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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Berechnung der Wassermenge.
beliebigen Bogen l finden; derselbe ist nämlich =
[Formel 1] . Hiezu
kommt noch beim Anfange von d bis k eine Pyramide d k z x, welche zur Basis die Flä-
che x z d am innern Schneckengewinde, und die Spitze am äussern Gewinde in k hat. Die
Fläche x z d ist wegen der Berührung des Bogens d x mit d z als eine äussere Parabel
betrachtet = 1/3 z x . d e. Weil aber k x' = R . Cos m und x x' = r. Cos m, so ist
k x = (R -- r) Cos m, daher z x = (R -- r) [Formel 2] ; und da d e = r (m -- g), so ist die Fläche
x z d = (R -- r) [Formel 3] (m -- g), und die Pyramide zu Anfange ist sehr nahe
= (R -- r)2 [Formel 4] . Eben so hat die Pyramide am Ende, so lange m' und g' grös-
ser als 270° sind, noch eine Basis am innern Schneckengange, deren Breite = r (m' -- g')
und Höhe x z = (R -- r) [Formel 5] , folglich die Fläche (R -- r) [Formel 6] , und den
kubischen Inhalt [Formel 7] .

Also ist der ganze kubische Inhalt des Wassers für den beliebigen Bogen l, oder
[Formel 8] . Setzt man l = m', so ist die ganze Wassermenge in einem Gewinde
[Formel 9] .

§. 162.

Bei dieser Berechnung wurde vorausgesetzt, dass das Wasser in einem Gewinde
durchaus bis zu jener horizontalen Fläche anstehen könne, welche durch die berechneten

oder d M = R2 . d l [Formel 10] .
Wird diese Gleichung
integrirt, so erhalten wir den kubischen Inhalt des Wasserkörpers
integral d M = M = [Formel 11] (r . l . Cos g -- 1/2 r . l2 . Sin g + r . l . g . Sin g) -- (R3 -- r3) [Formel 12] + Const.
Wird für die Bestimmung der Constanten l = m gesetzt, so ist die Wassermenge M = 0, woraus
Const. = -- [Formel 13] (r . m . Cos g -- 1/2 r . m2 . Sin g + r . m . g . Sin g) + (R3 -- r3) [Formel 14] , dem-
nach ist das vollständige Integrale oder die Wassermenge für einen beliebigen Bogen l, nämlich
[Formel 15] .

Berechnung der Wassermenge.
beliebigen Bogen λ finden; derselbe ist nämlich =
[Formel 1] . Hiezu
kommt noch beim Anfange von d bis k eine Pyramide d k z x, welche zur Basis die Flä-
che x z d am innern Schneckengewinde, und die Spitze am äussern Gewinde in k hat. Die
Fläche x z d ist wegen der Berührung des Bogens d x mit d z als eine äussere Parabel
betrachtet = ⅓ z x . δ e. Weil aber k x' = R . Cos μ und x x' = r. Cos μ, so ist
k x = (R — r) Cos μ, daher z x = (R — r) [Formel 2] ; und da δ e = r (μγ), so ist die Fläche
x z d = (R — r) [Formel 3] (μγ), und die Pyramide zu Anfange ist sehr nahe
= (R — r)2 [Formel 4] . Eben so hat die Pyramide am Ende, so lange μ' und γ' grös-
ser als 270° sind, noch eine Basis am innern Schneckengange, deren Breite = r (μ' — γ')
und Höhe x z = (R — r) [Formel 5] , folglich die Fläche (R — r) [Formel 6] , und den
kubischen Inhalt [Formel 7] .

Also ist der ganze kubische Inhalt des Wassers für den beliebigen Bogen λ, oder
[Formel 8] . Setzt man λ = μ', so ist die ganze Wassermenge in einem Gewinde
[Formel 9] .

§. 162.

Bei dieser Berechnung wurde vorausgesetzt, dass das Wasser in einem Gewinde
durchaus bis zu jener horizontalen Fläche anstehen könne, welche durch die berechneten

oder d M = R2 . d λ [Formel 10] .
Wird diese Gleichung
integrirt, so erhalten wir den kubischen Inhalt des Wasserkörpers
d M = M = [Formel 11] (r . λ . Cos γ — ½ r . λ2 . Sin γ + r . λ . γ . Sin γ) — (R3 — r3) [Formel 12] + Const.
Wird für die Bestimmung der Constanten λ = μ gesetzt, so ist die Wassermenge M = 0, woraus
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[229/0265] Berechnung der Wassermenge. beliebigen Bogen λ finden; derselbe ist nämlich = [FORMEL]. Hiezu kommt noch beim Anfange von d bis k eine Pyramide d k z x, welche zur Basis die Flä- che x z d am innern Schneckengewinde, und die Spitze am äussern Gewinde in k hat. Die Fläche x z d ist wegen der Berührung des Bogens d x mit d z als eine äussere Parabel betrachtet = ⅓ z x . δ e. Weil aber k x' = R . Cos μ und x x' = r. Cos μ, so ist k x = (R — r) Cos μ, daher z x = (R — r) [FORMEL]; und da δ e = r (μ — γ), so ist die Fläche x z d = (R — r) [FORMEL] (μ — γ), und die Pyramide zu Anfange ist sehr nahe = (R — r)2 [FORMEL]. Eben so hat die Pyramide am Ende, so lange μ' und γ' grös- ser als 270° sind, noch eine Basis am innern Schneckengange, deren Breite = r (μ' — γ') und Höhe x z = (R — r) [FORMEL], folglich die Fläche (R — r) [FORMEL], und den kubischen Inhalt [FORMEL]. Also ist der ganze kubische Inhalt des Wassers für den beliebigen Bogen λ, oder [FORMEL]. Setzt man λ = μ', so ist die ganze Wassermenge in einem Gewinde [FORMEL]. §. 162. Bei dieser Berechnung wurde vorausgesetzt, dass das Wasser in einem Gewinde durchaus bis zu jener horizontalen Fläche anstehen könne, welche durch die berechneten *) *) oder d M = R2 . d λ [FORMEL]. Wird diese Gleichung integrirt, so erhalten wir den kubischen Inhalt des Wasserkörpers ∫ d M = M = [FORMEL] (r . λ . Cos γ — ½ r . λ2 . Sin γ + r . λ . γ . Sin γ) — (R3 — r3) [FORMEL] + Const. Wird für die Bestimmung der Constanten λ = μ gesetzt, so ist die Wassermenge M = 0, woraus Const. = — [FORMEL] (r . μ . Cos γ — ½ r . μ2 . Sin γ + r . μ . γ . Sin γ) + (R3 — r3) [FORMEL], dem- nach ist das vollständige Integrale oder die Wassermenge für einen beliebigen Bogen λ, nämlich [FORMEL].

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 229. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/265>, abgerufen am 18.07.2019.