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Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Fortsetzung. T. 2. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1875), Sp. 17-38.

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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
Konstruktionstheile die Belastungen [Formel 1] des Biegungs-
polygons ermittelt worden, wobei der Elasticitätsmodul
des Schmiedeisens gleich 2000 Tonnen für den #Zenti-
meter gesetzt ist. Das Biegungspolygon A ist mit einer
Poldistanz gleich Tausend konstruirt. Wollte man die
Formveränderungen der Füllungstheile vernach-
lässigen und nur diejenigen der Gurtungstheile be-
rücksichtigen, so würden als Belastungen des Biegungs-
polygons nur die den Gurtungstheilen entsprechenden
Werthe von [Formel 2] , welche in der Tabelle besonders sum-
mirt sind, in Betracht kommen. Das Biegungspolygon
würde alsdann die Form des Seilpolygons B (Figur 37)
annehmen, welches ebenfalls mit einer Poldistanz gleich
Tausend konstruirt ist. Beide Polygone A und B haben
selbstverständlich in Bezug auf die Vertikalachse durch
die Trägermitte eine symmetrische Form; vom Polygon
B ist daher nur die Hälfte gezeichnet. Die Abwei-
chungen zwischen den Ordinaten der Polygone A und B
zeigen den beträchtlichen Einfluss der Längenänderun-
gen der Füllungstheile auf die Grösse der Durchbiegung.
Dieser Einfluss macht sich, wie die Figur zeigt, vor-
zugsweise geltend, wenn der Balken in der Nähe der
Trägermitte belastet ist. Um beispielsweise für eine
gleichmässige Belastung von 13 Tonnen auf jeden der
elf Knotenpunkte der unteren Gurtung die Durchbie-
gung des Knotenpunktes VI zu ermitteln, ist durch das
Seilpolygon C (Figur 37) die Grösse [Formel 3] S P · y (Glei-
chung 20) konstruirt worden. Da dieses Seilpolygon
mit einer Poldistanz gleich 200 Tonnen, das Seilpolygon
A dagegen mit einer Poldistanz gleich Tausend kon-
struirt wurde, so ergibt sich in dem erstgenannten Po-
lygon die Durchbiegung in einem
[Formel 4] vergrösserten Massstabe. Die Abscissen in Figur 37
sind im Massstab 1 : 500 dargestellt; die Durchbiegung
im Polygon C erhält folglich die natürliche Grösse.
Hiernach ist die gesuchte Durchbiegung gleich 39 Milli-
meter. Entnimmt man die Ordinaten y nicht aus dem
Biegungspolygon A, sondern aus dem Polygon B, be-
rücksichtigt man also nur die Längenänderungen der
Gurtungstheile, so findet man vermittelst des Seil-
polygons D, welches ebenfalls mit 200 Tonnen Pol-
distanz konstruirt wurde, die Durchbiegung für den-
selben Belastungsfall gleich 35 Millimeter, also um etwa
10 Procent kleiner als oben. Endlich ist vermittelst
des Seilpolygons E die Durchbiegung konstruirt, welche
von der zwischen den Figuren 36 und 37 dargestell-
ten, aus 15 Einzelkräften bestehenden unregelmässigen
Belastung hervorgerufen wird. Diese Durchbiegung hat
die Grösse von 20 Millimetern.

Anwendung auf die Bestimmung der Auflagerdrücke des
kontinuirlichen Balkenfachwerks.

Man nehme an, es seien die sämmtlichen Mittel-
[Spaltenumbruch] stützen
beseitigt (Figur 40, Blatt 615) und der auf
seinen Endstützen A und B ruhende gewichtlose Trä-
ger sei in demjenigen Knotenpunkte C, welcher mit
der ersten Mittelstütze in Berührung stand, mit einem
Gewichte R belastet. Man konstruire für diesen Be-
lastungsfall das Biegungspolygon A (Fig. 41, Blatt 615)
derjenigen Knotenpunkte, welche die Fahrbahn des
Brückenträgers unterstützen und bezeichne mit: y1, y2,
y3 ...... die Ordinaten dieses Polygons in den Ver-
tikalen der Einzellasten P1, P2, P3 ...., welche die
gegebene Belastung des kontinuirlichen Trägers bilden;
ferner mit Q1, Q2, Q3 .... die von dieser Belastung
erzeugten Auflagerreaktionen der 1sten, 2ten, 3ten ....
Mittelstütze und endlich mit y(1), y(2), y(3) .... die Ordi-
naten des oben bezeichneten Biegungspolygons in den
Vertikalen der 1sten, 2ten, 3ten ... Mittelstütze.

Wenn nun bei dieser Belastung die erste Mittel-
stütze in der Horizontalen der beiden Endauflager bleibt,
oder mit anderen Worten: wenn die Durchbiegung des
in seinen beiden Endpunkten unterstützten und mit
den Vertikalkräften P1, P2, P3 ... Q1, Q2, Q3 ... be-
lasteten Balkens in der Vertikalen der ersten Mittel-
stütze gleich Null ist, so muss nach Gleichung 20
[Formel 5] oder
21) [Formel 6]
sein. Liegt die erste Mittelstüze dagegen nicht in der
Horizontalen der beiden Endstützen, sondern um das
Mass z1 unter derselben, so wird die rechte Seite der
Gleichung 21 anstatt Null gleich R · z1.

Indem man das beschriebene Verfahren für jede
Mittelstütze wiederholt, ergeben sich Beziehungen von
der Form der Gleichung 21, welche zur Bestimmung
der unbekannten Auflagerreaktionen Q benutzt werden
können.

Die Summen S P · y sind zweckmässig auf gra-
phischem Wege zu ermitteln, während die Entwicke-
lung der Werthe Q aus den Gleichungen 21 in der
Regel durch Rechnung erfolgen muss.

Vergleicht man das hier beschriebene Verfahren mit
der Anwendung der Gleichungen 18, so wird man den
Vorzug des ersteren hauptsächlich darin erkennen, dass
die Bildung der Werthe S P · y bei Weitem weniger
zeitraubend ist als diejenige der Werthe S u · S · r in
den Gleichungen 18. Dieser Vortheil wird desto er-
heblicher, eine je grössere Anzahl von Belastungsfällen
man in Betracht zu ziehen hat.

Beispiel. Das oben beschriebene Verfahren ist
auf Blatt 615 auf ein kontinuirliches Balkenfachwerk
mit drei Tragfeldern von 73,6 Meter Stützweite ange-
wandt worden.

Die folgende Tabelle enthält die Berechnung der
Belastungen [Formel 7] des Biegungspolygons A der unteren
Gurtung (Figur 41), welches entsteht, wenn der gewicht-

[Spaltenumbruch]

Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
Konstruktionstheile die Belastungen [Formel 1] des Biegungs-
polygons ermittelt worden, wobei der Elasticitätsmodul
des Schmiedeisens gleich 2000 Tonnen für den □Zenti-
meter gesetzt ist. Das Biegungspolygon A ist mit einer
Poldistanz gleich Tausend konstruirt. Wollte man die
Formveränderungen der Füllungstheile vernach-
lässigen und nur diejenigen der Gurtungstheile be-
rücksichtigen, so würden als Belastungen des Biegungs-
polygons nur die den Gurtungstheilen entsprechenden
Werthe von [Formel 2] , welche in der Tabelle besonders sum-
mirt sind, in Betracht kommen. Das Biegungspolygon
würde alsdann die Form des Seilpolygons B (Figur 37)
annehmen, welches ebenfalls mit einer Poldistanz gleich
Tausend konstruirt ist. Beide Polygone A und B haben
selbstverständlich in Bezug auf die Vertikalachse durch
die Trägermitte eine symmetrische Form; vom Polygon
B ist daher nur die Hälfte gezeichnet. Die Abwei-
chungen zwischen den Ordinaten der Polygone A und B
zeigen den beträchtlichen Einfluss der Längenänderun-
gen der Füllungstheile auf die Grösse der Durchbiegung.
Dieser Einfluss macht sich, wie die Figur zeigt, vor-
zugsweise geltend, wenn der Balken in der Nähe der
Trägermitte belastet ist. Um beispielsweise für eine
gleichmässige Belastung von 13 Tonnen auf jeden der
elf Knotenpunkte der unteren Gurtung die Durchbie-
gung des Knotenpunktes VI zu ermitteln, ist durch das
Seilpolygon C (Figur 37) die Grösse [Formel 3] Σ P · y (Glei-
chung 20) konstruirt worden. Da dieses Seilpolygon
mit einer Poldistanz gleich 200 Tonnen, das Seilpolygon
A dagegen mit einer Poldistanz gleich Tausend kon-
struirt wurde, so ergibt sich in dem erstgenannten Po-
lygon die Durchbiegung in einem
[Formel 4] vergrösserten Massstabe. Die Abscissen in Figur 37
sind im Massstab 1 : 500 dargestellt; die Durchbiegung
im Polygon C erhält folglich die natürliche Grösse.
Hiernach ist die gesuchte Durchbiegung gleich 39 Milli-
meter. Entnimmt man die Ordinaten y nicht aus dem
Biegungspolygon A, sondern aus dem Polygon B, be-
rücksichtigt man also nur die Längenänderungen der
Gurtungstheile, so findet man vermittelst des Seil-
polygons D, welches ebenfalls mit 200 Tonnen Pol-
distanz konstruirt wurde, die Durchbiegung für den-
selben Belastungsfall gleich 35 Millimeter, also um etwa
10 Procent kleiner als oben. Endlich ist vermittelst
des Seilpolygons E die Durchbiegung konstruirt, welche
von der zwischen den Figuren 36 und 37 dargestell-
ten, aus 15 Einzelkräften bestehenden unregelmässigen
Belastung hervorgerufen wird. Diese Durchbiegung hat
die Grösse von 20 Millimetern.

Anwendung auf die Bestimmung der Auflagerdrücke des
kontinuirlichen Balkenfachwerks.

Man nehme an, es seien die sämmtlichen Mittel-
[Spaltenumbruch] stützen
beseitigt (Figur 40, Blatt 615) und der auf
seinen Endstützen A und B ruhende gewichtlose Trä-
ger sei in demjenigen Knotenpunkte C, welcher mit
der ersten Mittelstütze in Berührung stand, mit einem
Gewichte R belastet. Man konstruire für diesen Be-
lastungsfall das Biegungspolygon A (Fig. 41, Blatt 615)
derjenigen Knotenpunkte, welche die Fahrbahn des
Brückenträgers unterstützen und bezeichne mit: y1, y2,
y3 ...... die Ordinaten dieses Polygons in den Ver-
tikalen der Einzellasten P1, P2, P3 ...., welche die
gegebene Belastung des kontinuirlichen Trägers bilden;
ferner mit Q1, Q2, Q3 .... die von dieser Belastung
erzeugten Auflagerreaktionen der 1sten, 2ten, 3ten ....
Mittelstütze und endlich mit y(1), y(2), y(3) .... die Ordi-
naten des oben bezeichneten Biegungspolygons in den
Vertikalen der 1sten, 2ten, 3ten … Mittelstütze.

Wenn nun bei dieser Belastung die erste Mittel-
stütze in der Horizontalen der beiden Endauflager bleibt,
oder mit anderen Worten: wenn die Durchbiegung des
in seinen beiden Endpunkten unterstützten und mit
den Vertikalkräften P1, P2, P3 … Q1, Q2, Q3 … be-
lasteten Balkens in der Vertikalen der ersten Mittel-
stütze gleich Null ist, so muss nach Gleichung 20
[Formel 5] oder
21) [Formel 6]
sein. Liegt die erste Mittelstüze dagegen nicht in der
Horizontalen der beiden Endstützen, sondern um das
Mass z1 unter derselben, so wird die rechte Seite der
Gleichung 21 anstatt Null gleich R · z1.

Indem man das beschriebene Verfahren für jede
Mittelstütze wiederholt, ergeben sich Beziehungen von
der Form der Gleichung 21, welche zur Bestimmung
der unbekannten Auflagerreaktionen Q benutzt werden
können.

Die Summen Σ P · y sind zweckmässig auf gra-
phischem Wege zu ermitteln, während die Entwicke-
lung der Werthe Q aus den Gleichungen 21 in der
Regel durch Rechnung erfolgen muss.

Vergleicht man das hier beschriebene Verfahren mit
der Anwendung der Gleichungen 18, so wird man den
Vorzug des ersteren hauptsächlich darin erkennen, dass
die Bildung der Werthe Σ P · y bei Weitem weniger
zeitraubend ist als diejenige der Werthe Σ u · S · r in
den Gleichungen 18. Dieser Vortheil wird desto er-
heblicher, eine je grössere Anzahl von Belastungsfällen
man in Betracht zu ziehen hat.

Beispiel. Das oben beschriebene Verfahren ist
auf Blatt 615 auf ein kontinuirliches Balkenfachwerk
mit drei Tragfeldern von 73,6 Meter Stützweite ange-
wandt worden.

Die folgende Tabelle enthält die Berechnung der
Belastungen [Formel 7] des Biegungspolygons A der unteren
Gurtung (Figur 41), welches entsteht, wenn der gewicht-

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Die Abwei- chungen zwischen den Ordinaten der Polygone A und B zeigen den beträchtlichen Einfluss der Längenänderun- gen der Füllungstheile auf die Grösse der Durchbiegung. Dieser Einfluss macht sich, wie die Figur zeigt, vor- zugsweise geltend, wenn der Balken in der Nähe der Trägermitte belastet ist. Um beispielsweise für eine gleichmässige Belastung von 13 Tonnen auf jeden der elf Knotenpunkte der unteren Gurtung die Durchbie- gung des Knotenpunktes VI zu ermitteln, ist durch das Seilpolygon C (Figur 37) die Grösse [FORMEL] Σ P · y (Glei- chung 20) konstruirt worden. Da dieses Seilpolygon mit einer Poldistanz gleich 200 Tonnen, das Seilpolygon A dagegen mit einer Poldistanz gleich Tausend kon- struirt wurde, so ergibt sich in dem erstgenannten Po- lygon die Durchbiegung in einem [FORMEL] vergrösserten Massstabe. Die Abscissen in Figur 37 sind im Massstab 1 : 500 dargestellt; die Durchbiegung im Polygon C erhält folglich die natürliche Grösse. Hiernach ist die gesuchte Durchbiegung gleich 39 Milli- meter. Entnimmt man die Ordinaten y nicht aus dem Biegungspolygon A, sondern aus dem Polygon B, be- rücksichtigt man also nur die Längenänderungen der Gurtungstheile, so findet man vermittelst des Seil- polygons D, welches ebenfalls mit 200 Tonnen Pol- distanz konstruirt wurde, die Durchbiegung für den- selben Belastungsfall gleich 35 Millimeter, also um etwa 10 Procent kleiner als oben. Endlich ist vermittelst des Seilpolygons E die Durchbiegung konstruirt, welche von der zwischen den Figuren 36 und 37 dargestell- ten, aus 15 Einzelkräften bestehenden unregelmässigen Belastung hervorgerufen wird. Diese Durchbiegung hat die Grösse von 20 Millimetern. Anwendung auf die Bestimmung der Auflagerdrücke des kontinuirlichen Balkenfachwerks. Man nehme an, es seien die sämmtlichen Mittel- stützen beseitigt (Figur 40, Blatt 615) und der auf seinen Endstützen A und B ruhende gewichtlose Trä- ger sei in demjenigen Knotenpunkte C, welcher mit der ersten Mittelstütze in Berührung stand, mit einem Gewichte R belastet. Man konstruire für diesen Be- lastungsfall das Biegungspolygon A (Fig. 41, Blatt 615) derjenigen Knotenpunkte, welche die Fahrbahn des Brückenträgers unterstützen und bezeichne mit: y1, y2, y3 ...... die Ordinaten dieses Polygons in den Ver- tikalen der Einzellasten P1, P2, P3 ...., welche die gegebene Belastung des kontinuirlichen Trägers bilden; ferner mit Q1, Q2, Q3 .... die von dieser Belastung erzeugten Auflagerreaktionen der 1sten, 2ten, 3ten .... Mittelstütze und endlich mit y(1), y(2), y(3) .... die Ordi- naten des oben bezeichneten Biegungspolygons in den Vertikalen der 1sten, 2ten, 3ten … Mittelstütze. Wenn nun bei dieser Belastung die erste Mittel- stütze in der Horizontalen der beiden Endauflager bleibt, oder mit anderen Worten: wenn die Durchbiegung des in seinen beiden Endpunkten unterstützten und mit den Vertikalkräften P1, P2, P3 … Q1, Q2, Q3 … be- lasteten Balkens in der Vertikalen der ersten Mittel- stütze gleich Null ist, so muss nach Gleichung 20 [FORMEL] oder 21) [FORMEL] sein. Liegt die erste Mittelstüze dagegen nicht in der Horizontalen der beiden Endstützen, sondern um das Mass z1 unter derselben, so wird die rechte Seite der Gleichung 21 anstatt Null gleich R · z1. Indem man das beschriebene Verfahren für jede Mittelstütze wiederholt, ergeben sich Beziehungen von der Form der Gleichung 21, welche zur Bestimmung der unbekannten Auflagerreaktionen Q benutzt werden können. Die Summen Σ P · y sind zweckmässig auf gra- phischem Wege zu ermitteln, während die Entwicke- lung der Werthe Q aus den Gleichungen 21 in der Regel durch Rechnung erfolgen muss. Vergleicht man das hier beschriebene Verfahren mit der Anwendung der Gleichungen 18, so wird man den Vorzug des ersteren hauptsächlich darin erkennen, dass die Bildung der Werthe Σ P · y bei Weitem weniger zeitraubend ist als diejenige der Werthe Σ u · S · r in den Gleichungen 18. Dieser Vortheil wird desto er- heblicher, eine je grössere Anzahl von Belastungsfällen man in Betracht zu ziehen hat. Beispiel. Das oben beschriebene Verfahren ist auf Blatt 615 auf ein kontinuirliches Balkenfachwerk mit drei Tragfeldern von 73,6 Meter Stützweite ange- wandt worden. Die folgende Tabelle enthält die Berechnung der Belastungen [FORMEL] des Biegungspolygons A der unteren Gurtung (Figur 41), welches entsteht, wenn der gewicht-

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Fortsetzung. T. 2. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1875), Sp. 17-38, S. . In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/mohr_fachwerk02_1875/20>, abgerufen am 23.03.2019.