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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Ist a b, so kommt nach 15x):
a a a b, oder wegen 14x): a a b.
Da nun nach 6x) ohnehin a b a
gilt, so ist nach Def. (1) bewiesen,
dass a = a b ist.
Ist a b, so kommt nach 15+):
a + b b + b, oder wegen 14+):
a + b b. Da nun nach 6+) ohne-
hin b a + b gilt, so ist a + b = b
nach (1) bewiesen.

Für Gebiete wird der vorstehende Satz durch die Figuren 1 und 2
versinnlicht.

Exempel für Klassen. Rappen sind Pferde. Also sind Pferde, welche
Rappen sind, nichts anderes als Rappen. Desgl. Rappen oder Pferde sind
schlechtweg Pferde. Es versteht sich, dass unsre Exemplifikationen noch
in der mannigfaltigsten Weise vermehrt werden könnten.

Zusatz. Im Th. 20) ist mitenthalten das Theorem von Robert
Grassmann
, dass auch die beiden Gleichungen einander gegenseitig
bedingen. Das nämliche gilt von den beiden Subsumtionen:
a a b und a + b b,
die ja mit solchen des Th. 6) in jene Gleichungen zusammenfliessen:
Auch diese beiden sind mit den drei obigen äquivalente Aussagen. --

Schreiben wir nun die Subsumtionen der Def. (2): 0 a und a 1
nach Vorbild des Th. 20) in Gleichungen um, so erhalten wir augen-
blicklich die folgenden Theoreme (die als "reine" Gesetze erscheinen):

21x) Theorem. a · 1 = a.21+) Theorem. a + 0 = a.
22x) Theorem. a · 0 = 0.22+) Theorem. a + 1 = 1.

In Worten bezüglich:

Mit 1 multipliziren ändert nichts,
oder: Der Faktor 1 kann nach Be-
lieben gesetzt oder unterdrückt
werden. (Darum heisst 1 der Mo-
dul der Multiplikation
.)
Null addiren ändert nichts, oder:
als Summand kann 0 nach Belieben
zugefügt oder weggelassen werden.
(Deshalb mag 0 auch der Modul
der Addition
genannt werden.)
Ein Produkt verschwindet, sobald
ein Faktor desselben
0 wird.
Eine Summe nimmt den Wert 1
an, sobald ein Term derselben gleich 1
wird.

Die beiden letzten Sätze sind nämlich auch leicht auf beliebig viele
Operationsglieder auszudehnen.

Durch die Voranstellung des Th. 20) haben wir hier die aller-
dings hübschen vier direkten Beweise, welche Peirce von diesen
Sätzen gibt, erspart. Zum Überfluss seien auch diese hier reproduzirt.

Beweis von 21x). Nach 6x) ist
a · 1 a. Aus der Subsumtion von
I : a a nebst derjenigen (2+): a 1
Beweis von 21+). Nach I ist:
a a, und nach (2x) ist: 0 a.
Hieraus folgt nach dem Schema (3+)':
Ist ab, so kommt nach 15×):
a aa b, oder wegen 14×): aa b.
Da nun nach 6×) ohnehin a ba
gilt, so ist nach Def. (1) bewiesen,
dass a = a b ist.
Ist ab, so kommt nach 15+):
a + bb + b, oder wegen 14+):
a + bb. Da nun nach 6+) ohne-
hin ba + b gilt, so ist a + b = b
nach (1) bewiesen.

Für Gebiete wird der vorstehende Satz durch die Figuren 1 und 2
versinnlicht.

Exempel für Klassen. Rappen sind Pferde. Also sind Pferde, welche
Rappen sind, nichts anderes als Rappen. Desgl. Rappen oder Pferde sind
schlechtweg Pferde. Es versteht sich, dass unsre Exemplifikationen noch
in der mannigfaltigsten Weise vermehrt werden könnten.

Zusatz. Im Th. 20) ist mitenthalten das Theorem von Robert
Grassmann
, dass auch die beiden Gleichungen einander gegenseitig
bedingen. Das nämliche gilt von den beiden Subsumtionen:
aa b und a + bb,
die ja mit solchen des Th. 6) in jene Gleichungen zusammenfliessen:
Auch diese beiden sind mit den drei obigen äquivalente Aussagen.

Schreiben wir nun die Subsumtionen der Def. (2): 0 ⋹ a und a ⋹ 1
nach Vorbild des Th. 20) in Gleichungen um, so erhalten wir augen-
blicklich die folgenden Theoreme (die als „reine“ Gesetze erscheinen):

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22×) Theorem. a · 0 = 0.22+) Theorem. a + 1 = 1.

In Worten bezüglich:

Mit 1 multipliziren ändert nichts,
oder: Der Faktor 1 kann nach Be-
lieben gesetzt oder unterdrückt
werden. (Darum heisst 1 der Mo-
dul der Multiplikation
.)
Null addiren ändert nichts, oder:
als Summand kann 0 nach Belieben
zugefügt oder weggelassen werden.
(Deshalb mag 0 auch der Modul
der Addition
genannt werden.)
Ein Produkt verschwindet, sobald
ein Faktor desselben
0 wird.
Eine Summe nimmt den Wert 1
an, sobald ein Term derselben gleich 1
wird.

Die beiden letzten Sätze sind nämlich auch leicht auf beliebig viele
Operationsglieder auszudehnen.

Durch die Voranstellung des Th. 20) haben wir hier die aller-
dings hübschen vier direkten Beweise, welche Peirce von diesen
Sätzen gibt, erspart. Zum Überfluss seien auch diese hier reproduzirt.

Beweis von 21×). Nach 6×) ist
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[271/0291] § 11. Gemischte Gesetze. Ist a ⋹ b, so kommt nach 15×): a a ⋹ a b, oder wegen 14×): a ⋹ a b. Da nun nach 6×) ohnehin a b ⋹ a gilt, so ist nach Def. (1) bewiesen, dass a = a b ist. Ist a ⋹ b, so kommt nach 15+): a + b ⋹ b + b, oder wegen 14+): a + b ⋹ b. Da nun nach 6+) ohne- hin b ⋹ a + b gilt, so ist a + b = b nach (1) bewiesen. Für Gebiete wird der vorstehende Satz durch die Figuren 1 und 2 versinnlicht. Exempel für Klassen. Rappen sind Pferde. Also sind Pferde, welche Rappen sind, nichts anderes als Rappen. Desgl. Rappen oder Pferde sind schlechtweg Pferde. Es versteht sich, dass unsre Exemplifikationen noch in der mannigfaltigsten Weise vermehrt werden könnten. Zusatz. Im Th. 20) ist mitenthalten das Theorem von Robert Grassmann, dass auch die beiden Gleichungen einander gegenseitig bedingen. Das nämliche gilt von den beiden Subsumtionen: a ⋹ a b und a + b ⋹ b, die ja mit solchen des Th. 6) in jene Gleichungen zusammenfliessen: Auch diese beiden sind mit den drei obigen äquivalente Aussagen. — Schreiben wir nun die Subsumtionen der Def. (2): 0 ⋹ a und a ⋹ 1 nach Vorbild des Th. 20) in Gleichungen um, so erhalten wir augen- blicklich die folgenden Theoreme (die als „reine“ Gesetze erscheinen): 21×) Theorem. a · 1 = a. 21+) Theorem. a + 0 = a. 22×) Theorem. a · 0 = 0. 22+) Theorem. a + 1 = 1. In Worten bezüglich: Mit 1 multipliziren ändert nichts, oder: Der Faktor 1 kann nach Be- lieben gesetzt oder unterdrückt werden. (Darum heisst 1 der Mo- dul der Multiplikation.) Null addiren ändert nichts, oder: als Summand kann 0 nach Belieben zugefügt oder weggelassen werden. (Deshalb mag 0 auch der Modul der Addition genannt werden.) Ein Produkt verschwindet, sobald ein Faktor desselben 0 wird. Eine Summe nimmt den Wert 1 an, sobald ein Term derselben gleich 1 wird. Die beiden letzten Sätze sind nämlich auch leicht auf beliebig viele Operationsglieder auszudehnen. Durch die Voranstellung des Th. 20) haben wir hier die aller- dings hübschen vier direkten Beweise, welche Peirce von diesen Sätzen gibt, erspart. Zum Überfluss seien auch diese hier reproduzirt. Beweis von 21×). Nach 6×) ist a · 1 ⋹ a. Aus der Subsumtion von I : a ⋹ a nebst derjenigen (2+): a ⋹ 1 Beweis von 21+). Nach I ist: a ⋹ a, und nach (2×) ist: 0 ⋹ a. Hieraus folgt nach dem Schema (3+)':

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 271. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/291>, abgerufen am 05.04.2020.