Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

Bild:
<< vorherige Seite

singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel:

welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung setzt. Hier ist eben auch eine Grösse zweiter Ordnung, und es findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.

§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes.

Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses z und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken. Aber es ist eine

Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem Charakter gibt die Ikosaedergleichwng (siehe Mathematische Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:

ist also (für z) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir z deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei für die Function w dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den Kreuzungspuncten bereits . Die 30 noch fehlenden werden durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken angehören, geliefert.

[Abbildung] Fig. 13.
Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.

singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel:

welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung setzt. Hier ist eben auch eine Grösse zweiter Ordnung, und es findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.

§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes.

Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses z und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken. Aber es ist eine

Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem Charakter gibt die Ikosaedergleichwng (siehe Mathematische Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:

ist also (für z) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir z deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei für die Function w dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den Kreuzungspuncten bereits . Die 30 noch fehlenden werden durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken angehören, geliefert.

[Abbildung] Fig. 13.
Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div>
          <p><pb facs="#f0028" n="20"/>
singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der
 Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie
 man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von
 der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär
 sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen
 kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden
 Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun
 der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 d\sigma = \frac{ds}{x^2 + y^2 + 1},
 \]
 </formula><lb/>
welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der
 Ebene in Beziehung setzt. Hier ist <formula notation="TeX">x^2 + y^2 + 1</formula> eben auch
 eine Grösse zweiter Ordnung, und es findet daher beim
 Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.</p>
        </div>
        <div>
          <head>§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes.</head><lb/>
          <p>Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen
 gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den
 §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale
 haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass
 alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses <hi rendition="#i">z</hi> und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es,
 sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen
 zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen
 Realisirbarkeit nachzudenken<note place="foot"><p>Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem
 Charakter gibt die <hi rendition="#i">Ikosaedergleichwng</hi> (siehe Mathematische
 Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 w = \frac{\left(-(z^{20} + 1) + 228(z^{15} - z^5) - 494z^{10}\right)^3}
          {1728z^5(z^{10} + 11z^5 - 1)^5}
 \]
 </formula><lb/>
ist also (für <hi rendition="#i">z</hi>) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte
 von <hi rendition="#i">w</hi> fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche
 die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir <hi rendition="#i">z</hi> deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders
 entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke.
 Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch <formula notation="TeX">w = o</formula> gegeben
 und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei
 für die Function <hi rendition="#i">w</hi> dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der
 Unendlichkeitspuncte) von den <formula notation="TeX">2 \cdot 60 - 2 = 118</formula> Kreuzungspuncten bereits
 <formula notation="TeX">4 \cdot 12 + 2 \cdot 20 = 88</formula>. Die 30 noch fehlenden werden durch die
 Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken
 angehören, geliefert.</p><figure rendition="#c" facs="http://media.dwds.de/dta/images/klein_riemann_1882/figures/image13.png"><head>Fig. 13.</head><lb/></figure><p>Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener
 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den
 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.</p></note>. Aber es ist eine
</p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[20/0028] singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel: [FORMEL] welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung setzt. Hier ist [FORMEL] eben auch eine Grösse zweiter Ordnung, und es findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt. §. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes. Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses z und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken . Aber es ist eine Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem Charakter gibt die Ikosaedergleichwng (siehe Mathematische Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss: [FORMEL] ist also (für z) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir z deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch [FORMEL] gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei für die Function w dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den [FORMEL] Kreuzungspuncten bereits [FORMEL]. Die 30 noch fehlenden werden durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken angehören, geliefert. [Abbildung Fig. 13. ] Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde im Rahmen des Moduls DTA-Erweiterungen (DTAE) digitalisiert. Weitere Informationen …

gutenberg.org: Bereitstellung der Texttranskription und Auszeichnung in HTML. (2012-11-06T13:54:31Z) Bitte beachten Sie, dass die aktuelle Transkription (und Textauszeichnung) mittlerweile nicht mehr dem Stand zum Zeitpunkt der Übernahme aus gutenberg.org entsprechen muss.
gutenberg.org: Bereitstellung der Bilddigitalisate (2012-11-06T13:54:31Z)
Frank Wiegand: Konvertierung von HTML nach XML/TEI gemäß DTA-Basisformat. (2012-11-06T13:54:31Z)

Weitere Informationen:

Anmerkungen zur Transkription:

  • Schreibweise und Interpunktion des Originaltextes wurden übernommen.
  • Der Zeilenfall wurde nicht beibehalten, die Silbentrennung wurde aufgehoben.



Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: http://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882
URL zu dieser Seite: http://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/28
Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 20. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/28>, abgerufen am 27.03.2019.