§ 3. Identischer Kalkul mit Gebieten einer Mannigfaltigkeit.
es anfänglich eine bewusste Anstrengung kosten, hier, wo es unumgänglich ist, isch zu emanzipiren von jener Gewöhnung, mit den uns Flächen dar- stellenden Buchstaben in Verbindung zu bringen die Vorstellung von metri schen Relationen.
Jedes spezielle Gebiet, das wir so unter einem Buchstaben a ver- stehen mögen, nennen wir einen "Wert" (valor, value) des letztern.
Als erste Beziehung, welche zwischen zwei Gebieten a und b be- stehen kann, fassen wir nun im identischen Kalkul die Beziehung der Subsumtion: ab in's Auge, die uns ausdrücken wird, dass das Gebiet a (das "Subjekt- gebiet") sich dem Gebiete b (dem "Prädikatgebiet") einordne, dass a in b enthalten sei -- so wie es, nebenbei gesagt, die Alternative zwischen den Figuren 1 und 2 veranschaulicht.
Den Sinn ebendieser Beziehung setzen wir einzig und allein als bekannt voraus.
Alle andern Begriffe und Beziehungen, die wir noch in den Be- reich des identischen Kalkuls hereinzuziehen haben, werden ausschliess- lich aus Beziehungen dieser Sorte, aus "Subsumtionen" aufgebaut, so- dass wir ungeachtet seiner später vollzogenen Erweiterungen und scheinbar grösseren Tragweite doch sagen können, der identische Kalkul beruhe einfach und ganz auf dem Studium der Subsumtionen.
Wir werden die Gesetze dieses Kalkuls zunächst (unter Beihülfe der Wortsprache) in der allgemeinen Form mathematischer Beweisführung begründen, für welche seinerzeit die Geometrie des Euklides muster- gültig geworden ist, um hernach in einem Rückblicke zu erkennen, dass bei den Schlüssen ebendieser Beweisführung nur die Prinzipien dieses Kalkuls selber angewendet worden sind.
Niemand, der für Reinheit der Methode und Konsequenz des Ver- fahrens Sinn besitzt, wird sich dem Eindruck der Schönheit und mathe- matischen Eleganz des damit geschaffenen wissenschaftlichen Systems verschliessen können. Freilich wird man, um diesen Eindruck ganz ungetrübt zu gewinnen, möglichst abzusehen haben von allem Beiwerk der hiernächst zu entwickelnden Theorie.
Das Beiwerk ist zu einem Teile ein kritisches, insofern uns obliegen wird, die gewählten Bezeichnungsweisen, die das Fundament der Zeichen- sprache bilden, zu motiviren, sie zu rechtfertigen gegen etwaige Ausstel- lungen von mathematischer nicht minder, wie von philosophischer Seite. Überhaupt werden wir auf vorauszusehende Einwände sowol, wie auf ent- gegenstehende Lehrmeinungen philosophischer Systeme und Ausführungen namhafter Mitarbeiter und Philosophen oft Rücksicht zu nehmen, solche nötigenfalls zu widerlegen haben. Und die Eigenart unsrer Behandlungs-
§ 3. Identischer Kalkul mit Gebieten einer Mannigfaltigkeit.
es anfänglich eine bewusste Anstrengung kosten, hier, wo es unumgänglich ist, isch zu emanzipiren von jener Gewöhnung, mit den uns Flächen dar- stellenden Buchstaben in Verbindung zu bringen die Vorstellung von metri schen Relationen.
Jedes spezielle Gebiet, das wir so unter einem Buchstaben a ver- stehen mögen, nennen wir einen „Wert“ (valor, value) des letztern.
Als erste Beziehung, welche zwischen zwei Gebieten a und b be- stehen kann, fassen wir nun im identischen Kalkul die Beziehung der Subsumtion: a ⋹ b in's Auge, die uns ausdrücken wird, dass das Gebiet a (das „Subjekt- gebiet“) sich dem Gebiete b (dem „Prädikatgebiet“) einordne, dass a in b enthalten sei — so wie es, nebenbei gesagt, die Alternative zwischen den Figuren 1 und 2 veranschaulicht.
Den Sinn ebendieser Beziehung setzen wir einzig und allein als bekannt voraus.
Alle andern Begriffe und Beziehungen, die wir noch in den Be- reich des identischen Kalkuls hereinzuziehen haben, werden ausschliess- lich aus Beziehungen dieser Sorte, aus „Subsumtionen“ aufgebaut, so- dass wir ungeachtet seiner später vollzogenen Erweiterungen und scheinbar grösseren Tragweite doch sagen können, der identische Kalkul beruhe einfach und ganz auf dem Studium der Subsumtionen.
Wir werden die Gesetze dieses Kalkuls zunächst (unter Beihülfe der Wortsprache) in der allgemeinen Form mathematischer Beweisführung begründen, für welche seinerzeit die Geometrie des Euklides muster- gültig geworden ist, um hernach in einem Rückblicke zu erkennen, dass bei den Schlüssen ebendieser Beweisführung nur die Prinzipien dieses Kalkuls selber angewendet worden sind.
Niemand, der für Reinheit der Methode und Konsequenz des Ver- fahrens Sinn besitzt, wird sich dem Eindruck der Schönheit und mathe- matischen Eleganz des damit geschaffenen wissenschaftlichen Systems verschliessen können. Freilich wird man, um diesen Eindruck ganz ungetrübt zu gewinnen, möglichst abzusehen haben von allem Beiwerk der hiernächst zu entwickelnden Theorie.
Das Beiwerk ist zu einem Teile ein kritisches, insofern uns obliegen wird, die gewählten Bezeichnungsweisen, die das Fundament der Zeichen- sprache bilden, zu motiviren, sie zu rechtfertigen gegen etwaige Ausstel- lungen von mathematischer nicht minder, wie von philosophischer Seite. Überhaupt werden wir auf vorauszusehende Einwände sowol, wie auf ent- gegenstehende Lehrmeinungen philosophischer Systeme und Ausführungen namhafter Mitarbeiter und Philosophen oft Rücksicht zu nehmen, solche nötigenfalls zu widerlegen haben. Und die Eigenart unsrer Behandlungs-
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§ 3. Identischer Kalkul mit Gebieten einer Mannigfaltigkeit.
es anfänglich eine bewusste Anstrengung kosten, hier, wo es unumgänglich
ist, isch zu emanzipiren von jener Gewöhnung, mit den uns Flächen dar-
stellenden Buchstaben in Verbindung zu bringen die Vorstellung von metri
schen Relationen.
Jedes spezielle Gebiet, das wir so unter einem Buchstaben a ver-
stehen mögen, nennen wir einen „Wert“ (valor, value) des letztern.
Als erste Beziehung, welche zwischen zwei Gebieten a und b be-
stehen kann, fassen wir nun im identischen Kalkul die Beziehung der
Subsumtion:
a ⋹ b
in's Auge, die uns ausdrücken wird, dass das Gebiet a (das „Subjekt-
gebiet“) sich dem Gebiete b (dem „Prädikatgebiet“) einordne, dass a in b
enthalten sei — so wie es, nebenbei gesagt, die Alternative zwischen
den Figuren 1 und 2 veranschaulicht.
Den Sinn ebendieser Beziehung setzen wir einzig und allein als
bekannt voraus.
Alle andern Begriffe und Beziehungen, die wir noch in den Be-
reich des identischen Kalkuls hereinzuziehen haben, werden ausschliess-
lich aus Beziehungen dieser Sorte, aus „Subsumtionen“ aufgebaut, so-
dass wir ungeachtet seiner später vollzogenen Erweiterungen und
scheinbar grösseren Tragweite doch sagen können, der identische
Kalkul beruhe einfach und ganz auf dem Studium der Subsumtionen.
Wir werden die Gesetze dieses Kalkuls zunächst (unter Beihülfe
der Wortsprache) in der allgemeinen Form mathematischer Beweisführung
begründen, für welche seinerzeit die Geometrie des Euklides muster-
gültig geworden ist, um hernach in einem Rückblicke zu erkennen,
dass bei den Schlüssen ebendieser Beweisführung nur die Prinzipien
dieses Kalkuls selber angewendet worden sind.
Niemand, der für Reinheit der Methode und Konsequenz des Ver-
fahrens Sinn besitzt, wird sich dem Eindruck der Schönheit und mathe-
matischen Eleganz des damit geschaffenen wissenschaftlichen Systems
verschliessen können. Freilich wird man, um diesen Eindruck ganz
ungetrübt zu gewinnen, möglichst abzusehen haben von allem Beiwerk
der hiernächst zu entwickelnden Theorie.
Das Beiwerk ist zu einem Teile ein kritisches, insofern uns obliegen
wird, die gewählten Bezeichnungsweisen, die das Fundament der Zeichen-
sprache bilden, zu motiviren, sie zu rechtfertigen gegen etwaige Ausstel-
lungen von mathematischer nicht minder, wie von philosophischer Seite.
Überhaupt werden wir auf vorauszusehende Einwände sowol, wie auf ent-
gegenstehende Lehrmeinungen philosophischer Systeme und Ausführungen
namhafter Mitarbeiter und Philosophen oft Rücksicht zu nehmen, solche
nötigenfalls zu widerlegen haben. Und die Eigenart unsrer Behandlungs-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 159. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/179>, abgerufen am 19.04.2024.
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