Grösse der Belastung der Steine oder die Höhe der Mauerung auf dem Gewölbe
finden lässt, dass diese Rechnung jedoch mit Genauigkeit geführt, ausserordentlich
mühsam seyn würde.

Eine bessere Uibersicht hievon gibt uns die höhere Analysis, welche zeigt, dass,
wenn die Höhe oder Dicke der Gewölbsteine im Scheitel = h ist, bei einem Kreisge-
wölbe die Höhe der Belastung oder die Höhe der auf jeden Punkt zu stellenden Mau-
er [Formel 1] sey, wo unter v der Winkel verstanden wird, wie weit dieser Punkt vom
Scheitel entfernt ist. Diese höhere Rechnung zeigt weiter, dass für jedes freie Ton-
nengewölbe der Kreisbogen nur bis zum Winkel von v = 45 Grad eine Stützlinie ab-
geben könne, weil für die grössern Winkel die Höhe der Mauerung über das Ge-
wölbe grösser als die Höhe des Gewölbes im Scheitel, für den tiefsten Punkt aber
oder für v = 90 Grad diese Höhe unendlich gross werden würde.

§. 376.

Aehnliche Resultate ergeben sich für die Elypse, welche für ein freyes Tonnen-
gewölbe, wobei die Dicke des Gewölbes im Scheitel oder die Höhe [Formel 2]
der Spannweite ist, nur bis zum Winkel von 38 Grad 31 Minuten anwendbar ist, übri-
gens aber bei dem letzten Punkte oder dem Winkel v = 90 Grad abermals eine Auf-
mauerung von unendlich grosser Höhe statt finden müsste. *)

*) Auf gleiche Art findet man die nöthige Belastung für den elyptischen Gewölbsbo-
Fig.
9.
Tab.
18.
gen. Setzen wir nämlich die halbe grosse Achse C D = A' C = a, die halbe kleine Achse A C = b
und den Winkel A' C M' = v, so ist, wie zuvor M P = M' P' = a . Sin v, demnach
o m = a . d v . Cos v und die Durchschnittsfläche der Belastung oder [Formel 3] ,
die nun der Tangente des Stellungswinkels M m o proportional seyn muss.
Weil die Ordinaten M G der Elypse zu den Ordinaten M' G im Kreise und auch zu ihren Diffe-
renzen in de n beständigen Verhältnisse b : a stehen, so verhält sich auch die Tangente des Winkels
M m o, den wir mit ph bezeichnen wollen, zur Tangente des Winkels M' m' o' oder tang v wie b : a,
woraus tang [Formel 4] folgt. Setzen wir nun das Verhältniss [Formel 5]
auf gleiche Art = m . h : 1, so haben wir die Gleichung [Formel 6]
Das Differenziale dieser Gleichung ist [Formel 7] , und hieraus [Formel 8] .
Weil aber im Scheitel die Höhe z = A B = h seyn muss, so ist [Formel 9] , folglich [Formel 10] ;
daher die allgemeine Gleichung für die Belastung eines elyptischen Gewölbes
[Formel 11] , wie bei dem Kreisgewölbe. Um die kleinste Höhe R r der Belastungslinie über dem Hori-

Erforderliche Belastung für elyptische Gewölbe.
über den Gewölbsteinen bewirken, so müsste eine jede nach den vorigen Formeln berech-
nete Zulage noch mit dem Cosinus des Stellungswinkels dividirt werden, um die Höhe der
auf die Gewölbsteine senkrecht zu stellenden Mauer zu finden. Weil nun Cos 85° = 0,087,
so steigt diese Höhe bei dem letzten Steine abermals in dem Verhältnisse von 87 : 1000;
hieraus ersieht man, dass sich nach der angeführten Rechnung zwar das Gesetz für
die Grösse der Belastung der Steine oder die Höhe der Mauerung auf dem Gewölbe
finden lässt, dass diese Rechnung jedoch mit Genauigkeit geführt, ausserordentlich
mühsam seyn würde.

Eine bessere Uibersicht hievon gibt uns die höhere Analysis, welche zeigt, dass,
wenn die Höhe oder Dicke der Gewölbsteine im Scheitel = h ist, bei einem Kreisge-
wölbe die Höhe der Belastung oder die Höhe der auf jeden Punkt zu stellenden Mau-
er [Formel 1] sey, wo unter v der Winkel verstanden wird, wie weit dieser Punkt vom
Scheitel entfernt ist. Diese höhere Rechnung zeigt weiter, dass für jedes freie Ton-
nengewölbe der Kreisbogen nur bis zum Winkel von v = 45 Grad eine Stützlinie ab-
geben könne, weil für die grössern Winkel die Höhe der Mauerung über das Ge-
wölbe grösser als die Höhe des Gewölbes im Scheitel, für den tiefsten Punkt aber
oder für v = 90 Grad diese Höhe unendlich gross werden würde.

§. 376.

Aehnliche Resultate ergeben sich für die Elypse, welche für ein freyes Tonnen-
gewölbe, wobei die Dicke des Gewölbes im Scheitel oder die Höhe [Formel 2]
der Spannweite ist, nur bis zum Winkel von 38 Grad 31 Minuten anwendbar ist, übri-
gens aber bei dem letzten Punkte oder dem Winkel v = 90 Grad abermals eine Auf-
mauerung von unendlich grosser Höhe statt finden müsste. *)

*) Auf gleiche Art findet man die nöthige Belastung für den elyptischen Gewölbsbo-
Fig.
9.
Tab.
18.
gen. Setzen wir nämlich die halbe grosse Achse C D = A' C = a, die halbe kleine Achse A C = b
und den Winkel A' C M' = v, so ist, wie zuvor M P = M' P' = a . Sin v, demnach
o m = a . d v . Cos v und die Durchschnittsfläche der Belastung oder [Formel 3] ,
die nun der Tangente des Stellungswinkels M m o proportional seyn muss.
Weil die Ordinaten M G der Elypse zu den Ordinaten M' G im Kreise und auch zu ihren Diffe-
renzen in de n beständigen Verhältnisse b : a stehen, so verhält sich auch die Tangente des Winkels
M m o, den wir mit φ bezeichnen wollen, zur Tangente des Winkels M' m' o' oder tang v wie b : a,
woraus tang [Formel 4] folgt. Setzen wir nun das Verhältniss [Formel 5]
auf gleiche Art = m . h : 1, so haben wir die Gleichung [Formel 6]
Das Differenziale dieser Gleichung ist [Formel 7] , und hieraus [Formel 8] .
Weil aber im Scheitel die Höhe z = A B = h seyn muss, so ist [Formel 9] , folglich [Formel 10] ;
daher die allgemeine Gleichung für die Belastung eines elyptischen Gewölbes
[Formel 11] , wie bei dem Kreisgewölbe. Um die kleinste Höhe R r der Belastungslinie über dem Hori-
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[416/0446] Erforderliche Belastung für elyptische Gewölbe. über den Gewölbsteinen bewirken, so müsste eine jede nach den vorigen Formeln berech- nete Zulage noch mit dem Cosinus des Stellungswinkels dividirt werden, um die Höhe der auf die Gewölbsteine senkrecht zu stellenden Mauer zu finden. Weil nun Cos 85° = 0,087, so steigt diese Höhe bei dem letzten Steine abermals in dem Verhältnisse von 87 : 1000; hieraus ersieht man, dass sich nach der angeführten Rechnung zwar das Gesetz für die Grösse der Belastung der Steine oder die Höhe der Mauerung auf dem Gewölbe finden lässt, dass diese Rechnung jedoch mit Genauigkeit geführt, ausserordentlich mühsam seyn würde. Eine bessere Uibersicht hievon gibt uns die höhere Analysis, welche zeigt, dass, wenn die Höhe oder Dicke der Gewölbsteine im Scheitel = h ist, bei einem Kreisge- wölbe die Höhe der Belastung oder die Höhe der auf jeden Punkt zu stellenden Mau- er [FORMEL] sey, wo unter v der Winkel verstanden wird, wie weit dieser Punkt vom Scheitel entfernt ist. Diese höhere Rechnung zeigt weiter, dass für jedes freie Ton- nengewölbe der Kreisbogen nur bis zum Winkel von v = 45 Grad eine Stützlinie ab- geben könne, weil für die grössern Winkel die Höhe der Mauerung über das Ge- wölbe grösser als die Höhe des Gewölbes im Scheitel, für den tiefsten Punkt aber oder für v = 90 Grad diese Höhe unendlich gross werden würde. §. 376. Aehnliche Resultate ergeben sich für die Elypse, welche für ein freyes Tonnen- gewölbe, wobei die Dicke des Gewölbes im Scheitel oder die Höhe [FORMEL] der Spannweite ist, nur bis zum Winkel von 38 Grad 31 Minuten anwendbar ist, übri- gens aber bei dem letzten Punkte oder dem Winkel v = 90 Grad abermals eine Auf- mauerung von unendlich grosser Höhe statt finden müsste. *) *) Auf gleiche Art findet man die nöthige Belastung für den elyptischen Gewölbsbo- gen. Setzen wir nämlich die halbe grosse Achse C D = A' C = a, die halbe kleine Achse A C = b und den Winkel A' C M' = v, so ist, wie zuvor M P = M' P' = a . Sin v, demnach o m = a . d v . Cos v und die Durchschnittsfläche der Belastung oder [FORMEL], die nun der Tangente des Stellungswinkels M m o proportional seyn muss. Weil die Ordinaten M G der Elypse zu den Ordinaten M' G im Kreise und auch zu ihren Diffe- renzen in de n beständigen Verhältnisse b : a stehen, so verhält sich auch die Tangente des Winkels M m o, den wir mit φ bezeichnen wollen, zur Tangente des Winkels M' m' o' oder tang v wie b : a, woraus tang [FORMEL] folgt. Setzen wir nun das Verhältniss [FORMEL] auf gleiche Art = m . h : 1, so haben wir die Gleichung [FORMEL] Das Differenziale dieser Gleichung ist [FORMEL], und hieraus [FORMEL]. Weil aber im Scheitel die Höhe z = A B = h seyn muss, so ist [FORMEL], folglich [FORMEL]; daher die allgemeine Gleichung für die Belastung eines elyptischen Gewölbes [FORMEL], wie bei dem Kreisgewölbe. Um die kleinste Höhe R r der Belastungslinie über dem Hori-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 416. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/446>, abgerufen am 15.07.2019.