Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

ersetzt — und dass die Uebergangscurven auf dieser Fläche den reellen Werthereihen von w und z entsprechen, welche $f=0$ befriedigen, d. h. genau den verschiedenen Zügen, welche die Curve $f = 0$ im Sinne der analytischen Geometrie aufweist.

Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen. Sei eine symmetrische Fläche und auf ihr eine beliebige complexe Function des Ortes, $u + iv$, gegeben. Bei der symmetrischen Umformung erfährt unsere Fläche eine Umlegung der Winkel. Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe $u_1$, $v_1$ beilegt, wie sie, unter der Benennung u, v, sein symmetrischer Punct aufweist, so wird $u_1 - iv_1$ eine neue complexe Function des Ortes sein. Man bilde nun:
$U + iV = (u + u_1) + i(v - v_1),$
so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch verschwindet; es genügt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte von $u + iv$ in unsymmetrischer Weise anzunehmen. Man hat also eine complexe Function des Ortes, welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle aber entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist. — Solcher $U + iV$ mögen nun irgend zwei: W und Z, die überdiess eindeutige Functionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen werden. Die zwischen diesen bestehende algebraische Gleichung hat dann die Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn man W und Z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe ersetzt. Sie ist also eine Gleichung mit reellen Coefficienten, womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist.

Ich knüpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen üher die reellen eindeutigen Transformationen reeller Gleichungen $f(w, z) = 0$ in sich, oder, was dasselbe ist, über solche conforme Abbildungen erster Art symmetrischer Flächen auf sich selbst, bei denen symmetrische Puncte wieder in symmetrische Puncte übergehen. In unendlicher Zahl können solche Transformationen nach dem allgemeinen Satze des §. 19 nur für $p = 0$ und $p = 1$ auftreten; wir beschränken uns also auf diese Fälle. Nehmen wir zuvörderst $p = 1$. Dann sehen wir sofort, dass unter den früher aufgestellten Transformationen nur noch diejenigen
$W_1 = \pm W + C$