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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Höhe der Zähne und ihre Breite am Kopfe.
es aber sehr schwer und beinahe unmöglich ist, die Bearbeitung der Zähne und Ge-
triebe so genau herzustellen, dass in dem Augenblick, wo ein Zahn auslässt, zugleich
ein anderer eingreifen und die gleichförmige Bewegung des Rades ohne den gering-
sten Stoss oder Stillstand fortsetzen möge, so wird die nöthige Sicherheit der
gleichförmigen Bewegung nur dadurch zu erzielen seyn, wenn die Berührung des
vorausgehenden Zahnes bei dem Eingriff des zweiten noch einige Zeit fortdauert.

In dieser Hinsicht wollen wir annehmen, dass der vorausgehende Zahn,Fig.
9.
Tab.
72.
nach dem er den Raum 4 r beschrieben hat, noch den Raum s mit dem
neueingreifenden Zahne gemeinschaftlich zurücklegen soll. In
diesem Falle ist die Entfernung A E = 4 r + s = b . l. Wird davon die Grösse A a
abgezogen, so bleibt für die Entfernung, bei welcher der vorausgehende Zahn aus dem
Eingriff tritt, a E = 3 r + s.

Die Sehne J E ist, wie wir früher gezeigt haben
= 2 b . Sin 1/2 l = b . l [Formel 1] . Wird hiervon der Halbmesser
des Triebstockes r abgezogen, so bleibt i E = 3 r + s -- (4 r + s) [Formel 2] . Wird nun i E mit
Sin 1/2 l multiplizirt, so erhalten wir i n = (3 r + s) Sin 1/2 l = (3 r + s) [Formel 3] . Auf gleiche
Art ist n E = i E . Cos 1/2 l = (3 r + s) [Formel 4] .
Zieht man n E von a E ab, so bleibt a n = (3 r + s) [Formel 5] . Mit diesen
Werthen findet man den Krümmungshalbmesser der Abrundung
R = [Formel 6] . Wird dieser Krümmungshalbmesser mit dem
vorigen [Formel 7] r verglichen, so sehen wir, dass der letztere nur um die Grösse [Formel 8] s grösser
ist, übrigens aber die Bemerkung, dass der Halbmesser der Krümmung von der
Anzahl der Triebstöcke nicht abhängt, wieder ihre Richtigkeit hat. Die nöthige
Höhe des Zahnes ist i n = (3 r + s) [Formel 9] und weil
die Anzahl der Triebstöcke N durch die Gleichung 4 r . N = [Formel 10] · 2 b bestimmt wird, so ist
b = [Formel 11] · r . N, demnach haben wir für die Höhe, bei welcher der Zahn den Trieb ver-
lässt, in = [Formel 12] . Die Gleichungen 4 r + s = b . l
und b = [Formel 13] r . N geben [Formel 14] . Wird dieser Werth
in die Gleichung r -- a n = [Formel 15] substituirt, so erhalten wir die obere
halbe Breite des Zahnes = [Formel 16] und wenn wir s
kleiner als r annehmen, so ist dieselbe sehr nahe = [Formel 17] .

Höhe der Zähne und ihre Breite am Kopfe.
es aber sehr schwer und beinahe unmöglich ist, die Bearbeitung der Zähne und Ge-
triebe so genau herzustellen, dass in dem Augenblick, wo ein Zahn auslässt, zugleich
ein anderer eingreifen und die gleichförmige Bewegung des Rades ohne den gering-
sten Stoss oder Stillstand fortsetzen möge, so wird die nöthige Sicherheit der
gleichförmigen Bewegung nur dadurch zu erzielen seyn, wenn die Berührung des
vorausgehenden Zahnes bei dem Eingriff des zweiten noch einige Zeit fortdauert.

In dieser Hinsicht wollen wir annehmen, dass der vorausgehende Zahn,Fig.
9.
Tab.
72.
nach dem er den Raum 4 r beschrieben hat, noch den Raum s mit dem
neueingreifenden Zahne gemeinschaftlich zurücklegen soll. In
diesem Falle ist die Entfernung A E = 4 r + s = b . λ. Wird davon die Grösse A a
abgezogen, so bleibt für die Entfernung, bei welcher der vorausgehende Zahn aus dem
Eingriff tritt, a E = 3 r + s.

Die Sehne J E ist, wie wir früher gezeigt haben
= 2 b . Sin ½ λ = b . λ [Formel 1] . Wird hiervon der Halbmesser
des Triebstockes r abgezogen, so bleibt i E = 3 r + s — (4 r + s) [Formel 2] . Wird nun i E mit
Sin ½ λ multiplizirt, so erhalten wir i n = (3 r + s) Sin ½ λ = (3 r + s) [Formel 3] . Auf gleiche
Art ist n E = i E . Cos ½ λ = (3 r + s) [Formel 4] .
Zieht man n E von a E ab, so bleibt a n = (3 r + s) [Formel 5] . Mit diesen
Werthen findet man den Krümmungshalbmesser der Abrundung
R = [Formel 6] . Wird dieser Krümmungshalbmesser mit dem
vorigen [Formel 7] r verglichen, so sehen wir, dass der letztere nur um die Grösse [Formel 8] s grösser
ist, übrigens aber die Bemerkung, dass der Halbmesser der Krümmung von der
Anzahl der Triebstöcke nicht abhängt, wieder ihre Richtigkeit hat. Die nöthige
Höhe des Zahnes ist i n = (3 r + s) [Formel 9] und weil
die Anzahl der Triebstöcke N durch die Gleichung 4 r . N = [Formel 10] · 2 b bestimmt wird, so ist
b = [Formel 11] · r . N, demnach haben wir für die Höhe, bei welcher der Zahn den Trieb ver-
lässt, in = [Formel 12] . Die Gleichungen 4 r + s = b . λ
und b = [Formel 13] r . N geben [Formel 14] . Wird dieser Werth
in die Gleichung r — a n = [Formel 15] substituirt, so erhalten wir die obere
halbe Breite des Zahnes = [Formel 16] und wenn wir s
kleiner als r annehmen, so ist dieselbe sehr nahe = [Formel 17] .

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[39/0075] Höhe der Zähne und ihre Breite am Kopfe. es aber sehr schwer und beinahe unmöglich ist, die Bearbeitung der Zähne und Ge- triebe so genau herzustellen, dass in dem Augenblick, wo ein Zahn auslässt, zugleich ein anderer eingreifen und die gleichförmige Bewegung des Rades ohne den gering- sten Stoss oder Stillstand fortsetzen möge, so wird die nöthige Sicherheit der gleichförmigen Bewegung nur dadurch zu erzielen seyn, wenn die Berührung des vorausgehenden Zahnes bei dem Eingriff des zweiten noch einige Zeit fortdauert. In dieser Hinsicht wollen wir annehmen, dass der vorausgehende Zahn, nach dem er den Raum 4 r beschrieben hat, noch den Raum s mit dem neueingreifenden Zahne gemeinschaftlich zurücklegen soll. In diesem Falle ist die Entfernung A E = 4 r + s = b . λ. Wird davon die Grösse A a abgezogen, so bleibt für die Entfernung, bei welcher der vorausgehende Zahn aus dem Eingriff tritt, a E = 3 r + s. Fig. 9. Tab. 72. Die Sehne J E ist, wie wir früher gezeigt haben = 2 b . Sin ½ λ = b . λ [FORMEL]. Wird hiervon der Halbmesser des Triebstockes r abgezogen, so bleibt i E = 3 r + s — (4 r + s) [FORMEL]. Wird nun i E mit Sin ½ λ multiplizirt, so erhalten wir i n = (3 r + s) Sin ½ λ = (3 r + s) [FORMEL]. Auf gleiche Art ist n E = i E . Cos ½ λ = (3 r + s) [FORMEL]. Zieht man n E von a E ab, so bleibt a n = (3 r + s) [FORMEL]. Mit diesen Werthen findet man den Krümmungshalbmesser der Abrundung R = [FORMEL]. Wird dieser Krümmungshalbmesser mit dem vorigen [FORMEL] r verglichen, so sehen wir, dass der letztere nur um die Grösse [FORMEL] s grösser ist, übrigens aber die Bemerkung, dass der Halbmesser der Krümmung von der Anzahl der Triebstöcke nicht abhängt, wieder ihre Richtigkeit hat. Die nöthige Höhe des Zahnes ist i n = (3 r + s) [FORMEL] und weil die Anzahl der Triebstöcke N durch die Gleichung 4 r . N = [FORMEL] · 2 b bestimmt wird, so ist b = [FORMEL] · r . N, demnach haben wir für die Höhe, bei welcher der Zahn den Trieb ver- lässt, in = [FORMEL]. Die Gleichungen 4 r + s = b . λ und b = [FORMEL] r . N geben [FORMEL]. Wird dieser Werth in die Gleichung r — a n = [FORMEL] substituirt, so erhalten wir die obere halbe Breite des Zahnes = [FORMEL] und wenn wir s kleiner als r annehmen, so ist dieselbe sehr nahe = [FORMEL].

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 39. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/75>, abgerufen am 19.04.2024.