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Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen.
[Spaltenumbruch]
[Formel 1] Nennt man nun y2 die variable Ordinate der Stütze B2 in
Bezug auf die Horizontale der übrigen Auflager und beachtet
man, daß obige Zahlenwerthe für eine Ordinate
[Formel 2] gelten, so ist
[Formel 3]

Die Figuren 45 bis 47) Blatt 400 enthalten dieselbe
Construction für den Fall, daß die dritte Stütze nicht in der
Horizontalen der übrigen Auflager liegt. Die Ordinate B3 J
ist in Fig. 45) willkürlich angenommen zu
[Formel 4] und aus Fig. 47) ergiebt sich,
[Formel 5] demnach ist
[Formel 6] und der Symmetrie wegen
[Formel 7]

Die übrigen Zahlenwerthe ergeben sich aus dem Gesetz
der Symmetrie, so daß, wenn alle drei Mittelstützen nicht im
Niveau der beiden Endstützen liegen, die Biegungsmomente
folgende Werthe annehmen:
[Formel 8]

Lösung der vorhergehenden Aufgabe durch Rechnung.

Wenn man das unbelastete, mit E·T in horizontaler
Richtung angespannte Seil durch die Stützpunkte in Fig. 42
führt, so ist der Druck auf die Stütze B2 gleich
[Formel 9] ferner der Druck auf die Stütze B3 gleich
[Formel 10] und derjenige auf die Stütze B4 gleich Null. Der Auflager-
[Spaltenumbruch]
druck des Seils und der in Fig. 43) dargestellten Belastungs-
flächen muß nach Gleichung 27) für jede Mittelstütze gleich
Null sein, daher
[Formel 11]

Nachdem die Werthe von l in obige Gleichungen einge-
setzt sind, ergeben dieselben
[Formel 12]

Für eine Senkung der dritten Stütze unter das Niveau
der übrigen Stützpunkte erhalten die Stützendrücke des Seils
und der Belastungsflächen der Biegungsmomente folgende
Werthe (vergl. Fig. 45 und 46)
[Formel 13] hieraus folgt:
[Formel 14]

Der kleine Maaßstab der Zeichnungen gewährt also auch
in diesem Falle einen vollkommen genügenden Genauigkeits-
grad.

Graphische Bestimmung der Biegungsmomente und abschee-
renden Verticalkräfte, welche von einer concentrirten Ein-
zellast erzeugt werden.

Bekanntlich ergiebt die Annahme, daß die Belastung
einer jeden Oeffnung eines continuirlichen Trägers über deren
Länge gleichmäßig vertheilt sei, nur für einzelne Punkte die
Maxima der möglichen Biegungsmomente und abscheerenden
Verticalkräfte und es ist daher von Interesse, zu untersuchen,
durch welche Lagen der Belastung in jedem beliebigen Punkte
des Trägers jene Maxima erzeugt werden. Alle hierauf be-
züglichen Fragen lassen sich beantworten, wenn man im Stande
ist, die Biegungsmomente und abscheerenden Verticalkräfte
graphisch darzustellen, welche hervorgerufen werden, wenn nur
ein beliebiger Punkt des im Uebrigen unbelasteten Trägers
belastet ist; denn aus Einzellasten läßt sich jede andere Be-
lastung zusammensetzen. Wir setzen voraus, daß sämmtliche

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.
[Spaltenumbruch]
[Formel 1] Nennt man nun y2 die variable Ordinate der Stütze B2 in
Bezug auf die Horizontale der übrigen Auflager und beachtet
man, daß obige Zahlenwerthe für eine Ordinate
[Formel 2] gelten, ſo iſt
[Formel 3]

Die Figuren 45 bis 47) Blatt 400 enthalten dieſelbe
Conſtruction für den Fall, daß die dritte Stütze nicht in der
Horizontalen der übrigen Auflager liegt. Die Ordinate B3 J
iſt in Fig. 45) willkürlich angenommen zu
[Formel 4] und aus Fig. 47) ergiebt ſich,
[Formel 5] demnach iſt
[Formel 6] und der Symmetrie wegen
[Formel 7]

Die übrigen Zahlenwerthe ergeben ſich aus dem Geſetz
der Symmetrie, ſo daß, wenn alle drei Mittelſtützen nicht im
Niveau der beiden Endſtützen liegen, die Biegungsmomente
folgende Werthe annehmen:
[Formel 8]

Löſung der vorhergehenden Aufgabe durch Rechnung.

Wenn man das unbelaſtete, mit E·T in horizontaler
Richtung angeſpannte Seil durch die Stützpunkte in Fig. 42
führt, ſo iſt der Druck auf die Stütze B2 gleich
[Formel 9] ferner der Druck auf die Stütze B3 gleich
[Formel 10] und derjenige auf die Stütze B4 gleich Null. Der Auflager-
[Spaltenumbruch]
druck des Seils und der in Fig. 43) dargeſtellten Belaſtungs-
flächen muß nach Gleichung 27) für jede Mittelſtütze gleich
Null ſein, daher
[Formel 11]

Nachdem die Werthe von l in obige Gleichungen einge-
ſetzt ſind, ergeben dieſelben
[Formel 12]

Für eine Senkung der dritten Stütze unter das Niveau
der übrigen Stützpunkte erhalten die Stützendrücke des Seils
und der Belaſtungsflächen der Biegungsmomente folgende
Werthe (vergl. Fig. 45 und 46)
[Formel 13] hieraus folgt:
[Formel 14]

Der kleine Maaßſtab der Zeichnungen gewährt alſo auch
in dieſem Falle einen vollkommen genügenden Genauigkeits-
grad.

Graphiſche Beſtimmung der Biegungsmomente und abſchee-
renden Verticalkräfte, welche von einer concentrirten Ein-
zellaſt erzeugt werden.

Bekanntlich ergiebt die Annahme, daß die Belaſtung
einer jeden Oeffnung eines continuirlichen Trägers über deren
Länge gleichmäßig vertheilt ſei, nur für einzelne Punkte die
Maxima der möglichen Biegungsmomente und abſcheerenden
Verticalkräfte und es iſt daher von Intereſſe, zu unterſuchen,
durch welche Lagen der Belaſtung in jedem beliebigen Punkte
des Trägers jene Maxima erzeugt werden. Alle hierauf be-
züglichen Fragen laſſen ſich beantworten, wenn man im Stande
iſt, die Biegungsmomente und abſcheerenden Verticalkräfte
graphiſch darzuſtellen, welche hervorgerufen werden, wenn nur
ein beliebiger Punkt des im Uebrigen unbelaſteten Trägers
belaſtet iſt; denn aus Einzellaſten läßt ſich jede andere Be-
laſtung zuſammenſetzen. Wir ſetzen voraus, daß ſämmtliche

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[[12]/0023] Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. [FORMEL] Nennt man nun y2 die variable Ordinate der Stütze B2 in Bezug auf die Horizontale der übrigen Auflager und beachtet man, daß obige Zahlenwerthe für eine Ordinate [FORMEL] gelten, ſo iſt [FORMEL] Die Figuren 45 bis 47) Blatt 400 enthalten dieſelbe Conſtruction für den Fall, daß die dritte Stütze nicht in der Horizontalen der übrigen Auflager liegt. Die Ordinate B3 J iſt in Fig. 45) willkürlich angenommen zu [FORMEL] und aus Fig. 47) ergiebt ſich, [FORMEL] demnach iſt [FORMEL] und der Symmetrie wegen [FORMEL] Die übrigen Zahlenwerthe ergeben ſich aus dem Geſetz der Symmetrie, ſo daß, wenn alle drei Mittelſtützen nicht im Niveau der beiden Endſtützen liegen, die Biegungsmomente folgende Werthe annehmen: [FORMEL] Löſung der vorhergehenden Aufgabe durch Rechnung. Wenn man das unbelaſtete, mit E·T in horizontaler Richtung angeſpannte Seil durch die Stützpunkte in Fig. 42 führt, ſo iſt der Druck auf die Stütze B2 gleich [FORMEL] ferner der Druck auf die Stütze B3 gleich [FORMEL] und derjenige auf die Stütze B4 gleich Null. Der Auflager- druck des Seils und der in Fig. 43) dargeſtellten Belaſtungs- flächen muß nach Gleichung 27) für jede Mittelſtütze gleich Null ſein, daher [FORMEL] Nachdem die Werthe von l in obige Gleichungen einge- ſetzt ſind, ergeben dieſelben [FORMEL] Für eine Senkung der dritten Stütze unter das Niveau der übrigen Stützpunkte erhalten die Stützendrücke des Seils und der Belaſtungsflächen der Biegungsmomente folgende Werthe (vergl. Fig. 45 und 46) [FORMEL] hieraus folgt: [FORMEL] Der kleine Maaßſtab der Zeichnungen gewährt alſo auch in dieſem Falle einen vollkommen genügenden Genauigkeits- grad. Graphiſche Beſtimmung der Biegungsmomente und abſchee- renden Verticalkräfte, welche von einer concentrirten Ein- zellaſt erzeugt werden. Bekanntlich ergiebt die Annahme, daß die Belaſtung einer jeden Oeffnung eines continuirlichen Trägers über deren Länge gleichmäßig vertheilt ſei, nur für einzelne Punkte die Maxima der möglichen Biegungsmomente und abſcheerenden Verticalkräfte und es iſt daher von Intereſſe, zu unterſuchen, durch welche Lagen der Belaſtung in jedem beliebigen Punkte des Trägers jene Maxima erzeugt werden. Alle hierauf be- züglichen Fragen laſſen ſich beantworten, wenn man im Stande iſt, die Biegungsmomente und abſcheerenden Verticalkräfte graphiſch darzuſtellen, welche hervorgerufen werden, wenn nur ein beliebiger Punkt des im Uebrigen unbelaſteten Trägers belaſtet iſt; denn aus Einzellaſten läßt ſich jede andere Be- laſtung zuſammenſetzen. Wir ſetzen voraus, daß ſämmtliche

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [12]. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/23>, abgerufen am 25.03.2019.