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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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D. Hilbert,
hinausläuft, wo die Summe über alle Ideale j des gegebenen Zahl-
körpers k zu erstrecken ist und n(j) die Norm des Ideals j be-
deutet.


Ich nenne noch drei speciellere Probleme aus der Zahlen-
theorie, nämlich eines über die Reciprocitätsgesetze, eines über
diophantische Gleichungen und ein drittes aus dem Gebiete der
quadratischen Formen.

9. Beweis des allgemeinsten Reciprocitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper.

Für einen beliebigen Zahlkörper soll das Reciprocitätsgesetz der
l ten Potenzreste bewiesen werden
, wenn l eine ungerade Primzahl
bedeutet und ferner, wenn l eine Potenz von 2 oder eine Potenz
einer ungeraden Primzahl ist. Die Aufstellung des Gesetzes, so-
wie die wesentlichen Hülfsmittel zum Beweise desselben werden
sich, wie ich glaube, ergeben, wenn man die von mir entwickelte
Theorie des Körpers der l ten Einheitswurzeln 1) und meine Theorie 2)
des relativ - quadratischen Körpers in gehöriger Weise verallge-
meinert.

10. Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung.

Eine Diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbe-
kannten und mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sei vorge-
legt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst
einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden läßt, ob die Glei-
chung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist
.

11. Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlencoefficienten.

Unsere jetzige Kenntnis der Theorie der quadratischen Zahl-
körper 3) setzt uns in den Stand, die Theorie der quadratischen

1) Bericht der Deutschen Mathematiker - Vereinigung über die Theorie der
algebraischen Zahlkörper, Bd. IV, 1897. Fünfter Teil.
2) Mathematische Annalen, Bd. 51 und Nachrichten der K. Ges. d. Wiss.
zu Göttingen 1898.
3) Hilbert, Ueber den Dirichletschen biquadratischen Zahlenkörper, Mathe-
matische Annalen, Bd. 45; Ueber die Theorie der relativquadratischen Zahl-
körper, Berichte der Deutschen Mathematiker - Vereinigung 1897 und Mathema-
tische Annalen. Bd. 51; Ueber die Theorie der relativ-Abelschen Körper, Nach-
richten d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898; Grundlagen der Geometrie, Fest-
schrift zur Enthüllung des Gauss - Weber - Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899,
Kapitel VIII § 83.

D. Hilbert,
hinausläuft, wo die Summe über alle Ideale j des gegebenen Zahl-
körpers k zu erstrecken ist und n(j) die Norm des Ideals j be-
deutet.


Ich nenne noch drei speciellere Probleme aus der Zahlen-
theorie, nämlich eines über die Reciprocitätsgesetze, eines über
diophantische Gleichungen und ein drittes aus dem Gebiete der
quadratischen Formen.

9. Beweis des allgemeinsten Reciprocitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper.

Für einen beliebigen Zahlkörper soll das Reciprocitätsgesetz der
l ten Potenzreste bewiesen werden
, wenn l eine ungerade Primzahl
bedeutet und ferner, wenn l eine Potenz von 2 oder eine Potenz
einer ungeraden Primzahl ist. Die Aufstellung des Gesetzes, so-
wie die wesentlichen Hülfsmittel zum Beweise desselben werden
sich, wie ich glaube, ergeben, wenn man die von mir entwickelte
Theorie des Körpers der l ten Einheitswurzeln 1) und meine Theorie 2)
des relativ - quadratischen Körpers in gehöriger Weise verallge-
meinert.

10. Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung.

Eine Diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbe-
kannten und mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sei vorge-
legt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst
einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden läßt, ob die Glei-
chung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist
.

11. Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlencoefficienten.

Unsere jetzige Kenntnis der Theorie der quadratischen Zahl-
körper 3) setzt uns in den Stand, die Theorie der quadratischen

1) Bericht der Deutschen Mathematiker - Vereinigung über die Theorie der
algebraischen Zahlkörper, Bd. IV, 1897. Fünfter Teil.
2) Mathematische Annalen, Bd. 51 und Nachrichten der K. Ges. d. Wiss.
zu Göttingen 1898.
3) Hilbert, Ueber den Dirichletschen biquadratischen Zahlenkörper, Mathe-
matische Annalen, Bd. 45; Ueber die Theorie der relativquadratischen Zahl-
körper, Berichte der Deutschen Mathematiker - Vereinigung 1897 und Mathema-
tische Annalen. Bd. 51; Ueber die Theorie der relativ-Abelschen Körper, Nach-
richten d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898; Grundlagen der Geometrie, Fest-
schrift zur Enthüllung des Gauss - Weber - Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899,
Kapitel VIII § 83.
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[276/0032] D. Hilbert, hinausläuft, wo die Summe über alle Ideale j des gegebenen Zahl- körpers k zu erstrecken ist und n(j) die Norm des Ideals j be- deutet. Ich nenne noch drei speciellere Probleme aus der Zahlen- theorie, nämlich eines über die Reciprocitätsgesetze, eines über diophantische Gleichungen und ein drittes aus dem Gebiete der quadratischen Formen. 9. Beweis des allgemeinsten Reciprocitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper. Für einen beliebigen Zahlkörper soll das Reciprocitätsgesetz der l ten Potenzreste bewiesen werden, wenn l eine ungerade Primzahl bedeutet und ferner, wenn l eine Potenz von 2 oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl ist. Die Aufstellung des Gesetzes, so- wie die wesentlichen Hülfsmittel zum Beweise desselben werden sich, wie ich glaube, ergeben, wenn man die von mir entwickelte Theorie des Körpers der l ten Einheitswurzeln 1) und meine Theorie 2) des relativ - quadratischen Körpers in gehöriger Weise verallge- meinert. 10. Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung. Eine Diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbe- kannten und mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sei vorge- legt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden läßt, ob die Glei- chung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist. 11. Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlencoefficienten. Unsere jetzige Kenntnis der Theorie der quadratischen Zahl- körper 3) setzt uns in den Stand, die Theorie der quadratischen 1) Bericht der Deutschen Mathematiker - Vereinigung über die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Bd. IV, 1897. Fünfter Teil. 2) Mathematische Annalen, Bd. 51 und Nachrichten der K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898. 3) Hilbert, Ueber den Dirichletschen biquadratischen Zahlenkörper, Mathe- matische Annalen, Bd. 45; Ueber die Theorie der relativquadratischen Zahl- körper, Berichte der Deutschen Mathematiker - Vereinigung 1897 und Mathema- tische Annalen. Bd. 51; Ueber die Theorie der relativ-Abelschen Körper, Nach- richten d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898; Grundlagen der Geometrie, Fest- schrift zur Enthüllung des Gauss - Weber - Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899, Kapitel VIII § 83.

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 276. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/32>, abgerufen am 26.05.2019.