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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Verzeichnung elyptischer Bögen.
dass in dieser Fahrbahn gar keine Biegung mehr vorhanden ist. Wenn also derFig.
8.
Tab.
19.
Bogen B' D' durch die Mitte zwischen A B und W D geführt wird, so kann derselbe
auch nur die halbe Biegung des untern Bogens haben, sein Krümmungshalbmesser ist
daher doppelt so gross. Der strenge Beweis hiefür ergibt sich durch die Differen-
zialrechnung.

§. 384.

Wir haben nun noch von den Methoden zu sprechen, deren man sich zur Ver-
zeichnung einer Elypse bedient. Schon in ältern Zeiten war man bemüht, ver-
schiedene Methoden und Instrumente zu erfinden, um die Zeichnung der Elypsen auf
eine einfache Art zu bewerkstelligen, jedoch ist noch keine Art bekannt, welche im
Grossen und im Kleinen gleich brauchbar anzuwenden wäre.

Hieher gehört zuerst die Methode aus den zwei Brennpunkten einer Elypse diesel-Fig
9.
be mittelst einer Schnur zu beschreiben. Wenn nämlich die Spannweite oder grössere
Achse A A' der Elypse und die Höhe derselben in der Mitte, oder die halbe kleinere
Achse C B gegeben ist, so beschreibt man zuerst von B aus mit dem Halbmesser
[Formel 1] = B G = B G' einen Bogen, dessen Durchschnittspunkte G, G' die sogenannten
Brennpunkte geben. Nun wird in G und G' ein Stift eingesetzt und eine Schnur
um den Punkt G' von beiden Seiten bis zu A geführt, und daselbst verbunden. Bin-
det man nun zugleich in A den Zeichenstift ein, womit der Bogen beschrieben werden
soll, und fährt damit bei angespannter Lage der Schnur von A nach E, B bis A', so
hat man den elyptischen Bogen verzeichnet. Diese Methode wird vorzüglich in dem
Falle zur Beschreibung der Lehrbögen gebraucht, wenn die Spannweite nicht sehr
gross ist; ist aber das letztere der Fall, so unterliegt die Schnur der Ausdehnung.
Zur Verzeichnung am Papiere kann man sich derselben auch nicht leicht bedienen.

In dieser Hinsicht wurde in neuern Zeiten die Methode angewandt, elyptische
Bögen aus drei oder mehr, mit verschiedenen Halbmessern beschrie-
benen Kreisbögen zusammen zu setzen. Hieher gehört folgende Methode:

Es sey A C A' die gegebene Spannweite oder die grössere Achse der Elypse undFig.
10.
C B die gegebene Höhe derselben in der Mitte. Man beschreibe aus dem Mittel-
punkte C mit dem Halbmesser A C den halben Kreis A D B' D' A', und trage aus A und
A' den Halbmesser A D = A C und A' D' = A' C auf. Wird nun der Punkt D mit
A und C, dann D' mit A' und C verbunden, so entstehen die gleichseitigen Dreiecke
A D C und A' D' C. Man verbinde nun die Punkte B', D und D' und ziehe aus dem
obersten Punkte der zu beschreibenden Elypse, nämlich aus B die Linie B F parallel
zu B' D, dann ziehe man aus F die Linie F E parallel zu D C, so werden die Durch-
schnittspunkte E und G, so wie auf der andern Seite E und G' die Mittelpunkte seyn, aus
welchen der Bogen F B F' und die Bögen A F und A' F' beschrieben werden können.
Man sieht nun von selbst, dass ein jeder dieser drei Bögen an seinem Mittelpunkte einen
Winkel von 60 Grad überspannt; diese Bögen werden bei F und F' in einander laufen
und die aus allen dreien zusammengesetzte krumme Linie A F B F' A'. in der Mitte die
gegebene Höhe C B, so wie die gegebene Weite A C A' überspannen.

Gerstners Mechanik. Band I. 55

Verzeichnung elyptischer Bögen.
dass in dieser Fahrbahn gar keine Biegung mehr vorhanden ist. Wenn also derFig.
8.
Tab.
19.
Bogen B' D' durch die Mitte zwischen A B und W D geführt wird, so kann derselbe
auch nur die halbe Biegung des untern Bogens haben, sein Krümmungshalbmesser ist
daher doppelt so gross. Der strenge Beweis hiefür ergibt sich durch die Differen-
zialrechnung.

§. 384.

Wir haben nun noch von den Methoden zu sprechen, deren man sich zur Ver-
zeichnung einer Elypse bedient. Schon in ältern Zeiten war man bemüht, ver-
schiedene Methoden und Instrumente zu erfinden, um die Zeichnung der Elypsen auf
eine einfache Art zu bewerkstelligen, jedoch ist noch keine Art bekannt, welche im
Grossen und im Kleinen gleich brauchbar anzuwenden wäre.

Hieher gehört zuerst die Methode aus den zwei Brennpunkten einer Elypse diesel-Fig
9.
be mittelst einer Schnur zu beschreiben. Wenn nämlich die Spannweite oder grössere
Achse A A' der Elypse und die Höhe derselben in der Mitte, oder die halbe kleinere
Achse C B gegeben ist, so beschreibt man zuerst von B aus mit dem Halbmesser
[Formel 1] = B G = B G' einen Bogen, dessen Durchschnittspunkte G, G' die sogenannten
Brennpunkte geben. Nun wird in G und G' ein Stift eingesetzt und eine Schnur
um den Punkt G' von beiden Seiten bis zu A geführt, und daselbst verbunden. Bin-
det man nun zugleich in A den Zeichenstift ein, womit der Bogen beschrieben werden
soll, und fährt damit bei angespannter Lage der Schnur von A nach E, B bis A', so
hat man den elyptischen Bogen verzeichnet. Diese Methode wird vorzüglich in dem
Falle zur Beschreibung der Lehrbögen gebraucht, wenn die Spannweite nicht sehr
gross ist; ist aber das letztere der Fall, so unterliegt die Schnur der Ausdehnung.
Zur Verzeichnung am Papiere kann man sich derselben auch nicht leicht bedienen.

In dieser Hinsicht wurde in neuern Zeiten die Methode angewandt, elyptische
Bögen aus drei oder mehr, mit verschiedenen Halbmessern beschrie-
benen Kreisbögen zusammen zu setzen. Hieher gehört folgende Methode:

Es sey A C A' die gegebene Spannweite oder die grössere Achse der Elypse undFig.
10.
C B die gegebene Höhe derselben in der Mitte. Man beschreibe aus dem Mittel-
punkte C mit dem Halbmesser A C den halben Kreis A D B' D' A', und trage aus A und
A' den Halbmesser A D = A C und A' D' = A' C auf. Wird nun der Punkt D mit
A und C, dann D' mit A' und C verbunden, so entstehen die gleichseitigen Dreiecke
A D C und A' D' C. Man verbinde nun die Punkte B', D und D' und ziehe aus dem
obersten Punkte der zu beschreibenden Elypse, nämlich aus B die Linie B F parallel
zu B' D, dann ziehe man aus F die Linie F E parallel zu D C, so werden die Durch-
schnittspunkte E und G, so wie auf der andern Seite E und G' die Mittelpunkte seyn, aus
welchen der Bogen F B F' und die Bögen A F und A' F' beschrieben werden können.
Man sieht nun von selbst, dass ein jeder dieser drei Bögen an seinem Mittelpunkte einen
Winkel von 60 Grad überspannt; diese Bögen werden bei F und F' in einander laufen
und die aus allen dreien zusammengesetzte krumme Linie A F B F' A'. in der Mitte die
gegebene Höhe C B, so wie die gegebene Weite A C A' überspannen.

Gerstners Mechanik. Band I. 55
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[433/0463] Verzeichnung elyptischer Bögen. dass in dieser Fahrbahn gar keine Biegung mehr vorhanden ist. Wenn also der Bogen B' D' durch die Mitte zwischen A B und W D geführt wird, so kann derselbe auch nur die halbe Biegung des untern Bogens haben, sein Krümmungshalbmesser ist daher doppelt so gross. Der strenge Beweis hiefür ergibt sich durch die Differen- zialrechnung. Fig. 8. Tab. 19. §. 384. Wir haben nun noch von den Methoden zu sprechen, deren man sich zur Ver- zeichnung einer Elypse bedient. Schon in ältern Zeiten war man bemüht, ver- schiedene Methoden und Instrumente zu erfinden, um die Zeichnung der Elypsen auf eine einfache Art zu bewerkstelligen, jedoch ist noch keine Art bekannt, welche im Grossen und im Kleinen gleich brauchbar anzuwenden wäre. Hieher gehört zuerst die Methode aus den zwei Brennpunkten einer Elypse diesel- be mittelst einer Schnur zu beschreiben. Wenn nämlich die Spannweite oder grössere Achse A A' der Elypse und die Höhe derselben in der Mitte, oder die halbe kleinere Achse C B gegeben ist, so beschreibt man zuerst von B aus mit dem Halbmesser [FORMEL] = B G = B G' einen Bogen, dessen Durchschnittspunkte G, G' die sogenannten Brennpunkte geben. Nun wird in G und G' ein Stift eingesetzt und eine Schnur um den Punkt G' von beiden Seiten bis zu A geführt, und daselbst verbunden. Bin- det man nun zugleich in A den Zeichenstift ein, womit der Bogen beschrieben werden soll, und fährt damit bei angespannter Lage der Schnur von A nach E, B bis A', so hat man den elyptischen Bogen verzeichnet. Diese Methode wird vorzüglich in dem Falle zur Beschreibung der Lehrbögen gebraucht, wenn die Spannweite nicht sehr gross ist; ist aber das letztere der Fall, so unterliegt die Schnur der Ausdehnung. Zur Verzeichnung am Papiere kann man sich derselben auch nicht leicht bedienen. Fig 9. In dieser Hinsicht wurde in neuern Zeiten die Methode angewandt, elyptische Bögen aus drei oder mehr, mit verschiedenen Halbmessern beschrie- benen Kreisbögen zusammen zu setzen. Hieher gehört folgende Methode: Es sey A C A' die gegebene Spannweite oder die grössere Achse der Elypse und C B die gegebene Höhe derselben in der Mitte. Man beschreibe aus dem Mittel- punkte C mit dem Halbmesser A C den halben Kreis A D B' D' A', und trage aus A und A' den Halbmesser A D = A C und A' D' = A' C auf. Wird nun der Punkt D mit A und C, dann D' mit A' und C verbunden, so entstehen die gleichseitigen Dreiecke A D C und A' D' C. Man verbinde nun die Punkte B', D und D' und ziehe aus dem obersten Punkte der zu beschreibenden Elypse, nämlich aus B die Linie B F parallel zu B' D, dann ziehe man aus F die Linie F E parallel zu D C, so werden die Durch- schnittspunkte E und G, so wie auf der andern Seite E und G' die Mittelpunkte seyn, aus welchen der Bogen F B F' und die Bögen A F und A' F' beschrieben werden können. Man sieht nun von selbst, dass ein jeder dieser drei Bögen an seinem Mittelpunkte einen Winkel von 60 Grad überspannt; diese Bögen werden bei F und F' in einander laufen und die aus allen dreien zusammengesetzte krumme Linie A F B F' A'. in der Mitte die gegebene Höhe C B, so wie die gegebene Weite A C A' überspannen. Fig. 10. Gerstners Mechanik. Band I. 55

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 433. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/463>, abgerufen am 19.04.2024.