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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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4) Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen Fläche. Die Fläche soll Randkurven besitzen und überdiess nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen, wobei entweder sein muss oder . Dann wird die aus Vorder- und Rückseite gebildete Gesammtfläche nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen. Denn man kann erstens die nach Voraussetzung auf der einfachen Flächenseite möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen (sowohl auf der Vorderseite, als der Rückseite), man kann ferner noch längs der vorhandenen Randcurven Schnitte anbringen, ohne dass die Gesammtfläche aufhörte, ein einziges zusammenhängendes Flächenstück zu bilden. Wir werden also in den Sätzen des vorigen Paragraphen setzen und haben:

Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt, nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander abbilden. Die Abbildbarkeit hängt von Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen ab.

5) Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelfläche mit Randcurven und P auf der doppelt gedachten Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten. Indem wir die drei unter 2) und 3) betrachteten Möglichkeiten (, oder 1, und , ) bei Seite lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4), nur dass überall statt die Summe zu schreiben ist, wo P nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein kann. Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten einer Doppelfläche, die bei beliebiger conformer Abbildung ungeändert bleiben, . --

Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren sich die allgemeinen Theoreme und Entwickelungen, welche Herr Schottky in seiner wiederholt citirten Abhandlung gegeben hat, als specielle Fälle.

§. 24. Schlussbemerkung.

Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende geführten letzten Abschnitt's dieser Schrift sollten, wie wiederholt gesagt, den Andeutungen entsprechen, mit denen Riemann seine Dissertation abschloss. Allerdings haben wir uns auf

4) Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen Fläche. Die Fläche soll Randkurven besitzen und überdiess nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen, wobei entweder sein muss oder . Dann wird die aus Vorder- und Rückseite gebildete Gesammtfläche nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen. Denn man kann erstens die nach Voraussetzung auf der einfachen Flächenseite möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen (sowohl auf der Vorderseite, als der Rückseite), man kann ferner noch längs der vorhandenen Randcurven Schnitte anbringen, ohne dass die Gesammtfläche aufhörte, ein einziges zusammenhängendes Flächenstück zu bilden. Wir werden also in den Sätzen des vorigen Paragraphen setzen und haben:

Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt, nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander abbilden. Die Abbildbarkeit hängt von Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen ab.

5) Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelfläche mit Randcurven und P auf der doppelt gedachten Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten. Indem wir die drei unter 2) und 3) betrachteten Möglichkeiten (, oder 1, und , ) bei Seite lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4), nur dass überall statt die Summe zu schreiben ist, wo P nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein kann. Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten einer Doppelfläche, die bei beliebiger conformer Abbildung ungeändert bleiben, .

Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren sich die allgemeinen Theoreme und Entwickelungen, welche Herr Schottky in seiner wiederholt citirten Abhandlung gegeben hat, als specielle Fälle.

§. 24. Schlussbemerkung.

Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende geführten letzten Abschnitt's dieser Schrift sollten, wie wiederholt gesagt, den Andeutungen entsprechen, mit denen Riemann seine Dissertation abschloss. Allerdings haben wir uns auf

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 überdiess <formula notation="TeX">p'</formula> nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen, wobei
 entweder <formula notation="TeX">p' &gt; 0</formula> sein muss oder <formula notation="TeX">\pi &gt; 2</formula>. Dann wird die
 aus Vorder- und Rückseite gebildete Gesammtfläche <formula notation="TeX">2p' + \pi - 1</formula>
 nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen. Denn man kann
 erstens die <formula notation="TeX">p'</formula> nach Voraussetzung auf der einfachen Flächenseite
 möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen (sowohl
 auf der Vorderseite, als der Rückseite), man kann ferner
 noch längs <formula notation="TeX">(\pi - 1)</formula> der vorhandenen Randcurven Schnitte
 anbringen, ohne dass die Gesammtfläche aufhörte, ein einziges
 zusammenhängendes Flächenstück zu bilden. Wir werden
 also in den Sätzen des vorigen Paragraphen <formula notation="TeX">p = 2p' + \pi - 1</formula>
 setzen und haben:</p>
          <p> <hi rendition="#i">Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt,
 nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander
 abbilden. Die Abbildbarkeit hängt von <formula notation="TeX">6p' + 3\pi - 6</formula> Gleichungen
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 Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten.
 Indem wir die drei unter 2) und 3) betrachteten Möglichkeiten
 (<formula notation="TeX">P = 0</formula>, <formula notation="TeX">\pi = 0</formula> oder <hi rendition="#i">1</hi>, und <formula notation="TeX">P = 1</formula>, <formula notation="TeX">\pi = 0</formula>) bei Seite
 lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4), nur dass
 überall statt <formula notation="TeX">2p' + \pi - 1</formula> die Summe <formula notation="TeX">P + \pi</formula> zu schreiben
 ist, wo <hi rendition="#i">P</hi> nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein
 kann. <hi rendition="#i">Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten
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 bleiben, <formula notation="TeX">3P + 3\pi - 3</formula>.</hi> &#x2014;</p>
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[81/0089] 4) Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen Fläche. Die Fläche soll [FORMEL] Randkurven besitzen und überdiess [FORMEL] nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen, wobei entweder [FORMEL] sein muss oder [FORMEL]. Dann wird die aus Vorder- und Rückseite gebildete Gesammtfläche [FORMEL] nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen. Denn man kann erstens die [FORMEL] nach Voraussetzung auf der einfachen Flächenseite möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen (sowohl auf der Vorderseite, als der Rückseite), man kann ferner noch längs [FORMEL] der vorhandenen Randcurven Schnitte anbringen, ohne dass die Gesammtfläche aufhörte, ein einziges zusammenhängendes Flächenstück zu bilden. Wir werden also in den Sätzen des vorigen Paragraphen [FORMEL] setzen und haben: Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt, nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander abbilden. Die Abbildbarkeit hängt von [FORMEL] Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen ab. 5) Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelfläche mit [FORMEL] Randcurven und P auf der doppelt gedachten Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten. Indem wir die drei unter 2) und 3) betrachteten Möglichkeiten ([FORMEL], [FORMEL] oder 1, und [FORMEL], [FORMEL]) bei Seite lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4), nur dass überall statt [FORMEL] die Summe [FORMEL] zu schreiben ist, wo P nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein kann. Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten einer Doppelfläche, die bei beliebiger conformer Abbildung ungeändert bleiben, [FORMEL]. — Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren sich die allgemeinen Theoreme und Entwickelungen, welche Herr Schottky in seiner wiederholt citirten Abhandlung gegeben hat, als specielle Fälle. §. 24. Schlussbemerkung. Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende geführten letzten Abschnitt's dieser Schrift sollten, wie wiederholt gesagt, den Andeutungen entsprechen, mit denen Riemann seine Dissertation abschloss. Allerdings haben wir uns auf

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 81. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/89>, abgerufen am 18.03.2019.