Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite

Dritte Vorlesung.
wir aber als die ursprüngliche Definition zuerst festlegen, ist deshalb
doch nicht gleichgültig, sondern das in § 5 eingeschlagene Verfahren
vorzuziehen.

11x) Theorem.11+) Theorem.

Es gibt nun ein "Gebiet" c, welches die Forderung der Definitionen

(3x) oder (4x) und (5x), d. i.
7x) und 9x)
(3+) oder (4+) und (5+), d. i.
7+) und 9+)
gleichzeitig erfüllt für dieselben (irgendwie) gegebnen Gebiete a, b.

Da für dieses

c a b und a b ca + b c und c a + b
zugleich sein wird, so ist dasselbe
c = a bc = a + b
selbst zu nennen.

Zusatz. Es kann jedenfalls nur ein solches c geben.

Denn wäre auch noch c' ein solches, so folgt ebenso:

c' = a bc' = a + b
und damit nach Th. 4) c' = c.

Beweis des Theorems. Dieser besteht in der Verbindung zweier
Überlegungen, von denen die eine -- allerdings modifizirt -- unter
Th. 6) schon einmal augestellt worden ist. Er möge demungeachtet
hier ganz zum Bewusstsein gebracht werden. -- Wie schon erwähnt,
sind nach I die Formeln
a)

a b a ba + b a + b
als gültige anzuerkennen. Nach
Th. 9x) wenn das a b rechts in a)Th. 9+) wenn das a + b links
mit c in Gedanken identifizirt wird, erkennt man aber, dass die obige
Aussage a) den Inhalt hat, dass jedes x, für welches
x a nebst x ba x nebst b x
ist, auch die Forderung erfüllen muss:
x a ba + b x.
Dagegen nach
Th. 7x) wenn das a b linkerhandTh. 7+) wenn das a + b rechterhand
in a) mit dem c daselbst identifizirt wird, sagt ebendieser Satz a) aus,
dass umgekehrt jedes x, für welches
x a ba + b x
ist, auch die Bedingung erfüllen wird
x a nebst x ba x nebst b x.

Dritte Vorlesung.
wir aber als die ursprüngliche Definition zuerst festlegen, ist deshalb
doch nicht gleichgültig, sondern das in § 5 eingeschlagene Verfahren
vorzuziehen.

11×) Theorem.11+) Theorem.

Es gibt nun einGebietc, welches die Forderung der Definitionen

(3×) oder (4×) und (5×), d. i.
7×) und 9×)
(3+) oder (4+) und (5+), d. i.
7+) und 9+)
gleichzeitig erfüllt für dieselben (irgendwie) gegebnen Gebiete a, b.

Da für dieses

ca b und a bca + bc und ca + b
zugleich sein wird, so ist dasselbe
c = a bc = a + b
selbst zu nennen.

Zusatz. Es kann jedenfalls nur ein solches c geben.

Denn wäre auch noch c' ein solches, so folgt ebenso:

c' = a bc' = a + b
und damit nach Th. 4) c' = c.

Beweis des Theorems. Dieser besteht in der Verbindung zweier
Überlegungen, von denen die eine — allerdings modifizirt — unter
Th. 6) schon einmal augestellt worden ist. Er möge demungeachtet
hier ganz zum Bewusstsein gebracht werden. — Wie schon erwähnt,
sind nach I die Formeln
α)

a ba ba + ba + b
als gültige anzuerkennen. Nach
Th. 9×) wenn das a b rechts in α)Th. 9+) wenn das a + b links
mit c in Gedanken identifizirt wird, erkennt man aber, dass die obige
Aussage α) den Inhalt hat, dass jedes x, für welches
xa nebst xbax nebst bx
ist, auch die Forderung erfüllen muss:
xa ba + bx.
Dagegen nach
Th. 7×) wenn das a b linkerhandTh. 7+) wenn das a + b rechterhand
in α) mit dem c daselbst identifizirt wird, sagt ebendieser Satz α) aus,
dass umgekehrt jedes x, für welches
xa ba + bx
ist, auch die Bedingung erfüllen wird
xa nebst xbax nebst bx.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0230" n="210"/><fw place="top" type="header">Dritte Vorlesung.</fw><lb/>
wir aber als die ursprüngliche Definition zuerst festlegen, ist deshalb<lb/>
doch nicht gleichgültig, sondern das in § 5 eingeschlagene Verfahren<lb/>
vorzuziehen.</p><lb/>
          <table>
            <row>
              <cell>11<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#g">Theorem</hi>.</cell>
              <cell>11<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#g">Theorem</hi>.</cell>
            </row><lb/>
          </table>
          <p><hi rendition="#i">Es gibt</hi> nun <hi rendition="#i">ein</hi> &#x201E;<hi rendition="#i">Gebiet</hi>&#x201C; <hi rendition="#i">c, welches die Forderung der Definitionen</hi><lb/><table><row><cell>(3<hi rendition="#sub">×</hi>) oder (4<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#i">und</hi> (5<hi rendition="#sub">×</hi>), d. i.<lb/><hi rendition="#i">7</hi><hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#i">und 9</hi><hi rendition="#sub">×</hi>)</cell><cell>(3<hi rendition="#sub">+</hi>) oder (4<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#i">und</hi> (5<hi rendition="#sub">+</hi>), d. i.<lb/><hi rendition="#i">7</hi><hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#i">und 9</hi><hi rendition="#sub">+</hi>)</cell></row><lb/></table> <hi rendition="#i">gleichzeitig erfüllt</hi> für dieselben (irgendwie) gegebnen Gebiete <hi rendition="#i">a, b</hi>.</p><lb/>
          <p>Da für dieses<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a b</hi> und <hi rendition="#i">a b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi></cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi></cell></row><lb/></table> zugleich sein wird, so ist dasselbe<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell><hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi></cell></row><lb/></table> selbst zu nennen.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Zusatz</hi>. <hi rendition="#i">Es kann jedenfalls nur ein solches c geben.</hi></p><lb/>
          <p>Denn wäre auch noch <hi rendition="#i">c</hi>' ein solches, so folgt ebenso:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">c</hi>' = <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell><hi rendition="#i">c</hi>' = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi></cell></row><lb/></table> und damit nach Th. 4) <hi rendition="#i">c</hi>' = <hi rendition="#i">c</hi>.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweis</hi> des Theorems. Dieser besteht in der Verbindung zweier<lb/>
Überlegungen, von denen die eine &#x2014; allerdings modifizirt &#x2014; unter<lb/>
Th. 6) schon einmal augestellt worden ist. Er möge demungeachtet<lb/>
hier ganz zum Bewusstsein gebracht werden. &#x2014; Wie schon erwähnt,<lb/>
sind nach I die Formeln<lb/><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) <table><lb/><row><cell><hi rendition="#i">a b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi></cell></row><lb/></table> als gültige anzuerkennen. Nach<lb/><table><row><cell>Th. 9<hi rendition="#sub">×</hi>) wenn das <hi rendition="#i">a b</hi> rechts in <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>)</cell><cell>Th. 9<hi rendition="#sub">+</hi>) wenn das <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> links</cell></row><lb/></table> mit <hi rendition="#i">c</hi> in Gedanken identifizirt wird, erkennt man aber, dass die obige<lb/>
Aussage <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) den Inhalt hat, dass jedes <hi rendition="#i">x</hi>, für welches<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> nebst <hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi></cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> nebst <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi></cell></row><lb/></table> ist, auch die Forderung erfüllen muss:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>.</cell></row><lb/></table> Dagegen nach<lb/><table><row><cell>Th. 7<hi rendition="#sub">×</hi>) wenn das <hi rendition="#i">a b</hi> linkerhand</cell><cell>Th. 7<hi rendition="#sub">+</hi>) wenn das <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> rechterhand</cell></row><lb/></table> in <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) mit dem <hi rendition="#i">c</hi> daselbst identifizirt wird, sagt ebendieser Satz <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) aus,<lb/>
dass umgekehrt jedes <hi rendition="#i">x</hi>, für welches<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi></cell></row><lb/></table> ist, auch die Bedingung erfüllen wird<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> nebst <hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi></cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> nebst <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>.</cell></row><lb/></table></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[210/0230] Dritte Vorlesung. wir aber als die ursprüngliche Definition zuerst festlegen, ist deshalb doch nicht gleichgültig, sondern das in § 5 eingeschlagene Verfahren vorzuziehen. 11×) Theorem. 11+) Theorem. Es gibt nun ein „Gebiet“ c, welches die Forderung der Definitionen (3×) oder (4×) und (5×), d. i. 7×) und 9×) (3+) oder (4+) und (5+), d. i. 7+) und 9+) gleichzeitig erfüllt für dieselben (irgendwie) gegebnen Gebiete a, b. Da für dieses c ⋹ a b und a b ⋹ c a + b ⋹ c und c ⋹ a + b zugleich sein wird, so ist dasselbe c = a b c = a + b selbst zu nennen. Zusatz. Es kann jedenfalls nur ein solches c geben. Denn wäre auch noch c' ein solches, so folgt ebenso: c' = a b c' = a + b und damit nach Th. 4) c' = c. Beweis des Theorems. Dieser besteht in der Verbindung zweier Überlegungen, von denen die eine — allerdings modifizirt — unter Th. 6) schon einmal augestellt worden ist. Er möge demungeachtet hier ganz zum Bewusstsein gebracht werden. — Wie schon erwähnt, sind nach I die Formeln α) a b ⋹ a b a + b ⋹ a + b als gültige anzuerkennen. Nach Th. 9×) wenn das a b rechts in α) Th. 9+) wenn das a + b links mit c in Gedanken identifizirt wird, erkennt man aber, dass die obige Aussage α) den Inhalt hat, dass jedes x, für welches x ⋹ a nebst x ⋹ b a ⋹ x nebst b ⋹ x ist, auch die Forderung erfüllen muss: x ⋹ a b a + b ⋹ x. Dagegen nach Th. 7×) wenn das a b linkerhand Th. 7+) wenn das a + b rechterhand in α) mit dem c daselbst identifizirt wird, sagt ebendieser Satz α) aus, dass umgekehrt jedes x, für welches x ⋹ a b a + b ⋹ x ist, auch die Bedingung erfüllen wird x ⋹ a nebst x ⋹ b a ⋹ x nebst b ⋹ x.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/230
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 210. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/230>, abgerufen am 09.04.2020.