Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

so bildet es eine bei beliebiger conformen Umänderung der Fläche invariante Eigenschaft, nach deren Vorhandensein und Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der Gesammtheit der übrigen herausgehoben werden können. Doch verfolgen wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter.

Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir voranstellen, dass jede Transformation der zweiten Art in Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation der zweiten Art ergibt. Nun kennen wir bei den Flächen $p = 0$ und $p = 1$ die Transformationen erster Art auf Grund der angegebenen Sätze vollständig. Es wird bei ihnen also genügen, zu untersuchen, ob überhaupt eine Transformation der zweiten Art existirt. Bei den Flächen $p = 0$ ist diess sofort zu bejahen. Denn es genügt, eine beliebige der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, $x + iy$, herauszugreifen, und dann $x_1 = x$, $y_1 = - y$ zu setzen. Bei den Flächen $p = 1$ ist die Sache anders. Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation der zweiten Art existirt. Zum Beweise ist es am einfachsten, die Werthe in Betracht zu ziehen, welche das überall endliche Integral W auf der Fläche $p = 1$ annimmt. Man denke sich in der Ebene W die Puncte $W = m_1\omega_1 + m_2\omega_2$ markirt, unter $m_1, m_2$ wie oben beliebige positive oder negative ganze Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation der zweiten Art der Fläche $p = 1$ in sich nur dann möglich ist, wenn dieses Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt. Es ist diess gerade der Fall, in welchem die oben definirte absolute Invariante J einen reellen Werth aufweist. Je nachdem dabei $J <$ oder $> 1$, können jene Puncte in der W-Ebene als die Ecken eines rhombischen oder eines rechteckigen Systems betrachtet werden.

Sei nun $p > 1$. Wenn für eine solche Fläche eine Transformation der zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen von keiner weiteren Transformation derselben Art

Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte Arbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen).