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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Bestimmung des einfallenden Wasserstrahles.
Fig.
5.
Tab.
61.Setzen wir nun an die Stelle von h seinen oben gefundenen Werth [Formel 1] , so erhal-
ten wir den horizontalen Raum [Formel 2] . Substituiren wir weiters für tang (m + w)
den gefundenen Werth [Formel 3] , so ergibt sich J S = R . Sin w, also muss die Entfer-
nung J S gerade so gross seyn als B D, folglich muss die Schütze lothrecht
über dem Mittelpunkte des Rades stehen, und das Gerinne, wo-
durch das Wasser in die Zellen des Rades geleitet wird, in dersel-
ben lothrechten Linie endigen.

Fig.
6.

Zur grössern Uiberzeugung von der Richtigkeit der bisher geführten Rechnungen
wollen wir die Gleichung R . Sin w . tang (m + w) = 2 (a + R -- R . Cos w) = 2 (a + z)
näher betrachten. In derselben ist R . Sin w = B D, und weil der Winkel B D O = m + w,
so ist R . Sin w . tang (m + w) = B O; nun ist aber nach der Eigenschaft der paraboli-
schen Linie H D die Subtangente B O = 2 B H; weil aber B H = a + z, so sehen
wir, dass die obige Gleichung mit der Eigenschaft der parabolischen Bahn des Strah-
les genau übereinstimmt. Wir können also mit voller Sicherheit den Winkel w aus der
Gleichung R . Sin w . tang (m + w) = 2 (a + R -- R . Cos w) bestimmen. Wenn wir diese
Gleichung mit 2 R dividiren, so erhalten wir 1/2 Sin w . tang (m + w) [Formel 4] + 1 -- Cos w.

Da diese Gleichung keine algebraische Auflösung zulässt, so wollen wir dieselbe
vorläufig für einen bekannten Fall versuchen. Wir haben schon im Vorherge-
henden gesehen, dass zur Erzielung einer hohen Wassersäule die Grössen
R . Cos w + R . Cos 1/2 (l + m) gross, folglich die Winkel w und m möglichst klein seyn
müssen. Wir können also statt tang (m + w) den beinahe gleichen Werth Sin m + Sin w,
dann Cos w = [Formel 5] Sin2 w setzen; dadurch erhalten wir
[Formel 6] Sin w . Sin m + [Formel 7] Sin2 w = [Formel 8] + [Formel 9] Sin2 w, woraus R . Sin w . Sin m = 2 a folgt.
Setzen wir nun den Winkel, welchen die Setzschaufeln mit dem Theilrisse machen,
m = 30 Grad, so ist Sin m = 1/2. Daraus folgt 4 a = R . Sin w = B D. Wenn wir also
a = 1 Fuss und die Entfernung der Theilpunkte, wie gewöhnlich auch = 1 Fuss set-
zen, so sehen wir, dass der Wasserstrahl in die 4te Zellen fallen müsse; ist aber
a nur = 3/4 Fuss ist, so ist R . Sin w = 3 Fuss, also muss der Wasserstrahl in die 3te Zel-
le fallen. Hieraus ist die bekannte Regel der Praktiker ersichtlich, vermöge welcher
der Wasserstrahl in die 3te oderte Zelle des oberschlächtigen
Rades fallen soll. Da es aber von Wichtigkeit ist, den Winkel w genau zu be-
stimmen, um davon sowohl zur Bestimmung der Höhe des wasserhaltenden Bogens
C B = R . Cos w als auch der Wasserstandshöhe im Schussgerinne [Formel 10]
Gebrauch zu machen, so haben wir den Winkel w in der nachfolgenden Tabelle be-
rechnet.

Die Methode, deren man sich bei dieser Rechnung bediente, wollen wir im fol-
genden Beispiele zeigen. Hierbei haben wir die Grösse a zur Einheit und zum
Maasstabe des Halbmessers R angenommen; weil a bei unsern gewöhnlichen Rädern beina-

Bestimmung des einfallenden Wasserstrahles.
Fig.
5.
Tab.
61.Setzen wir nun an die Stelle von h seinen oben gefundenen Werth [Formel 1] , so erhal-
ten wir den horizontalen Raum [Formel 2] . Substituiren wir weiters für tang (μ + w)
den gefundenen Werth [Formel 3] , so ergibt sich J S = R . Sin w, also muss die Entfer-
nung J S gerade so gross seyn als B D, folglich muss die Schütze lothrecht
über dem Mittelpunkte des Rades stehen, und das Gerinne, wo-
durch das Wasser in die Zellen des Rades geleitet wird, in dersel-
ben lothrechten Linie endigen.

Fig.
6.

Zur grössern Uiberzeugung von der Richtigkeit der bisher geführten Rechnungen
wollen wir die Gleichung R . Sin w . tang (μ + w) = 2 (a + R — R . Cos w) = 2 (a + z)
näher betrachten. In derselben ist R . Sin w = B D, und weil der Winkel B D O = μ + w,
so ist R . Sin w . tang (μ + w) = B O; nun ist aber nach der Eigenschaft der paraboli-
schen Linie H D die Subtangente B O = 2 B H; weil aber B H = a + z, so sehen
wir, dass die obige Gleichung mit der Eigenschaft der parabolischen Bahn des Strah-
les genau übereinstimmt. Wir können also mit voller Sicherheit den Winkel w aus der
Gleichung R . Sin w . tang (μ + w) = 2 (a + R — R . Cos w) bestimmen. Wenn wir diese
Gleichung mit 2 R dividiren, so erhalten wir ½ Sin w . tang (μ + w) [Formel 4] + 1 — Cos w.

Da diese Gleichung keine algebraische Auflösung zulässt, so wollen wir dieselbe
vorläufig für einen bekannten Fall versuchen. Wir haben schon im Vorherge-
henden gesehen, dass zur Erzielung einer hohen Wassersäule die Grössen
R . Cos w + R . Cos ½ (λ + μ) gross, folglich die Winkel w und μ möglichst klein seyn
müssen. Wir können also statt tang (μ + w) den beinahe gleichen Werth Sin μ + Sin w,
dann Cos w = [Formel 5] Sin2 w setzen; dadurch erhalten wir
[Formel 6] Sin w . Sin μ + [Formel 7] Sin2 w = [Formel 8] + [Formel 9] Sin2 w, woraus R . Sin w . Sin μ = 2 a folgt.
Setzen wir nun den Winkel, welchen die Setzschaufeln mit dem Theilrisse machen,
μ = 30 Grad, so ist Sin μ = ½. Daraus folgt 4 a = R . Sin w = B D. Wenn wir also
a = 1 Fuss und die Entfernung der Theilpunkte, wie gewöhnlich auch = 1 Fuss set-
zen, so sehen wir, dass der Wasserstrahl in die 4te Zellen fallen müsse; ist aber
a nur = ¾ Fuss ist, so ist R . Sin w = 3 Fuss, also muss der Wasserstrahl in die 3te Zel-
le fallen. Hieraus ist die bekannte Regel der Praktiker ersichtlich, vermöge welcher
der Wasserstrahl in die 3te oderte Zelle des oberschlächtigen
Rades fallen soll. Da es aber von Wichtigkeit ist, den Winkel w genau zu be-
stimmen, um davon sowohl zur Bestimmung der Höhe des wasserhaltenden Bogens
C B = R . Cos w als auch der Wasserstandshöhe im Schussgerinne [Formel 10]
Gebrauch zu machen, so haben wir den Winkel w in der nachfolgenden Tabelle be-
rechnet.

Die Methode, deren man sich bei dieser Rechnung bediente, wollen wir im fol-
genden Beispiele zeigen. Hierbei haben wir die Grösse a zur Einheit und zum
Maasstabe des Halbmessers R angenommen; weil a bei unsern gewöhnlichen Rädern beina-

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[420/0438] Bestimmung des einfallenden Wasserstrahles. Setzen wir nun an die Stelle von h seinen oben gefundenen Werth [FORMEL], so erhal- ten wir den horizontalen Raum [FORMEL]. Substituiren wir weiters für tang (μ + w) den gefundenen Werth [FORMEL], so ergibt sich J S = R . Sin w, also muss die Entfer- nung J S gerade so gross seyn als B D, folglich muss die Schütze lothrecht über dem Mittelpunkte des Rades stehen, und das Gerinne, wo- durch das Wasser in die Zellen des Rades geleitet wird, in dersel- ben lothrechten Linie endigen. Fig. 5. Tab. 61. Zur grössern Uiberzeugung von der Richtigkeit der bisher geführten Rechnungen wollen wir die Gleichung R . Sin w . tang (μ + w) = 2 (a + R — R . Cos w) = 2 (a + z) näher betrachten. In derselben ist R . Sin w = B D, und weil der Winkel B D O = μ + w, so ist R . Sin w . tang (μ + w) = B O; nun ist aber nach der Eigenschaft der paraboli- schen Linie H D die Subtangente B O = 2 B H; weil aber B H = a + z, so sehen wir, dass die obige Gleichung mit der Eigenschaft der parabolischen Bahn des Strah- les genau übereinstimmt. Wir können also mit voller Sicherheit den Winkel w aus der Gleichung R . Sin w . tang (μ + w) = 2 (a + R — R . Cos w) bestimmen. Wenn wir diese Gleichung mit 2 R dividiren, so erhalten wir ½ Sin w . tang (μ + w) [FORMEL] + 1 — Cos w. Da diese Gleichung keine algebraische Auflösung zulässt, so wollen wir dieselbe vorläufig für einen bekannten Fall versuchen. Wir haben schon im Vorherge- henden gesehen, dass zur Erzielung einer hohen Wassersäule die Grössen R . Cos w + R . Cos ½ (λ + μ) gross, folglich die Winkel w und μ möglichst klein seyn müssen. Wir können also statt tang (μ + w) den beinahe gleichen Werth Sin μ + Sin w, dann Cos w = [FORMEL] Sin2 w setzen; dadurch erhalten wir [FORMEL] Sin w . Sin μ + [FORMEL] Sin2 w = [FORMEL] + [FORMEL] Sin2 w, woraus R . Sin w . Sin μ = 2 a folgt. Setzen wir nun den Winkel, welchen die Setzschaufeln mit dem Theilrisse machen, μ = 30 Grad, so ist Sin μ = ½. Daraus folgt 4 a = R . Sin w = B D. Wenn wir also a = 1 Fuss und die Entfernung der Theilpunkte, wie gewöhnlich auch = 1 Fuss set- zen, so sehen wir, dass der Wasserstrahl in die 4te Zellen fallen müsse; ist aber a nur = ¾ Fuss ist, so ist R . Sin w = 3 Fuss, also muss der Wasserstrahl in die 3te Zel- le fallen. Hieraus ist die bekannte Regel der Praktiker ersichtlich, vermöge welcher der Wasserstrahl in die 3te oderte Zelle des oberschlächtigen Rades fallen soll. Da es aber von Wichtigkeit ist, den Winkel w genau zu be- stimmen, um davon sowohl zur Bestimmung der Höhe des wasserhaltenden Bogens C B = R . Cos w als auch der Wasserstandshöhe im Schussgerinne [FORMEL] Gebrauch zu machen, so haben wir den Winkel w in der nachfolgenden Tabelle be- rechnet. Die Methode, deren man sich bei dieser Rechnung bediente, wollen wir im fol- genden Beispiele zeigen. Hierbei haben wir die Grösse a zur Einheit und zum Maasstabe des Halbmessers R angenommen; weil a bei unsern gewöhnlichen Rädern beina-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 420. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/438>, abgerufen am 23.04.2024.