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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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folgt, dass dieses kein anderes ist, als das dort betrachtete , das gewöhnlich sogenannte Integral erster Gattung. Die zugehörigen Niveaucurven und Strömungscurven sind dieselben, welche in Figur (21) und (22) dargestellt sind. Aber auch diejenigen Functionen, denen die Figuren (29) und (30), bez. (31) und (32) entsprechen, sind in der gewöhnlichen Analysis wohlbekannt. Wir haben das einemal eine Function mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspuncten, das andere Mal eine solche mit nur einem algebraischen Unstetigkeitspuncte. Als Functionen von z betrachtet geben dieselben solche elliptische Integrale ab, welche man als Integrale dritter Gattung bez. zweiter Gattung zu bezeichnen pflegt.

§. 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen.

Mit den Entwickelungen des vorigen Paragraphen ist der Zielpunct, den wir uns mit der allgemeinen Fragestellung des §. 7 gesteckt haben, thatsächlich erreicht. Wir haben auf beliebiger Fläche die allgemeinsten für uns in Betracht kommenden complexen Functionen des Ortes bestimmt und nun die analytischen Abhängigkeiten derselben von einander definirt, indem wir zusahen, wie alle von einer, übrigens beliebig gewählten, eindeutigen Function des Ortes im Sinne der gewöhnlichen Analysis abhängig sind. Es bleibt uns also, um unseren Gedankengang abzuschliessen, nur noch ein Umblick zu halten, was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen sein mag. Wir haben dann allerdings keineswegs den vollen Inhalt aber doch die Grundlage der Riemann'schen Theorie gewonnen, und es kann wegen weiterer Ausführungen auf Riemann's Originalarbeit sowie die sonstigen Darstellungen der Theorie verwiesen werden.

Constatiren wir zunächst, dass es in der That die Gesammtheit der algebraischen Functionen und ihrer Integrale ist, welche durch unsere Untersuchung umspannt wird. Denn wenn eine beliebige algebraische Gleichung gegeben ist, so können wir in der gewöhnlichen Weise über der z-Ebene eine zugehörige mehrblättrige Riemann'sche Fläche construiren und nun auf dieser einförmige Strömungen und complexe Functionen des Ortes studieren (vergl. §. 15).

Wir fragen, ob das Studium dieser Functionen durch

folgt, dass dieses kein anderes ist, als das dort betrachtete , das gewöhnlich sogenannte Integral erster Gattung. Die zugehörigen Niveaucurven und Strömungscurven sind dieselben, welche in Figur (21) und (22) dargestellt sind. Aber auch diejenigen Functionen, denen die Figuren (29) und (30), bez. (31) und (32) entsprechen, sind in der gewöhnlichen Analysis wohlbekannt. Wir haben das einemal eine Function mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspuncten, das andere Mal eine solche mit nur einem algebraischen Unstetigkeitspuncte. Als Functionen von z betrachtet geben dieselben solche elliptische Integrale ab, welche man als Integrale dritter Gattung bez. zweiter Gattung zu bezeichnen pflegt.

§. 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen.

Mit den Entwickelungen des vorigen Paragraphen ist der Zielpunct, den wir uns mit der allgemeinen Fragestellung des §. 7 gesteckt haben, thatsächlich erreicht. Wir haben auf beliebiger Fläche die allgemeinsten für uns in Betracht kommenden complexen Functionen des Ortes bestimmt und nun die analytischen Abhängigkeiten derselben von einander definirt, indem wir zusahen, wie alle von einer, übrigens beliebig gewählten, eindeutigen Function des Ortes im Sinne der gewöhnlichen Analysis abhängig sind. Es bleibt uns also, um unseren Gedankengang abzuschliessen, nur noch ein Umblick zu halten, was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen sein mag. Wir haben dann allerdings keineswegs den vollen Inhalt aber doch die Grundlage der Riemann'schen Theorie gewonnen, und es kann wegen weiterer Ausführungen auf Riemann's Originalarbeit sowie die sonstigen Darstellungen der Theorie verwiesen werden.

Constatiren wir zunächst, dass es in der That die Gesammtheit der algebraischen Functionen und ihrer Integrale ist, welche durch unsere Untersuchung umspannt wird. Denn wenn eine beliebige algebraische Gleichung gegeben ist, so können wir in der gewöhnlichen Weise über der z-Ebene eine zugehörige mehrblättrige Riemann'sche Fläche construiren und nun auf dieser einförmige Strömungen und complexe Functionen des Ortes studieren (vergl. §. 15).

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 die analytischen Abhängigkeiten derselben von einander definirt,
 indem wir zusahen, wie alle von einer, übrigens beliebig
 gewählten, eindeutigen Function des Ortes im Sinne
 der gewöhnlichen Analysis abhängig sind. Es bleibt uns also,
 um unseren Gedankengang abzuschliessen, nur noch ein Umblick
 zu halten, was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen
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[59/0067] folgt, dass dieses kein anderes ist, als das dort betrachtete [FORMEL], das gewöhnlich sogenannte Integral erster Gattung. Die zugehörigen Niveaucurven und Strömungscurven sind dieselben, welche in Figur (21) und (22) dargestellt sind. Aber auch diejenigen Functionen, denen die Figuren (29) und (30), bez. (31) und (32) entsprechen, sind in der gewöhnlichen Analysis wohlbekannt. Wir haben das einemal eine Function mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspuncten, das andere Mal eine solche mit nur einem algebraischen Unstetigkeitspuncte. Als Functionen von z betrachtet geben dieselben solche elliptische Integrale ab, welche man als Integrale dritter Gattung bez. zweiter Gattung zu bezeichnen pflegt. §. 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen. Mit den Entwickelungen des vorigen Paragraphen ist der Zielpunct, den wir uns mit der allgemeinen Fragestellung des §. 7 gesteckt haben, thatsächlich erreicht. Wir haben auf beliebiger Fläche die allgemeinsten für uns in Betracht kommenden complexen Functionen des Ortes bestimmt und nun die analytischen Abhängigkeiten derselben von einander definirt, indem wir zusahen, wie alle von einer, übrigens beliebig gewählten, eindeutigen Function des Ortes im Sinne der gewöhnlichen Analysis abhängig sind. Es bleibt uns also, um unseren Gedankengang abzuschliessen, nur noch ein Umblick zu halten, was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen sein mag. Wir haben dann allerdings keineswegs den vollen Inhalt aber doch die Grundlage der Riemann'schen Theorie gewonnen, und es kann wegen weiterer Ausführungen auf Riemann's Originalarbeit sowie die sonstigen Darstellungen der Theorie verwiesen werden. Constatiren wir zunächst, dass es in der That die Gesammtheit der algebraischen Functionen und ihrer Integrale ist, welche durch unsere Untersuchung umspannt wird. Denn wenn eine beliebige algebraische Gleichung [FORMEL] gegeben ist, so können wir in der gewöhnlichen Weise über der z-Ebene eine zugehörige mehrblättrige Riemann'sche Fläche construiren und nun auf dieser einförmige Strömungen und complexe Functionen des Ortes studieren (vergl. §. 15). Wir fragen, ob das Studium dieser Functionen durch

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 59. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/67>, abgerufen am 19.03.2024.