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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
Dagegen würde die Ableitung von (3)' aus Def. (5) eine etwas höhere
Anforderung an das abstrakte Denken stellen.

Ich will diese Ableitung nur für die Sätze zur Linken des Mittel-
striches darlegen.

Wir können die Def. (5x) auch so in Worte fassen: Die Redens-
art: "c enthält a b" -- in Formel: "a b c" heisst: jedes in a und b
zugleich enthaltene x ist auch in c enthalten.

Auf diese Def. ist nun die Erklärung der andern Redensart: "c
ist in a b enthalten" oder "c a b" zurückzuführen mittelst des Th. 10x)
-- wonach ebendieses heissen wird:
jedes a b enthaltende x (jedes x, welches a b enthält) muss auch c
enthalten.

Fügt man in diese Erklärung ein, was die (in der Klammer wieder-
holte) Voraussetzung "x a b" nach der vorhergehenden Erklärung (5x)
bedeutet, indem man das dortige c mit x identifizirt, und für den hier
bereits anderweitig vergebenen Buchstaben x einen andern, y, gebraucht,
so ergibt sich als die auf Def. (5x) zu gründende Erklärung von a b
als Prädikat die folgende:
"c a b" heisst: jedes x, welchem jedes in a und b enthaltene y ein-
geordnet ist, muss auch c enthalten.

Auf Grund dieser Definition ist nun zu zeigen, dass wenn c a
und c b ist, auch c a b sein muss.

Gesetzt nun, es sei wirklich c a und zugleich c b.

Dann ist c selber ein solches in a und b enthaltenes y.

Es ist nun zu zeigen, dass jedes x, welchem jedes in a und b
enthaltene y eingeordnet ist, auch c enthält.

Sei x irgend ein Gebiet, welchem jedes in a und b enthaltene y
eingeordnet ist. So ist diesem x auch das vorhin erwähnte y, welches
einerlei mit c war, eingeordnet, oder es muss dasselbe x auch c ent-
halten. Unter den genannten Voraussetzungen (c a und c b) trifft
demnach die letzte Definition zu und sind wir berechtigt zu sagen, es
sei c a b -- womit nun auch (3x)'' gewonnen und die ganze Def. (3x)
aus der (5x) abgeleitet ist.

Aus alledem geht hervor, dass es zwar praktikabel, doch jeden-
falls nicht vorteilhaft ist, den von uns zurückgelegten Weg im ent-
gegengesetzten Sinne zu durchlaufen.

Allerdings, sobald für a b resp. a + b die Art und Weise der Ver-
wendung -- sei es als Subjekt, sei es als Prädikat -- vorgeschrieben
ist, erscheint damit von selbst auch die Verwendung in dem umge-
kehrten Sinne geregelt. Welche von den beiden Verwendungsweisen

Schröder, Algebra der Logik. 14

§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
Dagegen würde die Ableitung von (3)' aus Def. (5) eine etwas höhere
Anforderung an das abstrakte Denken stellen.

Ich will diese Ableitung nur für die Sätze zur Linken des Mittel-
striches darlegen.

Wir können die Def. (5×) auch so in Worte fassen: Die Redens-
art: „c enthält a b“ — in Formel: „a b ⋹ c“ heisst: jedes in a und b
zugleich enthaltene x ist auch in c enthalten.

Auf diese Def. ist nun die Erklärung der andern Redensart: „c
ist in a b enthalten“ oder „c ⋹ a b“ zurückzuführen mittelst des Th. 10×)
— wonach ebendieses heissen wird:
jedes a b enthaltende x (jedes x, welches a b enthält) muss auch c
enthalten.

Fügt man in diese Erklärung ein, was die (in der Klammer wieder-
holte) Voraussetzung „x ⋹ a b“ nach der vorhergehenden Erklärung (5×)
bedeutet, indem man das dortige c mit x identifizirt, und für den hier
bereits anderweitig vergebenen Buchstaben x einen andern, y, gebraucht,
so ergibt sich als die auf Def. (5×) zu gründende Erklärung von a b
als Prädikat die folgende:
„c ⋹ a b“ heisst: jedes x, welchem jedes in a und b enthaltene y ein-
geordnet ist, muss auch c enthalten.

Auf Grund dieser Definition ist nun zu zeigen, dass wenn c ⋹ a
und c ⋹ b ist, auch c ⋹ a b sein muss.

Gesetzt nun, es sei wirklich c ⋹ a und zugleich c ⋹ b.

Dann ist c selber ein solches in a und b enthaltenes y.

Es ist nun zu zeigen, dass jedes x, welchem jedes in a und b
enthaltene y eingeordnet ist, auch c enthält.

Sei x irgend ein Gebiet, welchem jedes in a und b enthaltene y
eingeordnet ist. So ist diesem x auch das vorhin erwähnte y, welches
einerlei mit c war, eingeordnet, oder es muss dasselbe x auch c ent-
halten. Unter den genannten Voraussetzungen (c ⋹ a und c ⋹ b) trifft
demnach die letzte Definition zu und sind wir berechtigt zu sagen, es
sei c ⋹ a b — womit nun auch (3×)'' gewonnen und die ganze Def. (3×)
aus der (5×) abgeleitet ist.

Aus alledem geht hervor, dass es zwar praktikabel, doch jeden-
falls nicht vorteilhaft ist, den von uns zurückgelegten Weg im ent-
gegengesetzten Sinne zu durchlaufen.

Allerdings, sobald für a b resp. a + b die Art und Weise der Ver-
wendung — sei es als Subjekt, sei es als Prädikat — vorgeschrieben
ist, erscheint damit von selbst auch die Verwendung in dem umge-
kehrten Sinne geregelt. Welche von den beiden Verwendungsweisen

Schröder, Algebra der Logik. 14
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[209/0229] § 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition. Dagegen würde die Ableitung von (3)' aus Def. (5) eine etwas höhere Anforderung an das abstrakte Denken stellen. Ich will diese Ableitung nur für die Sätze zur Linken des Mittel- striches darlegen. Wir können die Def. (5×) auch so in Worte fassen: Die Redens- art: „c enthält a b“ — in Formel: „a b ⋹ c“ heisst: jedes in a und b zugleich enthaltene x ist auch in c enthalten. Auf diese Def. ist nun die Erklärung der andern Redensart: „c ist in a b enthalten“ oder „c ⋹ a b“ zurückzuführen mittelst des Th. 10×) — wonach ebendieses heissen wird: jedes a b enthaltende x (jedes x, welches a b enthält) muss auch c enthalten. Fügt man in diese Erklärung ein, was die (in der Klammer wieder- holte) Voraussetzung „x ⋹ a b“ nach der vorhergehenden Erklärung (5×) bedeutet, indem man das dortige c mit x identifizirt, und für den hier bereits anderweitig vergebenen Buchstaben x einen andern, y, gebraucht, so ergibt sich als die auf Def. (5×) zu gründende Erklärung von a b als Prädikat die folgende: „c ⋹ a b“ heisst: jedes x, welchem jedes in a und b enthaltene y ein- geordnet ist, muss auch c enthalten. Auf Grund dieser Definition ist nun zu zeigen, dass wenn c ⋹ a und c ⋹ b ist, auch c ⋹ a b sein muss. Gesetzt nun, es sei wirklich c ⋹ a und zugleich c ⋹ b. Dann ist c selber ein solches in a und b enthaltenes y. Es ist nun zu zeigen, dass jedes x, welchem jedes in a und b enthaltene y eingeordnet ist, auch c enthält. Sei x irgend ein Gebiet, welchem jedes in a und b enthaltene y eingeordnet ist. So ist diesem x auch das vorhin erwähnte y, welches einerlei mit c war, eingeordnet, oder es muss dasselbe x auch c ent- halten. Unter den genannten Voraussetzungen (c ⋹ a und c ⋹ b) trifft demnach die letzte Definition zu und sind wir berechtigt zu sagen, es sei c ⋹ a b — womit nun auch (3×)'' gewonnen und die ganze Def. (3×) aus der (5×) abgeleitet ist. Aus alledem geht hervor, dass es zwar praktikabel, doch jeden- falls nicht vorteilhaft ist, den von uns zurückgelegten Weg im ent- gegengesetzten Sinne zu durchlaufen. Allerdings, sobald für a b resp. a + b die Art und Weise der Ver- wendung — sei es als Subjekt, sei es als Prädikat — vorgeschrieben ist, erscheint damit von selbst auch die Verwendung in dem umge- kehrten Sinne geregelt. Welche von den beiden Verwendungsweisen Schröder, Algebra der Logik. 14

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 209. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/229>, abgerufen am 16.04.2024.