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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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D. Hilbert,
die nach Ausführung der Substitution (S) ganz in x1, ... xn wird,
möchte ich eine relativganze Function von X1, ..., Xm nen-
nen. Jede ganze Function von X1, ..., Xm ist offenbar auch re-
lativganz; ferner ist die Summe, die Differenz und das Product
relativganzer Functionen stets wiederum relativganz.

Das entstehende Problem ist nun zu entscheiden, ob es stets
möglich ist, ein endliches System von relativganzen Functionen von
X1, ..., Xm aufzufinden, durch die sich jede andere relativganze Function
von X1, ..., Xm in ganzer rationaler Weise zusammensetzen läßt. Wir
können das Problem noch einfacher formuliren, wenn wir den Be-
griff des endlichen Integritätsbereiches einführen.
Unter einem endlichen Integritätsbereiche möchte ich ein solches
System von Functionen verstehen, aus welchem sich eine endliche
Anzahl von Functionen auswählen läßt, mit deren Hülfe alle übri-
gen Functionen des Systems in ganzer rationaler Weise ausdrück-
bar sind. Unser Problem läuft dann darauf hinaus, zu zeigen,
daß die sämtlichen relativganzen Functionen eines beliebigen
Rationalitätsbereiches stets einen endlichen Integritätsbereich
bilden.

Es liegt auch nahe, das Problem zahlentheoretisch zu verfeinern,
indem man die Coefficienten der gegebenen Functionen f1, ..., fm
als ganze rationale Zahlen annimmt und unter den relativganzen
Functionen von X1, ..., Xm nur solche rationalen Functionen
dieser Argumente versteht, die nach Ausführung jener Substitu-
tion (S) ganze rationale Functionen von x1, ..., xn mit ganzen
rationalen Coefficienten werden.

Ein besonderer einfacher Fall dieses verfeinerten Problems
ist der folgende: Gegeben seien m ganze rationale Functionen
X1, ..., Xm der einen Veränderlichen x mit ganzen rationalen
Coefficienten und ferner eine Primzahl p. Man betrachte das Sy-
stem derjenigen ganzen rationalen Functionen von x, welche sich
in der Gestalt
[Formel 1] darstellen lassen, wo G eine ganze rationale Function der Argu-
mente X1, ..., Xm und ph irgend eine Potenz der Primzahl p ist.
Frühere Untersuchungen von mir 1) zeigen dann unmittelbar, daß
alle solchen Ausdrücke bei bestimmtem Exponenten h einen end-
lichen Integritätsbereich bilden; die Frage ist aber hier, ob das
Gleiche auch für alle Exponenten h zugleich gilt, d. h. ob sich eine

1) Mathematische Annalen, Bd. 36 S. 485.

D. Hilbert,
die nach Ausführung der Substitution (S) ganz in x1, … xn wird,
möchte ich eine relativganze Function von X1, …, Xm nen-
nen. Jede ganze Function von X1, …, Xm ist offenbar auch re-
lativganz; ferner ist die Summe, die Differenz und das Product
relativganzer Functionen stets wiederum relativganz.

Das entstehende Problem ist nun zu entscheiden, ob es stets
möglich ist, ein endliches System von relativganzen Functionen von
X1, …, Xm aufzufinden, durch die sich jede andere relativganze Function
von X1, …, Xm in ganzer rationaler Weise zusammensetzen läßt. Wir
können das Problem noch einfacher formuliren, wenn wir den Be-
griff des endlichen Integritätsbereiches einführen.
Unter einem endlichen Integritätsbereiche möchte ich ein solches
System von Functionen verstehen, aus welchem sich eine endliche
Anzahl von Functionen auswählen läßt, mit deren Hülfe alle übri-
gen Functionen des Systems in ganzer rationaler Weise ausdrück-
bar sind. Unser Problem läuft dann darauf hinaus, zu zeigen,
daß die sämtlichen relativganzen Functionen eines beliebigen
Rationalitätsbereiches stets einen endlichen Integritätsbereich
bilden.

Es liegt auch nahe, das Problem zahlentheoretisch zu verfeinern,
indem man die Coefficienten der gegebenen Functionen f1, …, fm
als ganze rationale Zahlen annimmt und unter den relativganzen
Functionen von X1, …, Xm nur solche rationalen Functionen
dieser Argumente versteht, die nach Ausführung jener Substitu-
tion (S) ganze rationale Functionen von x1, …, xn mit ganzen
rationalen Coefficienten werden.

Ein besonderer einfacher Fall dieses verfeinerten Problems
ist der folgende: Gegeben seien m ganze rationale Functionen
X1, …, Xm der einen Veränderlichen x mit ganzen rationalen
Coefficienten und ferner eine Primzahl p. Man betrachte das Sy-
stem derjenigen ganzen rationalen Functionen von x, welche sich
in der Gestalt
[Formel 1] darstellen lassen, wo G eine ganze rationale Function der Argu-
mente X1, …, Xm und ph irgend eine Potenz der Primzahl p ist.
Frühere Untersuchungen von mir 1) zeigen dann unmittelbar, daß
alle solchen Ausdrücke bei bestimmtem Exponenten h einen end-
lichen Integritätsbereich bilden; die Frage ist aber hier, ob das
Gleiche auch für alle Exponenten h zugleich gilt, d. h. ob sich eine

1) Mathematische Annalen, Bd. 36 S. 485.
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[282/0038] D. Hilbert, die nach Ausführung der Substitution (S) ganz in x1, … xn wird, möchte ich eine relativganze Function von X1, …, Xm nen- nen. Jede ganze Function von X1, …, Xm ist offenbar auch re- lativganz; ferner ist die Summe, die Differenz und das Product relativganzer Functionen stets wiederum relativganz. Das entstehende Problem ist nun zu entscheiden, ob es stets möglich ist, ein endliches System von relativganzen Functionen von X1, …, Xm aufzufinden, durch die sich jede andere relativganze Function von X1, …, Xm in ganzer rationaler Weise zusammensetzen läßt. Wir können das Problem noch einfacher formuliren, wenn wir den Be- griff des endlichen Integritätsbereiches einführen. Unter einem endlichen Integritätsbereiche möchte ich ein solches System von Functionen verstehen, aus welchem sich eine endliche Anzahl von Functionen auswählen läßt, mit deren Hülfe alle übri- gen Functionen des Systems in ganzer rationaler Weise ausdrück- bar sind. Unser Problem läuft dann darauf hinaus, zu zeigen, daß die sämtlichen relativganzen Functionen eines beliebigen Rationalitätsbereiches stets einen endlichen Integritätsbereich bilden. Es liegt auch nahe, das Problem zahlentheoretisch zu verfeinern, indem man die Coefficienten der gegebenen Functionen f1, …, fm als ganze rationale Zahlen annimmt und unter den relativganzen Functionen von X1, …, Xm nur solche rationalen Functionen dieser Argumente versteht, die nach Ausführung jener Substitu- tion (S) ganze rationale Functionen von x1, …, xn mit ganzen rationalen Coefficienten werden. Ein besonderer einfacher Fall dieses verfeinerten Problems ist der folgende: Gegeben seien m ganze rationale Functionen X1, …, Xm der einen Veränderlichen x mit ganzen rationalen Coefficienten und ferner eine Primzahl p. Man betrachte das Sy- stem derjenigen ganzen rationalen Functionen von x, welche sich in der Gestalt [FORMEL] darstellen lassen, wo G eine ganze rationale Function der Argu- mente X1, …, Xm und ph irgend eine Potenz der Primzahl p ist. Frühere Untersuchungen von mir 1) zeigen dann unmittelbar, daß alle solchen Ausdrücke bei bestimmtem Exponenten h einen end- lichen Integritätsbereich bilden; die Frage ist aber hier, ob das Gleiche auch für alle Exponenten h zugleich gilt, d. h. ob sich eine 1) Mathematische Annalen, Bd. 36 S. 485.

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 282. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/38>, abgerufen am 19.04.2024.