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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Krümmungshalbmesser für die Epicykloide.
§. 33.

Wenn sich ein Trieb über einem gezähnten Rade bewegen soll,Fig.
3.
Tab.
73.

so können wir uns eben so wie vorhin bei der gezähnten geraden Stange zwei zunächst
auf einander folgende Triebstöcke denken, wovon der Mittelpunkt des einen die eben
angegebene Epicykloide beschreibt, und die parallelen Linien, welche zu beiden Seiten
auf der Entfernung des Halbmessers des Triebstockes beschrieben werden, den Raum
angeben, welchen der erste Triebstock zu seiner Bewegung nöthig hat. Wenn wir
den nächstfolgenden Triebstock denselben Raum rückwärts machen lassen, so gibt der,
zwischen den beiderseitigen Epicykloidallinien übrig gebliebene Raum a i i' e abermals
die Gestalt an, welche dem Zahne auf dem Rade gegeben werden muss, wenn der
Zahn mit dem Triebstocke immer fort in Berührung bleiben und die beiderseitige Be-
wegung nicht gehindert werden soll. Da es aber zu weitläufig seyn würde, für jeden
Fall diese Epicykloidallinien mit der nöthigen Genauigkeit zu beschreiben, so wollen
wir für den kleinen Theil der krummen Linie, in welcher jeder Triebstock mit seinem
Zahne in Berührung bleibt, abermals eine Kreislinie annehmen, sonach den Halbmesser
suchen, mit welchem die Abrundung der Zähne verzeichnet werden muss, wenn sowohl
der erste Punkt, bei welchem der Triebstock in Berührung tritt, als auch der letzte,
bei welchem er den Zahn verlässt, in derselben Epicykloidallinie liegen soll.

chungen für d x und d y substituirt, so ergibt sich
d x = (a + b) d m . 2 Sin 1/2 l . Cos (1/2 l + m) und d y = (a + b) d m . 2 Sin 1/2 l . Sin (1/2 l + m).Fig.
1.

Daraus folgt d s = [Formel 1] = (a + b) d m . 2 Sin 1/2 l . [Formel 2] =
(a + b) d m . 2 Sin 1/2 l. Demnach ist [Formel 3] = tang (1/2 l + m) = tang w, wenn nämlich der Winkel
e J F = w gesetzt wird; denn in diesem Dreiecke ist der Winkel J M D an der Peripherie
= 1/2 J D E = 1/2 l und da das Dreieck D J M gleichschenklich, folglich der Winkel
M J D = J M D = 1/2 l ist, so ist der Winkel F J e = F J D -- D J M = l + m -- 1/2 l = 1/2 l + m.
Es geht demnach die Verlängerung der Hypothenuse des Differenzialdreieckes, nämlich die Linie
J e durch den Punkt M. Nun ist aber der Winkel E J M im Halbkreise ein rechter, also die
Linie J L winkelrecht auf die Seite J e und es liegt daher der Mittelpunkt des Krüm-
mungshalbmessers in der Linie J L
.
Wenn wir auf gleiche Art aus dem Punkte e die Linie e L winkelrecht auf das folgende Ele-
ment ziehen, so ist der Winkel J L e = -- d (F J e) = d w. Nun haben wir aber in dem Drei-
ecke J L e die Proporzion d w : 1 = d s : R, demnach den Krümmungshalbmesser
R = [Formel 4] . Weil aber w = m + 1/2 l, also d w = d m + 1/2 d l und d l = [Formel 5] · d m, so ist
d w = d m + 1/2 · [Formel 6] · d m = d m [Formel 7] . Vorhin war d s = (a + b) d m . 2 Sin 1/2 l, also ist
[Formel 8] + 2 b · Sin 1/2 l.
Weil aber die Sehne J E = 2 b . Sin 1/2 l, und wenn wir den Bogen J E von M nach N auftragen
und N mit dem Mittelpunkte C verbinden, wie auch die Linie J E verlängern, bis sie der Linie
N C begegnet, so sind die Dreiecke M N C und E L C ähnlich, da J L parallel zu M N ist. Wir
haben demnach M C : M N = E C : E L oder a + 2 b : 2 b . Sin 1/2 l = a : E L, also ist
[Formel 9] , und sonach der Krümmungshalbmesser R = L E + E J = L J.
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Krümmungshalbmesser für die Epicykloide.
§. 33.

Wenn sich ein Trieb über einem gezähnten Rade bewegen soll,Fig.
3.
Tab.
73.

so können wir uns eben so wie vorhin bei der gezähnten geraden Stange zwei zunächst
auf einander folgende Triebstöcke denken, wovon der Mittelpunkt des einen die eben
angegebene Epicykloide beschreibt, und die parallelen Linien, welche zu beiden Seiten
auf der Entfernung des Halbmessers des Triebstockes beschrieben werden, den Raum
angeben, welchen der erste Triebstock zu seiner Bewegung nöthig hat. Wenn wir
den nächstfolgenden Triebstock denselben Raum rückwärts machen lassen, so gibt der,
zwischen den beiderseitigen Epicykloidallinien übrig gebliebene Raum a i i' e abermals
die Gestalt an, welche dem Zahne auf dem Rade gegeben werden muss, wenn der
Zahn mit dem Triebstocke immer fort in Berührung bleiben und die beiderseitige Be-
wegung nicht gehindert werden soll. Da es aber zu weitläufig seyn würde, für jeden
Fall diese Epicykloidallinien mit der nöthigen Genauigkeit zu beschreiben, so wollen
wir für den kleinen Theil der krummen Linie, in welcher jeder Triebstock mit seinem
Zahne in Berührung bleibt, abermals eine Kreislinie annehmen, sonach den Halbmesser
suchen, mit welchem die Abrundung der Zähne verzeichnet werden muss, wenn sowohl
der erste Punkt, bei welchem der Triebstock in Berührung tritt, als auch der letzte,
bei welchem er den Zahn verlässt, in derselben Epicykloidallinie liegen soll.

chungen für d x und d y substituirt, so ergibt sich
d x = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ . Cos (½ λ + μ) und d y = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ . Sin (½ λ + μ).Fig.
1.

Daraus folgt d s = [Formel 1] = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ . [Formel 2] =
(a + b) d μ . 2 Sin ½ λ. Demnach ist [Formel 3] = tang (½ λ + μ) = tang w, wenn nämlich der Winkel
e J F = w gesetzt wird; denn in diesem Dreiecke ist der Winkel J M D an der Peripherie
= ½ J D E = ½ λ und da das Dreieck D J M gleichschenklich, folglich der Winkel
M J D = J M D = ½ λ ist, so ist der Winkel F J e = F J D — D J M = λ + μ — ½ λ = ½ λ + μ.
Es geht demnach die Verlängerung der Hypothenuse des Differenzialdreieckes, nämlich die Linie
J e durch den Punkt M. Nun ist aber der Winkel E J M im Halbkreise ein rechter, also die
Linie J L winkelrecht auf die Seite J e und es liegt daher der Mittelpunkt des Krüm-
mungshalbmessers in der Linie J L
.
Wenn wir auf gleiche Art aus dem Punkte e die Linie e L winkelrecht auf das folgende Ele-
ment ziehen, so ist der Winkel J L e = — d (F J e) = d w. Nun haben wir aber in dem Drei-
ecke J L e die Proporzion d w : 1 = d s : R, demnach den Krümmungshalbmesser
R = [Formel 4] . Weil aber w = μ + ½ λ, also d w = d μ + ½ d λ und d λ = [Formel 5] · d μ, so ist
d w = d μ + ½ · [Formel 6] · d μ = d μ [Formel 7] . Vorhin war d s = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ, also ist
[Formel 8] + 2 b · Sin ½ λ.
Weil aber die Sehne J E = 2 b . Sin ½ λ, und wenn wir den Bogen J E von M nach N auftragen
und N mit dem Mittelpunkte C verbinden, wie auch die Linie J E verlängern, bis sie der Linie
N C begegnet, so sind die Dreiecke M N C und E L C ähnlich, da J L parallel zu M N ist. Wir
haben demnach M C : M N = E C : E L oder a + 2 b : 2 b . Sin ½ λ = a : E L, also ist
[Formel 9] , und sonach der Krümmungshalbmesser R = L E + E J = L J.
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[43/0079] Krümmungshalbmesser für die Epicykloide. §. 33. Wenn sich ein Trieb über einem gezähnten Rade bewegen soll, so können wir uns eben so wie vorhin bei der gezähnten geraden Stange zwei zunächst auf einander folgende Triebstöcke denken, wovon der Mittelpunkt des einen die eben angegebene Epicykloide beschreibt, und die parallelen Linien, welche zu beiden Seiten auf der Entfernung des Halbmessers des Triebstockes beschrieben werden, den Raum angeben, welchen der erste Triebstock zu seiner Bewegung nöthig hat. Wenn wir den nächstfolgenden Triebstock denselben Raum rückwärts machen lassen, so gibt der, zwischen den beiderseitigen Epicykloidallinien übrig gebliebene Raum a i i' e abermals die Gestalt an, welche dem Zahne auf dem Rade gegeben werden muss, wenn der Zahn mit dem Triebstocke immer fort in Berührung bleiben und die beiderseitige Be- wegung nicht gehindert werden soll. Da es aber zu weitläufig seyn würde, für jeden Fall diese Epicykloidallinien mit der nöthigen Genauigkeit zu beschreiben, so wollen wir für den kleinen Theil der krummen Linie, in welcher jeder Triebstock mit seinem Zahne in Berührung bleibt, abermals eine Kreislinie annehmen, sonach den Halbmesser suchen, mit welchem die Abrundung der Zähne verzeichnet werden muss, wenn sowohl der erste Punkt, bei welchem der Triebstock in Berührung tritt, als auch der letzte, bei welchem er den Zahn verlässt, in derselben Epicykloidallinie liegen soll. Fig. 3. Tab. 73. *) *) chungen für d x und d y substituirt, so ergibt sich d x = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ . Cos (½ λ + μ) und d y = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ . Sin (½ λ + μ). Daraus folgt d s = [FORMEL] = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ . [FORMEL] = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ. Demnach ist [FORMEL] = tang (½ λ + μ) = tang w, wenn nämlich der Winkel e J F = w gesetzt wird; denn in diesem Dreiecke ist der Winkel J M D an der Peripherie = ½ J D E = ½ λ und da das Dreieck D J M gleichschenklich, folglich der Winkel M J D = J M D = ½ λ ist, so ist der Winkel F J e = F J D — D J M = λ + μ — ½ λ = ½ λ + μ. Es geht demnach die Verlängerung der Hypothenuse des Differenzialdreieckes, nämlich die Linie J e durch den Punkt M. Nun ist aber der Winkel E J M im Halbkreise ein rechter, also die Linie J L winkelrecht auf die Seite J e und es liegt daher der Mittelpunkt des Krüm- mungshalbmessers in der Linie J L. Wenn wir auf gleiche Art aus dem Punkte e die Linie e L winkelrecht auf das folgende Ele- ment ziehen, so ist der Winkel J L e = — d (F J e) = d w. Nun haben wir aber in dem Drei- ecke J L e die Proporzion d w : 1 = d s : R, demnach den Krümmungshalbmesser R = [FORMEL]. Weil aber w = μ + ½ λ, also d w = d μ + ½ d λ und d λ = [FORMEL] · d μ, so ist d w = d μ + ½ · [FORMEL] · d μ = d μ [FORMEL]. Vorhin war d s = (a + b) d μ . 2 Sin ½ λ, also ist [FORMEL] + 2 b · Sin ½ λ. Weil aber die Sehne J E = 2 b . Sin ½ λ, und wenn wir den Bogen J E von M nach N auftragen und N mit dem Mittelpunkte C verbinden, wie auch die Linie J E verlängern, bis sie der Linie N C begegnet, so sind die Dreiecke M N C und E L C ähnlich, da J L parallel zu M N ist. Wir haben demnach M C : M N = E C : E L oder a + 2 b : 2 b . Sin ½ λ = a : E L, also ist [FORMEL], und sonach der Krümmungshalbmesser R = L E + E J = L J. 6*

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 43. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/79>, abgerufen am 17.07.2019.