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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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hervorheben. Sind diese Methoden auch lange nicht in
dem Masse, wie die projectivische Geometrie, zu selb-
ständigen Disciplinen entwickelt, so treten sie doch deut-
lich erkennbar in den neueren Untersuchungen auf.

1. Die Gruppe der rationalen Umformungen.

Bei rationalen Umformungen muss wohl unterschieden
werden, ob dieselben für alle Puncte des Gebietes, in
welchem man operirt, also des Raumes oder der Ebene etc.,
rational sind, oder nur für die Puncte einer in dem Gebiete
enthaltenen Mannigfaltigkeit, einer Fläche, einer Curve.
Nur die ersteren sind zu verwenden, wenn es gilt, im bis-
herigen Sinne eine Geometrie des Raumes, der Ebene zu
entwerfen; die letzteren gewinnen von dem hier gegebenen
Standpuncte aus erst Bedeutung, wenn Geometrie auf einer
gegebenen Fläche, Curve studirt werden soll. Dieselbe
Unterscheidung gilt bei der sogleich anzuführenden Ana-
lysis situs.

Die seitherigen Untersuchungen, hier wie dort, haben
sich aber wesentlich mit Transformationen der zweiten Art
beschäftigt. Insofern dabei nicht die Frage nach der Geo-
metrie auf der Fläche, der Curve war, es sich vielmehr
darum handelte, Criterien zu finden, damit zwei Flächen,
Curven in einander transformirt werden können, treten
diese Untersuchungen aus dem Kreise der hier zu betrach-
tenden heraus. Der hier aufgestellte allgemeine Schema-
tismus umspannt eben nicht die Gesammtheit mathemati-
scher Forschung überhaupt, sondern er bringt nur gewisse
Richtungen unter einen gemeinsamen Gesichtspunct.

Für eine Geometrie der rationalen Umformungen, wie
sie sich unter Zugrundelegung der Transformationen der
ersten Art ergeben muss, sind bis jetzt erst die Anfänge
vorhanden. Im Gebiete erster Stufe, auf der geraden
Linie, sind die rationalen Umformungen mit den linearen
identisch und liefern also nichts Neues. In der Ebene
kennt man freilich die Gesammtheit der rationalen Umfor-
mungen (der Cremona'schen Transformationen), man

hervorheben. Sind diese Methoden auch lange nicht in
dem Masse, wie die projectivische Geometrie, zu selb-
ständigen Disciplinen entwickelt, so treten sie doch deut-
lich erkennbar in den neueren Untersuchungen auf.

1. Die Gruppe der rationalen Umformungen.

Bei rationalen Umformungen muss wohl unterschieden
werden, ob dieselben für alle Puncte des Gebietes, in
welchem man operirt, also des Raumes oder der Ebene etc.,
rational sind, oder nur für die Puncte einer in dem Gebiete
enthaltenen Mannigfaltigkeit, einer Fläche, einer Curve.
Nur die ersteren sind zu verwenden, wenn es gilt, im bis-
herigen Sinne eine Geometrie des Raumes, der Ebene zu
entwerfen; die letzteren gewinnen von dem hier gegebenen
Standpuncte aus erst Bedeutung, wenn Geometrie auf einer
gegebenen Fläche, Curve studirt werden soll. Dieselbe
Unterscheidung gilt bei der sogleich anzuführenden Ana-
lysis situs.

Die seitherigen Untersuchungen, hier wie dort, haben
sich aber wesentlich mit Transformationen der zweiten Art
beschäftigt. Insofern dabei nicht die Frage nach der Geo-
metrie auf der Fläche, der Curve war, es sich vielmehr
darum handelte, Criterien zu finden, damit zwei Flächen,
Curven in einander transformirt werden können, treten
diese Untersuchungen aus dem Kreise der hier zu betrach-
tenden heraus. Der hier aufgestellte allgemeine Schema-
tismus umspannt eben nicht die Gesammtheit mathemati-
scher Forschung überhaupt, sondern er bringt nur gewisse
Richtungen unter einen gemeinsamen Gesichtspunct.

Für eine Geometrie der rationalen Umformungen, wie
sie sich unter Zugrundelegung der Transformationen der
ersten Art ergeben muss, sind bis jetzt erst die Anfänge
vorhanden. Im Gebiete erster Stufe, auf der geraden
Linie, sind die rationalen Umformungen mit den linearen
identisch und liefern also nichts Neues. In der Ebene
kennt man freilich die Gesammtheit der rationalen Umfor-
mungen (der Cremona’schen Transformationen), man

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[29/0037] hervorheben. Sind diese Methoden auch lange nicht in dem Masse, wie die projectivische Geometrie, zu selb- ständigen Disciplinen entwickelt, so treten sie doch deut- lich erkennbar in den neueren Untersuchungen auf. 1. Die Gruppe der rationalen Umformungen. Bei rationalen Umformungen muss wohl unterschieden werden, ob dieselben für alle Puncte des Gebietes, in welchem man operirt, also des Raumes oder der Ebene etc., rational sind, oder nur für die Puncte einer in dem Gebiete enthaltenen Mannigfaltigkeit, einer Fläche, einer Curve. Nur die ersteren sind zu verwenden, wenn es gilt, im bis- herigen Sinne eine Geometrie des Raumes, der Ebene zu entwerfen; die letzteren gewinnen von dem hier gegebenen Standpuncte aus erst Bedeutung, wenn Geometrie auf einer gegebenen Fläche, Curve studirt werden soll. Dieselbe Unterscheidung gilt bei der sogleich anzuführenden Ana- lysis situs. Die seitherigen Untersuchungen, hier wie dort, haben sich aber wesentlich mit Transformationen der zweiten Art beschäftigt. Insofern dabei nicht die Frage nach der Geo- metrie auf der Fläche, der Curve war, es sich vielmehr darum handelte, Criterien zu finden, damit zwei Flächen, Curven in einander transformirt werden können, treten diese Untersuchungen aus dem Kreise der hier zu betrach- tenden heraus. Der hier aufgestellte allgemeine Schema- tismus umspannt eben nicht die Gesammtheit mathemati- scher Forschung überhaupt, sondern er bringt nur gewisse Richtungen unter einen gemeinsamen Gesichtspunct. Für eine Geometrie der rationalen Umformungen, wie sie sich unter Zugrundelegung der Transformationen der ersten Art ergeben muss, sind bis jetzt erst die Anfänge vorhanden. Im Gebiete erster Stufe, auf der geraden Linie, sind die rationalen Umformungen mit den linearen identisch und liefern also nichts Neues. In der Ebene kennt man freilich die Gesammtheit der rationalen Umfor- mungen (der Cremona’schen Transformationen), man

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 29. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/37>, abgerufen am 22.08.2019.