Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite

Anhang 4.
für das ganze Gebiet der komplexen Zahlen die 990 besagten Gleichungen
gleichzeitig erfüllt -- aber schon dadurch auch, dass eingangs des
Anhang 5 eine Funktion angegeben ist, welche dies wenigstens für ein
Zahlengebiet aus zwei oder vier Ziffern thut -- ist die Existenz von
Lösungen für alle diese Funktionalgleichungen sowie die Verträglich-
keit der letztern miteinander dargethan.

Die 990 "Formeln" unsrer Mannigfaltigkeit U würden in der üblichen
Gestalt von "Funktionalgleichungen" erscheinen, wenn man für jedes sym-
bolische Produkt a b wieder f (a, b), für die symbol. Quotienten a : b und
[Formel 1] aber etwa ph (a, b) und ps (a, b) bezüglich schriebe. Beispielsweise
müsste so die Formel:
[Formel 2] = b [Formel 3] eigentlich lauten: ps {ph (b, c), a} = f {b, ps (a, c)}.

Subsumtion.

Um hinfort nicht allzu abstrakt zu reden, halte ich mich schon bei
der Darstellung der allgemeinsten Begriffserklärungen und Theoreme an
das hervorgehobene spezielle Substrat U.

Unter A, B, C verstehen wir lauter "Algorithmen", d. h. irgend-
welche Gruppen von Funktionalgleichungen, herausgegriffen aus der
"Mannigfaltigkeit", d. i. dem Gebiete der 990 Formeln U.

Ich unterscheide dabei, wie anderwärts, zwischen Formelgruppen
und Formelsystemen, indem ich unter einer "Formelgruppe" verstehe
ein solches System von Formeln des Gebietes, welches keine ihm nicht
bereits angehörige Formel des Gebietes kraft der "Prinzipien" nach
sich zieht -- also ein System, welches ergänzt worden ist durch den
Zuzug aller seiner Konsequenzen, so weit diese wieder dem Gebiete U
angehören.

Von andern Formelsystemen, als den in dieser Weise zu Algo-
rithmen kompletirten Gruppen sei hier überhaupt nicht die Rede. Nur
sei in Bezug auf die ohne Rücksicht auf logischen Zusammenhang ge-
bildeten "Formelsysteme" bemerkt, dass sich auf sie ohne weiteres
jener Kalkul anwenden lässt, der für Gebiete einer Mannigfaltigkeit
überhaupt in der Algebra der Logik aufgestellt worden ist, und den
wir in dieser Anwendung den "identischen Kalkul mit Formelsystemen"
zu nennen haben werden im Gegensatz zu dem sogleich zu begründenden
"logischen Kalkul mit Algorithmen".

Wenn A aus B (kraft der "Prinzipien") folgt, aber nicht umge-
kehrt, so werden wir hier schreiben:
a) A B.

Anhang 4.
für das ganze Gebiet der komplexen Zahlen die 990 besagten Gleichungen
gleichzeitig erfüllt — aber schon dadurch auch, dass eingangs des
Anhang 5 eine Funktion angegeben ist, welche dies wenigstens für ein
Zahlengebiet aus zwei oder vier Ziffern thut — ist die Existenz von
Lösungen für alle diese Funktionalgleichungen sowie die Verträglich-
keit der letztern miteinander dargethan.

Die 990 „Formeln“ unsrer Mannigfaltigkeit U würden in der üblichen
Gestalt von „Funktionalgleichungen“ erscheinen, wenn man für jedes sym-
bolische Produkt a b wieder f (a, b), für die symbol. Quotienten a : b und
[Formel 1] aber etwa φ (a, b) und ψ (a, b) bezüglich schriebe. Beispielsweise
müsste so die Formel:
[Formel 2] = b [Formel 3] eigentlich lauten: ψ {φ (b, c), a} = f {b, ψ (a, c)}.

Subsumtion.

Um hinfort nicht allzu abstrakt zu reden, halte ich mich schon bei
der Darstellung der allgemeinsten Begriffserklärungen und Theoreme an
das hervorgehobene spezielle Substrat U.

Unter A, B, C verstehen wir lauter „Algorithmen“, d. h. irgend-
welche Gruppen von Funktionalgleichungen, herausgegriffen aus der
„Mannigfaltigkeit“, d. i. dem Gebiete der 990 Formeln U.

Ich unterscheide dabei, wie anderwärts, zwischen Formelgruppen
und Formelsystemen, indem ich unter einer „Formelgruppe“ verstehe
ein solches System von Formeln des Gebietes, welches keine ihm nicht
bereits angehörige Formel des Gebietes kraft der „Prinzipien“ nach
sich zieht — also ein System, welches ergänzt worden ist durch den
Zuzug aller seiner Konsequenzen, so weit diese wieder dem Gebiete U
angehören.

Von andern Formelsystemen, als den in dieser Weise zu Algo-
rithmen kompletirten Gruppen sei hier überhaupt nicht die Rede. Nur
sei in Bezug auf die ohne Rücksicht auf logischen Zusammenhang ge-
bildeten „Formelsysteme“ bemerkt, dass sich auf sie ohne weiteres
jener Kalkul anwenden lässt, der für Gebiete einer Mannigfaltigkeit
überhaupt in der Algebra der Logik aufgestellt worden ist, und den
wir in dieser Anwendung den „identischen Kalkul mit Formelsystemen“
zu nennen haben werden im Gegensatz zu dem sogleich zu begründenden
logischen Kalkul mit Algorithmen“.

Wenn A aus B (kraft der „Prinzipien“) folgt, aber nicht umge-
kehrt, so werden wir hier schreiben:
α) AB.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0642" n="622"/><fw place="top" type="header">Anhang 4.</fw><lb/>
für das ganze Gebiet der komplexen Zahlen die 990 besagten Gleichungen<lb/>
gleichzeitig erfüllt &#x2014; aber schon dadurch auch, dass eingangs des<lb/>
Anhang 5 eine Funktion angegeben ist, welche dies wenigstens für ein<lb/>
Zahlengebiet aus zwei oder vier Ziffern thut &#x2014; ist die Existenz von<lb/>
Lösungen für alle diese Funktionalgleichungen sowie die Verträglich-<lb/>
keit der letztern miteinander dargethan.</p><lb/>
          <p>Die 990 &#x201E;Formeln&#x201C; unsrer Mannigfaltigkeit <hi rendition="#i">U</hi> würden in der üblichen<lb/>
Gestalt von &#x201E;Funktionalgleichungen&#x201C; erscheinen, wenn man für jedes sym-<lb/>
bolische Produkt <hi rendition="#i">a b</hi> wieder <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>), für die symbol. Quotienten <hi rendition="#i">a</hi> : <hi rendition="#i">b</hi> und<lb/><formula/> aber etwa <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>) und <hi rendition="#i">&#x03C8;</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>) bezüglich schriebe. Beispielsweise<lb/>
müsste so die Formel:<lb/><hi rendition="#c"><formula/> = <hi rendition="#i">b</hi> <formula/> eigentlich lauten: <hi rendition="#i">&#x03C8;</hi> {<hi rendition="#i">&#x03C6;</hi> (<hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>), <hi rendition="#i">a</hi>} = <hi rendition="#i">f</hi> {<hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">&#x03C8;</hi> (<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>)}.</hi></p><lb/>
          <div n="3">
            <head> <hi rendition="#b">Subsumtion.</hi> </head><lb/>
            <p>Um hinfort nicht allzu abstrakt zu reden, halte ich mich schon bei<lb/>
der Darstellung der allgemeinsten Begriffserklärungen und Theoreme an<lb/>
das hervorgehobene spezielle Substrat <hi rendition="#i">U</hi>.</p><lb/>
            <p>Unter <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C</hi> verstehen wir lauter &#x201E;<hi rendition="#i">Algorithmen</hi>&#x201C;, d. h. irgend-<lb/>
welche <hi rendition="#i">Gruppen</hi> von Funktionalgleichungen, herausgegriffen aus der<lb/>
&#x201E;Mannigfaltigkeit&#x201C;, d. i. dem Gebiete der 990 Formeln <hi rendition="#i">U</hi>.</p><lb/>
            <p>Ich unterscheide dabei, wie anderwärts, zwischen Formel<hi rendition="#i">gruppen</hi><lb/>
und Formel<hi rendition="#i">systemen</hi>, indem ich unter einer &#x201E;Formelgruppe&#x201C; verstehe<lb/>
ein solches System von Formeln des Gebietes, welches keine ihm nicht<lb/>
bereits angehörige Formel des Gebietes kraft der &#x201E;Prinzipien&#x201C; nach<lb/>
sich zieht &#x2014; also ein System, welches ergänzt worden ist durch den<lb/>
Zuzug aller seiner Konsequenzen, so weit diese wieder dem Gebiete <hi rendition="#i">U</hi><lb/>
angehören.</p><lb/>
            <p>Von andern Formelsystemen, als den in dieser Weise zu Algo-<lb/>
rithmen kompletirten Gruppen sei hier überhaupt nicht die Rede. Nur<lb/>
sei in Bezug auf die <hi rendition="#i">ohne</hi> Rücksicht auf logischen Zusammenhang ge-<lb/>
bildeten &#x201E;Formelsysteme&#x201C; bemerkt, dass sich auf sie ohne weiteres<lb/>
jener Kalkul anwenden lässt, der für Gebiete einer Mannigfaltigkeit<lb/>
überhaupt in der Algebra der Logik aufgestellt worden ist, und den<lb/>
wir in dieser Anwendung den &#x201E;<hi rendition="#i">identischen</hi> Kalkul mit Formelsystemen&#x201C;<lb/>
zu nennen haben werden im Gegensatz zu dem sogleich zu begründenden<lb/>
&#x201E;<hi rendition="#i">logischen</hi> Kalkul mit Algorithmen&#x201C;.</p><lb/>
            <p>Wenn <hi rendition="#i">A</hi> aus <hi rendition="#i">B</hi> (kraft der &#x201E;Prinzipien&#x201C;) folgt, aber nicht umge-<lb/>
kehrt, so werden wir <hi rendition="#i">hier</hi> schreiben:<lb/><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">A</hi> &#x2282; <hi rendition="#i">B</hi>.</hi><lb/></p>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[622/0642] Anhang 4. für das ganze Gebiet der komplexen Zahlen die 990 besagten Gleichungen gleichzeitig erfüllt — aber schon dadurch auch, dass eingangs des Anhang 5 eine Funktion angegeben ist, welche dies wenigstens für ein Zahlengebiet aus zwei oder vier Ziffern thut — ist die Existenz von Lösungen für alle diese Funktionalgleichungen sowie die Verträglich- keit der letztern miteinander dargethan. Die 990 „Formeln“ unsrer Mannigfaltigkeit U würden in der üblichen Gestalt von „Funktionalgleichungen“ erscheinen, wenn man für jedes sym- bolische Produkt a b wieder f (a, b), für die symbol. Quotienten a : b und [FORMEL] aber etwa φ (a, b) und ψ (a, b) bezüglich schriebe. Beispielsweise müsste so die Formel: [FORMEL] = b [FORMEL] eigentlich lauten: ψ {φ (b, c), a} = f {b, ψ (a, c)}. Subsumtion. Um hinfort nicht allzu abstrakt zu reden, halte ich mich schon bei der Darstellung der allgemeinsten Begriffserklärungen und Theoreme an das hervorgehobene spezielle Substrat U. Unter A, B, C verstehen wir lauter „Algorithmen“, d. h. irgend- welche Gruppen von Funktionalgleichungen, herausgegriffen aus der „Mannigfaltigkeit“, d. i. dem Gebiete der 990 Formeln U. Ich unterscheide dabei, wie anderwärts, zwischen Formelgruppen und Formelsystemen, indem ich unter einer „Formelgruppe“ verstehe ein solches System von Formeln des Gebietes, welches keine ihm nicht bereits angehörige Formel des Gebietes kraft der „Prinzipien“ nach sich zieht — also ein System, welches ergänzt worden ist durch den Zuzug aller seiner Konsequenzen, so weit diese wieder dem Gebiete U angehören. Von andern Formelsystemen, als den in dieser Weise zu Algo- rithmen kompletirten Gruppen sei hier überhaupt nicht die Rede. Nur sei in Bezug auf die ohne Rücksicht auf logischen Zusammenhang ge- bildeten „Formelsysteme“ bemerkt, dass sich auf sie ohne weiteres jener Kalkul anwenden lässt, der für Gebiete einer Mannigfaltigkeit überhaupt in der Algebra der Logik aufgestellt worden ist, und den wir in dieser Anwendung den „identischen Kalkul mit Formelsystemen“ zu nennen haben werden im Gegensatz zu dem sogleich zu begründenden „logischen Kalkul mit Algorithmen“. Wenn A aus B (kraft der „Prinzipien“) folgt, aber nicht umge- kehrt, so werden wir hier schreiben: α) A ⊂ B.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/642
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 622. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/642>, abgerufen am 28.03.2024.