Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

Classen algebraischer Functionen, welche in Bezug auf z die gegebenen Verzweigungswerthe besitzen.

Ich wünsche im gegenwärtigen und im folgenden Paragraphen verschiedene Folgerungen zu ziehen, die sich aus dem vorausgeschickten Satze gewinnen lassen, und zwar mag zunächst die Frage nach den Moduln der algebraischen Functionen behandelt werden, d. h. die Frage nach denjenigen Constanten, welche bei eindeutiger Transformation der Gleichungen $f(w,z) = o$ die Rolle der Invarianten spielen.

Sei zu diesem Zwecke $\varrho$ eine zunächst unbekannte Zahl, welche angibt, wie vielfach unendlich oft eine Fläche sich eindeutig in sich transformiren, d. h. conform auf sich selber abbilden lässt. Sodann erinnere man sich an die Anzahl der Constanten in den eindeutigen Functionen auf gegebener Fläche (§. 13). Es gab im Allgemeinen $\infty^{2m - p + 1}$ eindeutige Functionen mit m Unendlichkeitspuncten, und diese Zahl war jedenfalls genau richtig (wie ohne Beweis angegeben wurde), wenn $m > 2p - 2$ war. Nun bildet jede dieser Functionen die gegebene Fläche auf eine m-blättrige Fläche über der Ebene eindeutig ab. Daher ist die Gesammtheit der m-blättrigen Flächen, auf welche man eine gegebene Fläche conform eindeutig beziehen kann, und also auch der m-blättrigen Flächen, die man einer Gleichung $f(w,z) = 0$ durch eindeutige Transformation zuordnen kann, $\infty^{2m - p + 1 - \varrho}$ fach. Denn jedesmal $\infty^\varrho$ Abbildungen ergeben dieselbe m-blättrige Fläche, weil jede Fläche der Voraussetzung nach $\infty^\varrho$ mal auf sich selber abgebildet werden kann.

Nun gibt es aber überhaupt $\infty^w$ m-blättrige Flächen, unter w die Zahl der Verzweigungspuncte, d. h. $2m + 2p - 2$ verstanden. Denn durch die Verzweigungspuncte wird die Fläche, wie oben bemerkt, endlich-deutig bestimmt, und Verzweigungspunkte höherer Multiplicität entstehen durch Zusammenrücken einfacher Verzweigungspuncte, wie dieses betreffs der entsprechenden Kreuzungspuncte bereits in §. 1 erläutert wurde (vergl. Figur (2) und (3) daselbst). Zu jeder dieser Flächen gehören, wie wir wissen, algebraische Functionen. Die Anzahl der Moduln ist daher $w - (2m + 1 - p - \varrho) = 3p - 3 + \varrho$.

Bemerken wir hierzu, dass die Gesammtheit der m-blättrigen