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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Gleichung für die Cykloide.
denken; es ist daher b' b = der Sehne A'' b und so in allen folgenden Punkten. Dem-
Fig.
5.
Tab.
72.
nach kann die Cykloide auf folgende Art verzeichnet werden. Ist der Kreis A'' O'' in
12 Theile getheilt, so ziehe man durch die Theilungspunkte a, b, c, d, ... die zur Grund-
linie parallelen Linien a a, b b, c c, d d ....; aus dem ersten Theilungspunkte a'
schneide man mit der Sehne A'' a die erste Parallele a a, aus dem zweiten Punkte b'
mit der Sehne A'' b die zweite Parallele b b, .... durch, so werden alle diese Durch-
schnittspunkte mit einander verbunden die verlangte Cykloide geben.

Da es zu weitläufig und für unsern Zweck auch unnöthig seyn würde, die ganze
Cykloide zu beschreiben, so wollen wir uns erst eine Gleichung für diese krumme
Linie
suchen. Es sey J ein Punkt in der Cykloide, die Ordinate J m = y und
die Abscisse A m = x. Man verbinde den Punkt J mit dem Mittelpunkte D des Krei-
ses und ziehe durch J die Horizontale G J F. Setzen wir den Winkel J D E = l und den
Halbmesser des Kreises J D = b, so ist der Bogen J E = A E = b . l, die Linie
J F = b . Sin l, also A m = A E -- m E = A E -- J F = b . l -- b . Sin l = x. Ferner ist
D F = b . Cos l, also J m = F E = D E -- D F = b -- b . Cos l = 2 b . Sin2 1/2 l = y. Mit-
telst dieser zwei Gleichungen lassen sich die Coordinaten x und y für jeden Winkel l
berechnen und die Cykloidallinie verzeichnen. Zur Erleichterung dieser Zeichnung
haben wir in der unten beigefügten Note *) noch den Krümmungshalbmesser
der Cykloide
bestimmt.

§. 29.

Denken wir uns einen Triebstock, der in A seinen Mittelpunkt hat, so wird dieser
Fig.
6.
Punkt A die angegebene Cykloide beschreiben. Weil die Halbmesser des Triebstockes A a
und A a' zu beiden Seiten der Cykloide gleich sind, so werden die Linien a a'', a' a''',
welche von beiden Seiten des Triebstockes beschrieben werden, zur Cykloide des Mittel-
punktes parallel seyn, und der zwischen diesen beiden äussern Parallellinien einge-
schlossene Raum a a' a''' a'' wird denjenigen Raum bezeichnen, welcher frei bleiben
muss, wenn der Triebstock sich ungehindert bewegen soll. Denken wir uns nun auf
der Entfernung eines Zahnes oder in E auf gleiche Art einen zweiten Triebstock,

*) Differenziren wir die beiden Gleichungen für x und y, so erhalten wir
Fig.
5.
d x = b . d l (1 -- Cos l) = 2 b . d l . Sin2 1/2 l, und d y = b . d l . Sin l = 2 b . d l . Sin 1/2 l . Cos 1/2 l.
Mithin ist d s = [Formel 1] = 2 b . d l. Sin 1/2 l. [Formel 2] = 2 b . d l . Sin 1/2 l. Daraus
folgt [Formel 3] = Sin J H F = Sin 1/2 l, wenn wir nämlich in J zu dem Bogen die Tangente J H ziehen.
Demnach ist der Winkel J H F = 1/2 l. Ziehen wir nun D p winkelrecht auf J E, so ist der Winkel
p D E = 1/2 l, also ist die Tangente J H parallel zu D p und die Sehne J E liegt in der Richtung
des Krümmungshalbmessers, welchen wir mit R bezeichnen wollen. Zur Bestimmung seiner Grösse
setzen wir den Winkel H J F = 90 -- 1/2 l = m; demnach ist d l = -- 2 d m. Wird dieser Werth
in die oben für d s gefundene Gleichung gesetzt, so haben wir d s = -- 4 b . d m . Sin 1/2 l. Hier-
aus folgt der Krümmungshalbmesser R = [Formel 4] = 2 . 2 b . Sin 1/2 l = 2 J E, also ist der Krüm-
mungshalbmesser der doppelten Länge der Sehne J E gleich; er ist im Anfangspunkte A = 0 und
nimmt mit dem Winkel l zu, bis 1/2 l = 90°, wo Sin 1/2 l = 1, folglich der Krümmungshalbmesser
im Scheitel P = 4 b oder dem doppelten Durchmesser des Kreises gleich ist, von da nimmt der
Krümmungshalbmesser auf dieselbe Art wieder ab.

Gleichung für die Cykloide.
denken; es ist daher b' b = der Sehne A'' b und so in allen folgenden Punkten. Dem-
Fig.
5.
Tab.
72.
nach kann die Cykloide auf folgende Art verzeichnet werden. Ist der Kreis A'' O'' in
12 Theile getheilt, so ziehe man durch die Theilungspunkte a, b, c, d, … die zur Grund-
linie parallelen Linien a a, b b, c c, d d ....; aus dem ersten Theilungspunkte a'
schneide man mit der Sehne A'' a die erste Parallele a a, aus dem zweiten Punkte b'
mit der Sehne A'' b die zweite Parallele b b, .... durch, so werden alle diese Durch-
schnittspunkte mit einander verbunden die verlangte Cykloide geben.

Da es zu weitläufig und für unsern Zweck auch unnöthig seyn würde, die ganze
Cykloide zu beschreiben, so wollen wir uns erst eine Gleichung für diese krumme
Linie
suchen. Es sey J ein Punkt in der Cykloide, die Ordinate J m = y und
die Abscisse A m = x. Man verbinde den Punkt J mit dem Mittelpunkte D des Krei-
ses und ziehe durch J die Horizontale G J F. Setzen wir den Winkel J D E = λ und den
Halbmesser des Kreises J D = b, so ist der Bogen J E = A E = b . λ, die Linie
J F = b . Sin λ, also A m = A E — m E = A E — J F = b . λ — b . Sin λ = x. Ferner ist
D F = b . Cos λ, also J m = F E = D E — D F = b — b . Cos λ = 2 b . Sin2 ½ λ = y. Mit-
telst dieser zwei Gleichungen lassen sich die Coordinaten x und y für jeden Winkel λ
berechnen und die Cykloidallinie verzeichnen. Zur Erleichterung dieser Zeichnung
haben wir in der unten beigefügten Note *) noch den Krümmungshalbmesser
der Cykloide
bestimmt.

§. 29.

Denken wir uns einen Triebstock, der in A seinen Mittelpunkt hat, so wird dieser
Fig.
6.
Punkt A die angegebene Cykloide beschreiben. Weil die Halbmesser des Triebstockes A a
und A a' zu beiden Seiten der Cykloide gleich sind, so werden die Linien a a'', a' a''',
welche von beiden Seiten des Triebstockes beschrieben werden, zur Cykloide des Mittel-
punktes parallel seyn, und der zwischen diesen beiden äussern Parallellinien einge-
schlossene Raum a a' a''' a'' wird denjenigen Raum bezeichnen, welcher frei bleiben
muss, wenn der Triebstock sich ungehindert bewegen soll. Denken wir uns nun auf
der Entfernung eines Zahnes oder in E auf gleiche Art einen zweiten Triebstock,

*) Differenziren wir die beiden Gleichungen für x und y, so erhalten wir
Fig.
5.
d x = b . d λ (1 — Cos λ) = 2 b . d λ . Sin2 ½ λ, und d y = b . d λ . Sin λ = 2 b . d λ . Sin ½ λ . Cos ½ λ.
Mithin ist d s = [Formel 1] = 2 b . d λ. Sin ½ λ. [Formel 2] = 2 b . d λ . Sin ½ λ. Daraus
folgt [Formel 3] = Sin J H F = Sin ½ λ, wenn wir nämlich in J zu dem Bogen die Tangente J H ziehen.
Demnach ist der Winkel J H F = ½ λ. Ziehen wir nun D p winkelrecht auf J E, so ist der Winkel
p D E = ½ λ, also ist die Tangente J H parallel zu D p und die Sehne J E liegt in der Richtung
des Krümmungshalbmessers, welchen wir mit R bezeichnen wollen. Zur Bestimmung seiner Grösse
setzen wir den Winkel H J F = 90 — ½ λ = μ; demnach ist d λ = — 2 d μ. Wird dieser Werth
in die oben für d s gefundene Gleichung gesetzt, so haben wir d s = — 4 b . d μ . Sin ½ λ. Hier-
aus folgt der Krümmungshalbmesser R = [Formel 4] = 2 . 2 b . Sin ½ λ = 2 J E, also ist der Krüm-
mungshalbmesser der doppelten Länge der Sehne J E gleich; er ist im Anfangspunkte A = 0 und
nimmt mit dem Winkel λ zu, bis ½ λ = 90°, wo Sin ½ λ = 1, folglich der Krümmungshalbmesser
im Scheitel P = 4 b oder dem doppelten Durchmesser des Kreises gleich ist, von da nimmt der
Krümmungshalbmesser auf dieselbe Art wieder ab.
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[36/0072] Gleichung für die Cykloide. denken; es ist daher b' b = der Sehne A'' b und so in allen folgenden Punkten. Dem- nach kann die Cykloide auf folgende Art verzeichnet werden. Ist der Kreis A'' O'' in 12 Theile getheilt, so ziehe man durch die Theilungspunkte a, b, c, d, … die zur Grund- linie parallelen Linien a a, b b, c c, d d ....; aus dem ersten Theilungspunkte a' schneide man mit der Sehne A'' a die erste Parallele a a, aus dem zweiten Punkte b' mit der Sehne A'' b die zweite Parallele b b, .... durch, so werden alle diese Durch- schnittspunkte mit einander verbunden die verlangte Cykloide geben. Fig. 5. Tab. 72. Da es zu weitläufig und für unsern Zweck auch unnöthig seyn würde, die ganze Cykloide zu beschreiben, so wollen wir uns erst eine Gleichung für diese krumme Linie suchen. Es sey J ein Punkt in der Cykloide, die Ordinate J m = y und die Abscisse A m = x. Man verbinde den Punkt J mit dem Mittelpunkte D des Krei- ses und ziehe durch J die Horizontale G J F. Setzen wir den Winkel J D E = λ und den Halbmesser des Kreises J D = b, so ist der Bogen J E = A E = b . λ, die Linie J F = b . Sin λ, also A m = A E — m E = A E — J F = b . λ — b . Sin λ = x. Ferner ist D F = b . Cos λ, also J m = F E = D E — D F = b — b . Cos λ = 2 b . Sin2 ½ λ = y. Mit- telst dieser zwei Gleichungen lassen sich die Coordinaten x und y für jeden Winkel λ berechnen und die Cykloidallinie verzeichnen. Zur Erleichterung dieser Zeichnung haben wir in der unten beigefügten Note *) noch den Krümmungshalbmesser der Cykloide bestimmt. §. 29. Denken wir uns einen Triebstock, der in A seinen Mittelpunkt hat, so wird dieser Punkt A die angegebene Cykloide beschreiben. Weil die Halbmesser des Triebstockes A a und A a' zu beiden Seiten der Cykloide gleich sind, so werden die Linien a a'', a' a''', welche von beiden Seiten des Triebstockes beschrieben werden, zur Cykloide des Mittel- punktes parallel seyn, und der zwischen diesen beiden äussern Parallellinien einge- schlossene Raum a a' a''' a'' wird denjenigen Raum bezeichnen, welcher frei bleiben muss, wenn der Triebstock sich ungehindert bewegen soll. Denken wir uns nun auf der Entfernung eines Zahnes oder in E auf gleiche Art einen zweiten Triebstock, Fig. 6. *) Differenziren wir die beiden Gleichungen für x und y, so erhalten wir d x = b . d λ (1 — Cos λ) = 2 b . d λ . Sin2 ½ λ, und d y = b . d λ . Sin λ = 2 b . d λ . Sin ½ λ . Cos ½ λ. Mithin ist d s = [FORMEL] = 2 b . d λ. Sin ½ λ. [FORMEL] = 2 b . d λ . Sin ½ λ. Daraus folgt [FORMEL] = Sin J H F = Sin ½ λ, wenn wir nämlich in J zu dem Bogen die Tangente J H ziehen. Demnach ist der Winkel J H F = ½ λ. Ziehen wir nun D p winkelrecht auf J E, so ist der Winkel p D E = ½ λ, also ist die Tangente J H parallel zu D p und die Sehne J E liegt in der Richtung des Krümmungshalbmessers, welchen wir mit R bezeichnen wollen. Zur Bestimmung seiner Grösse setzen wir den Winkel H J F = 90 — ½ λ = μ; demnach ist d λ = — 2 d μ. Wird dieser Werth in die oben für d s gefundene Gleichung gesetzt, so haben wir d s = — 4 b . d μ . Sin ½ λ. Hier- aus folgt der Krümmungshalbmesser R = [FORMEL] = 2 . 2 b . Sin ½ λ = 2 J E, also ist der Krüm- mungshalbmesser der doppelten Länge der Sehne J E gleich; er ist im Anfangspunkte A = 0 und nimmt mit dem Winkel λ zu, bis ½ λ = 90°, wo Sin ½ λ = 1, folglich der Krümmungshalbmesser im Scheitel P = 4 b oder dem doppelten Durchmesser des Kreises gleich ist, von da nimmt der Krümmungshalbmesser auf dieselbe Art wieder ab.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 36. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/72>, abgerufen am 20.07.2019.