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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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gleich Null. Ueberdiess wird sie in den und nur in den , dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall endliche Function. Die gesuchte Function ist also in der Gestalt darstellbar:

womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben.

Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler Functionen entnahmen.

§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen.

Die Functionen , welche wir auf unseren Flächen studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den Querschnitten , deren reelle Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von in der That erschöpft ist. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen, den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die Differentialquotienten von u und v (oder, was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung denselben Zuwachs von u, wie von v. Nun fanden wir aber, dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der Querschnitte aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von denjenigen Periodicitätsmodul liefert, welcher der Ueberschreitung von entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise.

Es wird uns nun insbesondere interessiren, eindeutige

gleich Null. Ueberdiess wird sie in den und nur in den , dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall endliche Function. Die gesuchte Function ist also in der Gestalt darstellbar:

womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben.

Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler Functionen entnahmen.

§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen.

Die Functionen , welche wir auf unseren Flächen studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den Querschnitten , deren reelle Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von in der That erschöpft ist. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen, den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die Differentialquotienten von u und v (oder, was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung denselben Zuwachs von u, wie von v. Nun fanden wir aber, dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der Querschnitte aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von denjenigen Periodicitätsmodul liefert, welcher der Ueberschreitung von entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise.

Es wird uns nun insbesondere interessiren, eindeutige

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 den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten.
 Da die Differentialquotienten von <hi rendition="#i">u</hi> und <hi rendition="#i">v</hi> (oder,
 was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung)
 auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei
 aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen
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[43/0051] gleich Null. Ueberdiess wird sie in den [FORMEL] und nur in den [FORMEL], dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall endliche Function. Die gesuchte Function ist also in der Gestalt darstellbar: [FORMEL] womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben. Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler Functionen entnahmen. §. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen. Die Functionen [FORMEL], welche wir auf unseren Flächen studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den [FORMEL] Querschnitten [FORMEL], deren reelle Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von [FORMEL] in der That erschöpft ist. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen, den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die Differentialquotienten von u und v (oder, was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung denselben Zuwachs von u, wie von v. Nun fanden wir aber, dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der Querschnitte [FORMEL] aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von [FORMEL] denjenigen Periodicitätsmodul liefert, welcher der Ueberschreitung von [FORMEL] entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise. Es wird uns nun insbesondere interessiren, eindeutige

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 43. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/51>, abgerufen am 26.03.2019.