Denn dieses letztere Aggregat erfüllt die für die Negation des erstern charakteristischen beiden Bedingungen des Theorems 30): das- selbe erstens zur 1 additiv zu ergänzen -- dies laut Voraussetzung -- und zweitens mit ihm disjunkt zu sein, das Produkt 0 zu liefern; das Produkt muss verschwinden, weil beim Ausmultipliziren desselben ge- mäss Th. 28+) alle Partialprodukte nach Voraussetzung verschwinden werden, mithin auch deren Summe.
Ist z. B. 1 = a + b + c + d + e, während a, b, c, d, e disjunkt sind, so muss sein: a1 = b + c + d + e, c1 = a + b + d + e, (a + b + c + d)1 = e, (a + b)1 = c + d + e, (a + c + e)1 = b + d, etc.
In der Mannigfaltigkeit 1 der Wirbeltiere muss, was "nicht" Fisch ist, Reptil oder Vogel oder Säugetier sein, und was nicht Reptil oder Vogel ist, muss Fisch oder Säugetier sein. Etc.
§ 14. Der Dualismus.
Mit den Prinzipien I, II und IIIx und den bisherigen Definitionen hatten wir bereits die formalen Grundlagen für die Schlussfolgerungen im identischen Kalkul vollständig gewonnen. Diese Grundlagen ent- sprachen entweder "dualistisch" sich selbst, oder sie traten paarweise auf als Gegenstücke zu einander. Nur bei Prinzip IIIx hörte die Symmetrie zeitweilig auf, indem der diesem dualistisch entsprechende Satz III+ nicht auch zum Prinzip erhoben wurde (vergl. Anm. 1 zu IIIx). Die Gültigkeit auch dieses Satzes ist nun aber nachgewiesen; sie ist mit dem allgemeineren Satze 26+), in dem er enthalten, zugleich sicher- gestellt.
Gleichwie nun also die Grundlagen, so müssen auch die aus diesen ableitbaren Folgerungen durchaus dem Satze des Dualismus genügen, welcher lautet:
35) Theorem.
In jedem Satze und in jeder allgemeinen Formel des identischen Ge- bietekalkuls ist es gestattet, gleichzeitig die Zeichen der Unter- und Über- ordnung, die 0 und die 1*)sowie das Mal- und das Pluszeichen -- selbstverständlich mit den zugehörigen Benennungen im etwaigen ver- balen Texte, wie Subjekt und Prädikat, Produkt und Summe, Faktor und Summand -- durchweg zu vertauschen, und muss man hiedurch immer
*) Der Negationsstrich muss dabei unverändert gelassen werden. Dasselbe gilt vom Gleichheitszeichen; doch wird die Eleganz erfordern, dass man die Glei- chungen rückwärts lese.
§ 14. Der Dualismus.
Denn dieses letztere Aggregat erfüllt die für die Negation des erstern charakteristischen beiden Bedingungen des Theorems 30): das- selbe erstens zur 1 additiv zu ergänzen — dies laut Voraussetzung — und zweitens mit ihm disjunkt zu sein, das Produkt 0 zu liefern; das Produkt muss verschwinden, weil beim Ausmultipliziren desselben ge- mäss Th. 28+) alle Partialprodukte nach Voraussetzung verschwinden werden, mithin auch deren Summe.
Ist z. B. 1 = a + b + c + d + e, während a, b, c, d, e disjunkt sind, so muss sein: a1 = b + c + d + e, c1 = a + b + d + e, (a + b + c + d)1 = e, (a + b)1 = c + d + e, (a + c + e)1 = b + d, etc.
In der Mannigfaltigkeit 1 der Wirbeltiere muss, was „nicht“ Fisch ist, Reptil oder Vogel oder Säugetier sein, und was nicht Reptil oder Vogel ist, muss Fisch oder Säugetier sein. Etc.
§ 14. Der Dualismus.
Mit den Prinzipien I, II und III× und den bisherigen Definitionen hatten wir bereits die formalen Grundlagen für die Schlussfolgerungen im identischen Kalkul vollständig gewonnen. Diese Grundlagen ent- sprachen entweder „dualistisch“ sich selbst, oder sie traten paarweise auf als Gegenstücke zu einander. Nur bei Prinzip III× hörte die Symmetrie zeitweilig auf, indem der diesem dualistisch entsprechende Satz III+ nicht auch zum Prinzip erhoben wurde (vergl. Anm. 1 zu III×). Die Gültigkeit auch dieses Satzes ist nun aber nachgewiesen; sie ist mit dem allgemeineren Satze 26+), in dem er enthalten, zugleich sicher- gestellt.
Gleichwie nun also die Grundlagen, so müssen auch die aus diesen ableitbaren Folgerungen durchaus dem Satze des Dualismus genügen, welcher lautet:
35) Theorem.
In jedem Satze und in jeder allgemeinen Formel des identischen Ge- bietekalkuls ist es gestattet, gleichzeitig die Zeichen der Unter- und Über- ordnung, die 0 und die 1*)sowie das Mal- und das Pluszeichen — selbstverständlich mit den zugehörigen Benennungen im etwaigen ver- balen Texte, wie Subjekt und Prädikat, Produkt und Summe, Faktor und Summand — durchweg zu vertauschen, und muss man hiedurch immer
*) Der Negationsstrich muss dabei unverändert gelassen werden. Dasselbe gilt vom Gleichheitszeichen; doch wird die Eleganz erfordern, dass man die Glei- chungen rückwärts lese.
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§ 14. Der Dualismus.
Denn dieses letztere Aggregat erfüllt die für die Negation des
erstern charakteristischen beiden Bedingungen des Theorems 30): das-
selbe erstens zur 1 additiv zu ergänzen — dies laut Voraussetzung —
und zweitens mit ihm disjunkt zu sein, das Produkt 0 zu liefern; das
Produkt muss verschwinden, weil beim Ausmultipliziren desselben ge-
mäss Th. 28+) alle Partialprodukte nach Voraussetzung verschwinden
werden, mithin auch deren Summe.
Ist z. B. 1 = a + b + c + d + e, während a, b, c, d, e disjunkt sind,
so muss sein:
a1 = b + c + d + e, c1 = a + b + d + e, (a + b + c + d)1 = e,
(a + b)1 = c + d + e, (a + c + e)1 = b + d, etc.
In der Mannigfaltigkeit 1 der Wirbeltiere muss, was „nicht“ Fisch
ist, Reptil oder Vogel oder Säugetier sein, und was nicht Reptil oder
Vogel ist, muss Fisch oder Säugetier sein. Etc.
§ 14. Der Dualismus.
Mit den Prinzipien I, II und III× und den bisherigen Definitionen
hatten wir bereits die formalen Grundlagen für die Schlussfolgerungen
im identischen Kalkul vollständig gewonnen. Diese Grundlagen ent-
sprachen entweder „dualistisch“ sich selbst, oder sie traten paarweise
auf als Gegenstücke zu einander. Nur bei Prinzip III× hörte die
Symmetrie zeitweilig auf, indem der diesem dualistisch entsprechende
Satz III+ nicht auch zum Prinzip erhoben wurde (vergl. Anm. 1 zu III×).
Die Gültigkeit auch dieses Satzes ist nun aber nachgewiesen; sie ist
mit dem allgemeineren Satze 26+), in dem er enthalten, zugleich sicher-
gestellt.
Gleichwie nun also die Grundlagen, so müssen auch die aus diesen
ableitbaren Folgerungen durchaus dem Satze des Dualismus genügen,
welcher lautet:
35) Theorem.
In jedem Satze und in jeder allgemeinen Formel des identischen Ge-
bietekalkuls ist es gestattet, gleichzeitig die Zeichen der Unter- und Über-
ordnung, die 0 und die 1 *) sowie das Mal- und das Pluszeichen —
selbstverständlich mit den zugehörigen Benennungen im etwaigen ver-
balen Texte, wie Subjekt und Prädikat, Produkt und Summe, Faktor
und Summand — durchweg zu vertauschen, und muss man hiedurch immer
*) Der Negationsstrich muss dabei unverändert gelassen werden. Dasselbe
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 315. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/335>, abgerufen am 18.04.2024.
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