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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner oder ein
specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung eines Com-
plexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten Bogen-
element's geknüpft. Unabhängig davon sind die Fortschreit-
ungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene
schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem
Winkel reden, den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit
einander bilden 1).

VII. Zur Interpretation der binären Formen.

Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden,
welche, unter Zugrundelegung der Interpretation von x+iy
auf der Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und
der biquadratischen binären Form ertheilt werden kann.

Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante
Q, eine quadratische , und eine Invariante R 2). Aus f und
Q setzt sich eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades
[Formel 1] zusammen, unter denen auch 3 enthalten ist. Man kann
zeigen 3), dass jede Covariante der cubischen Form in solche
Gruppen von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern l complexe
Werthe annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben.

Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel
nun folgendermassen repräsentirt werden. Durch geeignete
lineare Transformation der Kugel in sich selbst bringe man
die drei Puncte, welche f repräsentiren, in drei äquidistante
Puncte eines grössten Kreises. Derselbe mag als Aequator be-
zeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte f die geogra-
phische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch die Puncte
des Aequator's mit der Länge 60°, 180°, 300°, durch die
beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q2+lRf2 ist durch 6 Puncte
repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter a
und b beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema
enthalten ist:
[Formel 2]

1) Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geo-
metrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.
2) Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der
binären Formen.
3) Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich
selbst. vergl. Math. Ann. IV. p. 352.

Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner oder ein
specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung eines Com-
plexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten Bogen-
element’s geknüpft. Unabhängig davon sind die Fortschreit-
ungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene
schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem
Winkel reden, den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit
einander bilden 1).

VII. Zur Interpretation der binären Formen.

Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden,
welche, unter Zugrundelegung der Interpretation von x+iy
auf der Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und
der biquadratischen binären Form ertheilt werden kann.

Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante
Q, eine quadratische ∆, und eine Invariante R 2). Aus f und
Q setzt sich eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades
[Formel 1] zusammen, unter denen auch ∆3 enthalten ist. Man kann
zeigen 3), dass jede Covariante der cubischen Form in solche
Gruppen von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe
Werthe annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben.

Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel
nun folgendermassen repräsentirt werden. Durch geeignete
lineare Transformation der Kugel in sich selbst bringe man
die drei Puncte, welche f repräsentiren, in drei äquidistante
Puncte eines grössten Kreises. Derselbe mag als Aequator be-
zeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte f die geogra-
phische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch die Puncte
des Aequator’s mit der Länge 60°, 180°, 300°, ∆ durch die
beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q2+λRf2 ist durch 6 Puncte
repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α
und β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema
enthalten ist:
[Formel 2]

1) Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geo-
metrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.
2) Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der
binären Formen.
3) Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich
selbst. vergl. Math. Ann. IV. p. 352.
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[47/0055] Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner oder ein specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung eines Com- plexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten Bogen- element’s geknüpft. Unabhängig davon sind die Fortschreit- ungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem Winkel reden, den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit einander bilden 1). VII. Zur Interpretation der binären Formen. Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, unter Zugrundelegung der Interpretation von x+iy auf der Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und der biquadratischen binären Form ertheilt werden kann. Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Q, eine quadratische ∆, und eine Invariante R 2). Aus f und Q setzt sich eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades [FORMEL] zusammen, unter denen auch ∆3 enthalten ist. Man kann zeigen 3), dass jede Covariante der cubischen Form in solche Gruppen von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe Werthe annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben. Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel nun folgendermassen repräsentirt werden. Durch geeignete lineare Transformation der Kugel in sich selbst bringe man die drei Puncte, welche f repräsentiren, in drei äquidistante Puncte eines grössten Kreises. Derselbe mag als Aequator be- zeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte f die geogra- phische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch die Puncte des Aequator’s mit der Länge 60°, 180°, 300°, ∆ durch die beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q2+λRf2 ist durch 6 Puncte repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α und β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema enthalten ist: [FORMEL] 1) Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geo- metrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271. 2) Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der binären Formen. 3) Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich selbst. vergl. Math. Ann. IV. p. 352.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 47. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/55>, abgerufen am 20.04.2024.