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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Kröpfung eines Gerinnes mit zwei Rädern.
ben werden, so müssen wir das Bewegungsmoment des ersten Rades dem vortheilhafte-
sten Bewegungsmomente des zweiten Rades gleich setzen, dadurch erhalten wir
[Formel 1] ; daraus folgt (c -- v) v = [Formel 2] v2, folglich haben wir
v = [Formel 3] c und v' = [Formel 4] . Wir sehen hieraus, dass die Geschwindigkeit des ersten
Rades nicht die Hälfte, sondern [Formel 5] von der Geschwindigkeit des herbeiströmenden Was-
sers seyn muss. Eben so ist die Geschwindigkeit des zweiten Rades nur die Hälfte jener
des vom ersten Rade abfliessenden Wassers oder [Formel 6] der Geschwindigkeit, womit das Was-
ser in das Gerinne strömt.

Substituirt man diese Werthe in die obigen Formeln, so ist das Bewegungsmoment
des ersten Rades = [Formel 7] und das Bewegungsmoment
des zweiten Rades = [Formel 8] . Die Bewegungsmo-
mente beider Räder sind demnach einander gleich und ihre Summe beträgt 56,4 . [Formel 9] .

Wird nun diese Summe der Bewegungsmomente mit jener für zwei Räder in einem
Gerinne zusammengehalten, so haben wir 56,4 [Formel 10] = 25 : 32,
beinahe wie 3 : 4. Die beiden Räder in einem Gerinne werden demnach dasselbe Mahl-
quantum in 3 Tagen abliefern, was mit den Rädern in abgesonderten Gerinnen erst in 4
Tagen aufgebracht werden kann.

§. 271.

Zur Vermeidung des Rückstaues haben wir für die beiden Räder in abge-
sonderten Gerinnen die Tiefe des Gerinnbodens unter der Mitte des Rades wie oben = 2 a
wo a die Tiefe des Wassers im Gerinne vor dem Rade vorstellet.

Fig.
10.
Tab.
56.

Wenn aber zwei Räder hintereinander in ein Gerinne gestellt werden, so ist die Ge-
schwindigkeit des hinter dem ersten Rade abfliessenden Wassers v = 4/5 c. Weil nun die
Wassermenge a . b . c auch hinter dem Rade abfliessen muss, so ist
a' . b . v = a' . b . 4/5 c = a . b . c. Daraus folgt die Tiefe unter der Mitte des ersten Rades
a' = 5/4 a und für das zweite Rad, wo die Geschwindigkeit des abfliessenden Wassers
nur v' = 2/5 c ist, folgt auf gleiche Art a'' = 5/2 a.

§. 272.

Wenn der Zufluss des Wassers hinreicht, um drei Räder betreiben zu können, so
haben wir für den Fall, wenn drei Räder hintereinander in ein gemeinschaftliches
Gerinne gestellt werden, das Bewegungsmoment des ersten Rades = [Formel 11] v,
jenes der zweiten Rades = [Formel 12] v' und eben so das Bewegungsmoment des drit-
ten Rades = [Formel 13] v''.

Weil das Wasser vor dem letzten Rade mit einer viel kleinern Geschwindigkeit
als vor den beiden vorausgehenden anströmt, so müssen wir vorerst das Bewegungs-

Kröpfung eines Gerinnes mit zwei Rädern.
ben werden, so müssen wir das Bewegungsmoment des ersten Rades dem vortheilhafte-
sten Bewegungsmomente des zweiten Rades gleich setzen, dadurch erhalten wir
[Formel 1] ; daraus folgt (c — v) v = [Formel 2] v2, folglich haben wir
v = [Formel 3] c und v' = [Formel 4] . Wir sehen hieraus, dass die Geschwindigkeit des ersten
Rades nicht die Hälfte, sondern [Formel 5] von der Geschwindigkeit des herbeiströmenden Was-
sers seyn muss. Eben so ist die Geschwindigkeit des zweiten Rades nur die Hälfte jener
des vom ersten Rade abfliessenden Wassers oder [Formel 6] der Geschwindigkeit, womit das Was-
ser in das Gerinne strömt.

Substituirt man diese Werthe in die obigen Formeln, so ist das Bewegungsmoment
des ersten Rades = [Formel 7] und das Bewegungsmoment
des zweiten Rades = [Formel 8] . Die Bewegungsmo-
mente beider Räder sind demnach einander gleich und ihre Summe beträgt 56,4 . [Formel 9] .

Wird nun diese Summe der Bewegungsmomente mit jener für zwei Räder in einem
Gerinne zusammengehalten, so haben wir 56,4 [Formel 10] = 25 : 32,
beinahe wie 3 : 4. Die beiden Räder in einem Gerinne werden demnach dasselbe Mahl-
quantum in 3 Tagen abliefern, was mit den Rädern in abgesonderten Gerinnen erst in 4
Tagen aufgebracht werden kann.

§. 271.

Zur Vermeidung des Rückstaues haben wir für die beiden Räder in abge-
sonderten Gerinnen die Tiefe des Gerinnbodens unter der Mitte des Rades wie oben = 2 a
wo a die Tiefe des Wassers im Gerinne vor dem Rade vorstellet.

Fig.
10.
Tab.
56.

Wenn aber zwei Räder hintereinander in ein Gerinne gestellt werden, so ist die Ge-
schwindigkeit des hinter dem ersten Rade abfliessenden Wassers v = ⅘ c. Weil nun die
Wassermenge a . b . c auch hinter dem Rade abfliessen muss, so ist
a' . b . v = a' . b . ⅘ c = a . b . c. Daraus folgt die Tiefe unter der Mitte des ersten Rades
a' = 5/4 a und für das zweite Rad, wo die Geschwindigkeit des abfliessenden Wassers
nur v' = ⅖ c ist, folgt auf gleiche Art a'' = 5/2 a.

§. 272.

Wenn der Zufluss des Wassers hinreicht, um drei Räder betreiben zu können, so
haben wir für den Fall, wenn drei Räder hintereinander in ein gemeinschaftliches
Gerinne gestellt werden, das Bewegungsmoment des ersten Rades = [Formel 11] v,
jenes der zweiten Rades = [Formel 12] v' und eben so das Bewegungsmoment des drit-
ten Rades = [Formel 13] v''.

Weil das Wasser vor dem letzten Rade mit einer viel kleinern Geschwindigkeit
als vor den beiden vorausgehenden anströmt, so müssen wir vorerst das Bewegungs-

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[366/0384] Kröpfung eines Gerinnes mit zwei Rädern. ben werden, so müssen wir das Bewegungsmoment des ersten Rades dem vortheilhafte- sten Bewegungsmomente des zweiten Rades gleich setzen, dadurch erhalten wir [FORMEL]; daraus folgt (c — v) v = [FORMEL] v2, folglich haben wir v = [FORMEL] c und v' = [FORMEL]. Wir sehen hieraus, dass die Geschwindigkeit des ersten Rades nicht die Hälfte, sondern [FORMEL] von der Geschwindigkeit des herbeiströmenden Was- sers seyn muss. Eben so ist die Geschwindigkeit des zweiten Rades nur die Hälfte jener des vom ersten Rade abfliessenden Wassers oder [FORMEL] der Geschwindigkeit, womit das Was- ser in das Gerinne strömt. Substituirt man diese Werthe in die obigen Formeln, so ist das Bewegungsmoment des ersten Rades = [FORMEL] und das Bewegungsmoment des zweiten Rades = [FORMEL]. Die Bewegungsmo- mente beider Räder sind demnach einander gleich und ihre Summe beträgt 56,4 . [FORMEL]. Wird nun diese Summe der Bewegungsmomente mit jener für zwei Räder in einem Gerinne zusammengehalten, so haben wir 56,4 [FORMEL] = 25 : 32, beinahe wie 3 : 4. Die beiden Räder in einem Gerinne werden demnach dasselbe Mahl- quantum in 3 Tagen abliefern, was mit den Rädern in abgesonderten Gerinnen erst in 4 Tagen aufgebracht werden kann. §. 271. Zur Vermeidung des Rückstaues haben wir für die beiden Räder in abge- sonderten Gerinnen die Tiefe des Gerinnbodens unter der Mitte des Rades wie oben = 2 a wo a die Tiefe des Wassers im Gerinne vor dem Rade vorstellet. Wenn aber zwei Räder hintereinander in ein Gerinne gestellt werden, so ist die Ge- schwindigkeit des hinter dem ersten Rade abfliessenden Wassers v = ⅘ c. Weil nun die Wassermenge a . b . c auch hinter dem Rade abfliessen muss, so ist a' . b . v = a' . b . ⅘ c = a . b . c. Daraus folgt die Tiefe unter der Mitte des ersten Rades a' = 5/4 a und für das zweite Rad, wo die Geschwindigkeit des abfliessenden Wassers nur v' = ⅖ c ist, folgt auf gleiche Art a'' = 5/2 a. §. 272. Wenn der Zufluss des Wassers hinreicht, um drei Räder betreiben zu können, so haben wir für den Fall, wenn drei Räder hintereinander in ein gemeinschaftliches Gerinne gestellt werden, das Bewegungsmoment des ersten Rades = [FORMEL] v, jenes der zweiten Rades = [FORMEL] v' und eben so das Bewegungsmoment des drit- ten Rades = [FORMEL] v''. Weil das Wasser vor dem letzten Rade mit einer viel kleinern Geschwindigkeit als vor den beiden vorausgehenden anströmt, so müssen wir vorerst das Bewegungs-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 366. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/384>, abgerufen am 23.04.2024.