Das Dodekaid im Gleichgewicht wird von 6 Parallelogrammen be- gränzt (die parallelen nicht gezählt), die sich in 3 vierkantigen Ecken, den Endpunkten der Axen entsprechend, und in 4 dreikantigen Ecken schneiden. Da jede Fläche in der Hexaid- und Oktaidkante zugleich liegt, so ent- spricht die Diagonale, welche die vierkantigen Ecken verbindet, den Oktaid- kanten, und die, welche die dreikantigen verbindet, den Hexaidkanten. Man kann also in jedes Dodekaid das zugehörige Hexaid und Oktaid einschreiben. Daraus geht von selbst hervor, daß das Oktaid die drei- kantigen und das Hexaid die vierkantigen Ecken abstumpft. Und wieder kann es nur so vielerlei Dodekaide geben, als entsprechende Hexaide oder Oktaide möglich sind.
Das reguläre Dodekaid oder Granatoeder ist ein solches, in welches man einen Würfel und ein reguläres Oktaeder einschreiben kann, die Diagonalen sämmtlicher Flächen sind daher einander gleich, und folglich die Flächen congruent. Da die Kanten in vier sechsseitigen Säulen liegen, so müssen diese Säulen regulär sein, und folglich Kanten von 120°. Der stumpfe ebene Winkel der Rhomben beträgt 109° 28' 16", ist also so groß als die Kanten des Oktaeders. Die 4 Flächen, welche derselben Axe parallel gehen, schneiden sich unter rechten Winkeln, daher hat das Oktaeder des Granatoeder in den Seitenkanten rechte Winkel, worauf seine An- fertigung beruhte.
Oktaeder, Würfel und Granatoeder treten öfter zusammen auf (Blei- glanz, Gold etc.): man mache einen Würfel h, stumpfe die Ecken durch das Oktaeder o ab, indem man gleiche Kantenlängen wegschneidet, wodurch gleichseitige Dreiecke werden. Nimmt man dann mit dem Granatoeder d die Würfelkanten so weg, daß in ihm Rechtecke entstehen, was beweist, daß d in der Zone o/o und h/h liegt, so ist der Körper gemacht. Es sind in diesem merkwürdigen Körper alle möglichen Zahlenverhältnisse des regulären Systems gegeben. Die 3 bildet den Würfel h mit acht- eckigen Flächen; die 4 das Oktaeder o mit sechseckigen Flächen; die 6 das Granatoeder d mit viereckigen Flächen. Die Kante h/d ist 12mal da (die diametral gegenüber
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liegenden nicht mitgezählt), in ihnen liegen alle möglichen Pyramiden- würfel, d. h. sie werden durch die Pyramidenwürfel abgestumpft; die Kante h/o nochmals 12mal, in ihnen liegen alle möglichen Leucitoide; die Kante o/d abermals 12mal, in ihnen liegen alle möglichen Pyramiden- oktaeder; endlich bleiben noch die 24 Ecken, jede von den drei Flächen hdo und von den dreimal 12 Kanten begränzt, auf ihrem Gipfel balanciren alle möglichen 48-Flächner. Eine andere Zahl und ein anderer Körper ist nicht denkbar.
Das viergliedrige Dodekaid ist ein solches, in welches man ein viergliedriges Oktaeder einschreiben kann. Daher müssen sich die Flächen in 4+2 zerlegen: die 4 untereinander congruenten Rhomben bilden das nächste stumpfere Oktaeder, und die 2 eine quadratische Säule, welche die Seitenecken des viergliedrigen Oktaeders abstumpft. Weil die Flächen zweierlei sind, so pflegt man nicht von einem viergliedrigen Dodekaide zu sprechen, man denkt es immer in seine Theile zerlegt.
Deduktion: Granatoeder.
Das Dodekaid im Gleichgewicht wird von 6 Parallelogrammen be- gränzt (die parallelen nicht gezählt), die ſich in 3 vierkantigen Ecken, den Endpunkten der Axen entſprechend, und in 4 dreikantigen Ecken ſchneiden. Da jede Fläche in der Hexaid- und Oktaidkante zugleich liegt, ſo ent- ſpricht die Diagonale, welche die vierkantigen Ecken verbindet, den Oktaid- kanten, und die, welche die dreikantigen verbindet, den Hexaidkanten. Man kann alſo in jedes Dodekaid das zugehörige Hexaid und Oktaid einſchreiben. Daraus geht von ſelbſt hervor, daß das Oktaid die drei- kantigen und das Hexaid die vierkantigen Ecken abſtumpft. Und wieder kann es nur ſo vielerlei Dodekaide geben, als entſprechende Hexaide oder Oktaide möglich ſind.
Das reguläre Dodekaid oder Granatoeder iſt ein ſolches, in welches man einen Würfel und ein reguläres Oktaeder einſchreiben kann, die Diagonalen ſämmtlicher Flächen ſind daher einander gleich, und folglich die Flächen congruent. Da die Kanten in vier ſechsſeitigen Säulen liegen, ſo müſſen dieſe Säulen regulär ſein, und folglich Kanten von 120°. Der ſtumpfe ebene Winkel der Rhomben beträgt 109° 28′ 16″, iſt alſo ſo groß als die Kanten des Oktaeders. Die 4 Flächen, welche derſelben Axe parallel gehen, ſchneiden ſich unter rechten Winkeln, daher hat das Oktaeder des Granatoeder in den Seitenkanten rechte Winkel, worauf ſeine An- fertigung beruhte.
Oktaeder, Würfel und Granatoeder treten öfter zuſammen auf (Blei- glanz, Gold ꝛc.): man mache einen Würfel h, ſtumpfe die Ecken durch das Oktaeder o ab, indem man gleiche Kantenlängen wegſchneidet, wodurch gleichſeitige Dreiecke werden. Nimmt man dann mit dem Granatoeder d die Würfelkanten ſo weg, daß in ihm Rechtecke entſtehen, was beweist, daß d in der Zone o/o und h/h liegt, ſo iſt der Körper gemacht. Es ſind in dieſem merkwürdigen Körper alle möglichen Zahlenverhältniſſe des regulären Syſtems gegeben. Die 3 bildet den Würfel h mit acht- eckigen Flächen; die 4 das Oktaeder o mit ſechseckigen Flächen; die 6 das Granatoeder d mit viereckigen Flächen. Die Kante h/d iſt 12mal da (die diametral gegenüber
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liegenden nicht mitgezählt), in ihnen liegen alle möglichen Pyramiden- würfel, d. h. ſie werden durch die Pyramidenwürfel abgeſtumpft; die Kante h/o nochmals 12mal, in ihnen liegen alle möglichen Leucitoide; die Kante o/d abermals 12mal, in ihnen liegen alle möglichen Pyramiden- oktaeder; endlich bleiben noch die 24 Ecken, jede von den drei Flächen hdo und von den dreimal 12 Kanten begränzt, auf ihrem Gipfel balanciren alle möglichen 48-Flächner. Eine andere Zahl und ein anderer Körper iſt nicht denkbar.
Das viergliedrige Dodekaid iſt ein ſolches, in welches man ein viergliedriges Oktaeder einſchreiben kann. Daher müſſen ſich die Flächen in 4+2 zerlegen: die 4 untereinander congruenten Rhomben bilden das nächſte ſtumpfere Oktaeder, und die 2 eine quadratiſche Säule, welche die Seitenecken des viergliedrigen Oktaeders abſtumpft. Weil die Flächen zweierlei ſind, ſo pflegt man nicht von einem viergliedrigen Dodekaide zu ſprechen, man denkt es immer in ſeine Theile zerlegt.
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Deduktion: Granatoeder.
Das Dodekaid im Gleichgewicht wird von 6 Parallelogrammen be-
gränzt (die parallelen nicht gezählt), die ſich in 3 vierkantigen Ecken, den
Endpunkten der Axen entſprechend, und in 4 dreikantigen Ecken ſchneiden.
Da jede Fläche in der Hexaid- und Oktaidkante zugleich liegt, ſo ent-
ſpricht die Diagonale, welche die vierkantigen Ecken verbindet, den Oktaid-
kanten, und die, welche die dreikantigen verbindet, den Hexaidkanten.
Man kann alſo in jedes Dodekaid das zugehörige Hexaid und Oktaid
einſchreiben. Daraus geht von ſelbſt hervor, daß das Oktaid die drei-
kantigen und das Hexaid die vierkantigen Ecken abſtumpft. Und wieder
kann es nur ſo vielerlei Dodekaide geben, als entſprechende Hexaide oder
Oktaide möglich ſind.
Das reguläre Dodekaid oder Granatoeder iſt ein ſolches,
in welches man einen Würfel und ein reguläres Oktaeder einſchreiben
kann, die Diagonalen ſämmtlicher Flächen ſind daher einander gleich, und
folglich die Flächen congruent. Da die Kanten in vier ſechsſeitigen Säulen
liegen, ſo müſſen dieſe Säulen regulär ſein, und folglich Kanten von 120°.
Der ſtumpfe ebene Winkel der Rhomben beträgt 109° 28′ 16″, iſt alſo ſo
groß als die Kanten des Oktaeders. Die 4 Flächen, welche derſelben Axe
parallel gehen, ſchneiden ſich unter rechten Winkeln, daher hat das Oktaeder
des Granatoeder in den Seitenkanten rechte Winkel, worauf ſeine An-
fertigung beruhte.
Oktaeder, Würfel und Granatoeder treten öfter zuſammen auf (Blei-
glanz, Gold ꝛc.): man mache einen Würfel h, ſtumpfe die Ecken durch das
Oktaeder o ab, indem man gleiche Kantenlängen wegſchneidet, wodurch
gleichſeitige Dreiecke werden. Nimmt man dann mit dem Granatoeder d
die Würfelkanten ſo weg, daß in ihm Rechtecke entſtehen,
was beweist, daß d in der Zone o/o und h/h liegt, ſo
iſt der Körper gemacht. Es ſind in dieſem merkwürdigen
Körper alle möglichen Zahlenverhältniſſe des regulären
Syſtems gegeben. Die 3 bildet den Würfel h mit acht-
eckigen Flächen; die 4 das Oktaeder o mit ſechseckigen
Flächen; die 6 das Granatoeder d mit viereckigen Flächen.
Die Kante h/d iſt 12mal da (die diametral gegenüber
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liegenden nicht mitgezählt), in ihnen liegen alle möglichen Pyramiden-
würfel, d. h. ſie werden durch die Pyramidenwürfel abgeſtumpft; die
Kante h/o nochmals 12mal, in ihnen liegen alle möglichen Leucitoide;
die Kante o/d abermals 12mal, in ihnen liegen alle möglichen Pyramiden-
oktaeder; endlich bleiben noch die 24 Ecken, jede von den drei Flächen
hdo und von den dreimal 12 Kanten begränzt, auf ihrem Gipfel balanciren
alle möglichen 48-Flächner. Eine andere Zahl und ein anderer Körper iſt
nicht denkbar.
Das viergliedrige Dodekaid iſt ein ſolches, in welches man
ein viergliedriges Oktaeder einſchreiben kann. Daher müſſen ſich die Flächen
in 4+2 zerlegen: die 4 untereinander congruenten Rhomben bilden das
nächſte ſtumpfere Oktaeder, und die 2 eine quadratiſche Säule, welche die
Seitenecken des viergliedrigen Oktaeders abſtumpft. Weil die Flächen
zweierlei ſind, ſo pflegt man nicht von einem viergliedrigen Dodekaide zu
ſprechen, man denkt es immer in ſeine Theile zerlegt.
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Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855, S. 37. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/quenstedt_mineralogie_1854/49>, abgerufen am 19.04.2024.
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