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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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complexe Function mit mehr als zwei incommensurabeln Periodicitätsmoduln an jeder Stelle jedem beliebigen Werthe unendlich nahe gebracht werden kann.

§. 14. Die gewöhnlichen Riemann'schen Flächen über der x + iy-Ebene.

Statt die Vertheilung der Functionswerthe auf der ursprünglichen Fläche zu betrachten, kann man ein sozusagen umgekehrtes Verfahren einschlagen. Man deute nämlich die Functionswerthe -- welche dementsprechend jetzt genannt werden sollen -- in gewöhnlicher Weise in der Ebene (oder auch auf der Kugel und studiere die conforme Abbildung, welche demzufolge (nach §. 5) von unserer ursprünglichen Fläche entworfen wird. Wir beschränken uns dabei wieder, der Einfachheit halber, auf den Fall der eindeutigen Functionen, trotzdem es besonderes Interesse hat, gerade auch die Abbildung durch mehrdeutige Functionen in Betracht zu ziehen.

Eine kurze Ueberlegung zeigt, dass wir so gerade zu der mehrblättrigen, mit Verzweigungsverzweigungspuncten versehenen, über der -Ebene ausgebreiteten Fläche geführt werden, welche man gewöhnlich als Riemann'sche Fläche schlechthin bezeichnet.

In der That, sei m die Zahl der (einfachen) Unendlichkeitspuncte, welche auf der ursprünglichen Fläche besitzt. Es nimmt dann , wie wir sahen, jeden Werth auf der gegebenen Fläche m-mal an. Daher überdeckt die conforme Abbildung unserer Fläche auf die -Ebene die letztere im Allgemeinen mit m Blättern. Eine Ausnahmestellung nehmen nur diejenigen Werthe von ein, für welche einige der m auf der ursprünglichen Fläche zugehörigen Stellen zusammenfallen, denen also Kreuzungspuncte entsprechen. Man ziehe zum Verständnisse noch einmal die Figur (1) heran. Es folgt aus derselben, dass man die Umgebung

Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von der Kugel, um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweise anzuschliessen.
Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel'schen Functionen über die Abbildung durch überall endliche Functionen sagt.

complexe Function mit mehr als zwei incommensurabeln Periodicitätsmoduln an jeder Stelle jedem beliebigen Werthe unendlich nahe gebracht werden kann.

§. 14. Die gewöhnlichen Riemann'schen Flächen über der x + iy-Ebene.

Statt die Vertheilung der Functionswerthe auf der ursprünglichen Fläche zu betrachten, kann man ein sozusagen umgekehrtes Verfahren einschlagen. Man deute nämlich die Functionswerthe — welche dementsprechend jetzt genannt werden sollen — in gewöhnlicher Weise in der Ebene (oder auch auf der Kugel und studiere die conforme Abbildung, welche demzufolge (nach §. 5) von unserer ursprünglichen Fläche entworfen wird. Wir beschränken uns dabei wieder, der Einfachheit halber, auf den Fall der eindeutigen Functionen, trotzdem es besonderes Interesse hat, gerade auch die Abbildung durch mehrdeutige Functionen in Betracht zu ziehen.

Eine kurze Ueberlegung zeigt, dass wir so gerade zu der mehrblättrigen, mit Verzweigungsverzweigungspuncten versehenen, über der -Ebene ausgebreiteten Fläche geführt werden, welche man gewöhnlich als Riemann'sche Fläche schlechthin bezeichnet.

In der That, sei m die Zahl der (einfachen) Unendlichkeitspuncte, welche auf der ursprünglichen Fläche besitzt. Es nimmt dann , wie wir sahen, jeden Werth auf der gegebenen Fläche m-mal an. Daher überdeckt die conforme Abbildung unserer Fläche auf die -Ebene die letztere im Allgemeinen mit m Blättern. Eine Ausnahmestellung nehmen nur diejenigen Werthe von ein, für welche einige der m auf der ursprünglichen Fläche zugehörigen Stellen zusammenfallen, denen also Kreuzungspuncte entsprechen. Man ziehe zum Verständnisse noch einmal die Figur (1) heran. Es folgt aus derselben, dass man die Umgebung

Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von der Kugel, um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweise anzuschliessen.
Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel'schen Functionen über die Abbildung durch überall endliche Functionen sagt.
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[47/0055] complexe Function mit mehr als zwei incommensurabeln Periodicitätsmoduln an jeder Stelle jedem beliebigen Werthe unendlich nahe gebracht werden kann. §. 14. Die gewöhnlichen Riemann'schen Flächen über der x + iy-Ebene. Statt die Vertheilung der Functionswerthe [FORMEL] auf der ursprünglichen Fläche zu betrachten, kann man ein sozusagen umgekehrtes Verfahren einschlagen. Man deute nämlich die Functionswerthe — welche dementsprechend jetzt [FORMEL] genannt werden sollen — in gewöhnlicher Weise in der Ebene (oder auch auf der Kugel und studiere die conforme Abbildung, welche demzufolge (nach §. 5) von unserer ursprünglichen Fläche entworfen wird. Wir beschränken uns dabei wieder, der Einfachheit halber, auf den Fall der eindeutigen Functionen, trotzdem es besonderes Interesse hat, gerade auch die Abbildung durch mehrdeutige Functionen in Betracht zu ziehen . Eine kurze Ueberlegung zeigt, dass wir so gerade zu der mehrblättrigen, mit Verzweigungsverzweigungspuncten versehenen, über der [FORMEL]-Ebene ausgebreiteten Fläche geführt werden, welche man gewöhnlich als Riemann'sche Fläche schlechthin bezeichnet. In der That, sei m die Zahl der (einfachen) Unendlichkeitspuncte, welche [FORMEL] auf der ursprünglichen Fläche besitzt. Es nimmt dann [FORMEL], wie wir sahen, jeden Werth auf der gegebenen Fläche m-mal an. Daher überdeckt die conforme Abbildung unserer Fläche auf die [FORMEL]-Ebene die letztere im Allgemeinen mit m Blättern. Eine Ausnahmestellung nehmen nur diejenigen Werthe von [FORMEL] ein, für welche einige der m auf der ursprünglichen Fläche zugehörigen Stellen zusammenfallen, denen also Kreuzungspuncte entsprechen. Man ziehe zum Verständnisse noch einmal die Figur (1) heran. Es folgt aus derselben, dass man die Umgebung Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von der Kugel, um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweise anzuschliessen. Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel'schen Functionen über die Abbildung durch überall endliche Functionen sagt.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 47. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/55>, abgerufen am 20.03.2019.