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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Eilfte Vorlesung.
§ 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Sub-
sumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen.

Um das Einfachste und Wichtigste vorweg zu erledigen, stellen
wir an die Spitze den Satz:
49+) Theorem. Die Gleichung
a x + b x1 = 0

ist äquivalent einer jeden der beiden Doppelsubsumtionen:
b x a1 resp. a x1 b1,
d. h. ausführlicher gesprochen, dem Paare von Subsumtionen:
b x, x a1 resp. a x1, x1 b1
mit welchem nebenher dem Prinzip II gemäss gegeben ist:
b a1 sowie a b1.
Allemal ist also die Unbekannte zwischen dem Koeffizienten ihrer Nega-
tion und der Negation ihres Koeffizienten gelegen
.

Beweis. Nach Th. 24+) zerfällt die gegebene Gleichung ohne
Einbusse an Inhalt in die beiden
a x = 0 und b x1 = 0;
die letztere von diesen ist aber nach Th. 38x) äquivalent der Subsum-
tion b x und die erste äquivalent der x a1, und damit ist die
erste Doppelsubsumtion b x a1 nicht nur bewiesen, sondern auch
als mit der gegebnen Gleichung äquivalent erkannt.

Das Th. 38x) lässt aber auf vorstehende zwei Gleichungen sich
auch noch auf eine zweite Weise anwenden: indem man links, statt
des einen, den andern Faktor isolirt; so ergeben sich auch direkt die
beiden Subsumtionen a x1, x1 b1 des andern Paares, welche zu
einfacherer Schreibung sich in die zweite Doppelsubsumtion a x1 b1
zusammenziehen lassen.

Überdies folgen aber auch die beiden Subsumtionen des zweiten
Paares durch "Konversion mittelst Kontraposition" nach Th. 37) --
unter Berücksichtigung von Th. 31) -- aus denen des ersten, und ebenso
also auch die eine Doppelsubsumtion aus der andern.

Endlich kann man, nachdem die erste Doppelsubsumtion wie
vorstehend bewiesen, als der Gleichung
a x + b x1 = 0
üquivalent nachgewiesen ist, die zweite auch durch blosse Buchstaben-

Eilfte Vorlesung.
§ 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Sub-
sumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen.

Um das Einfachste und Wichtigste vorweg zu erledigen, stellen
wir an die Spitze den Satz:
49+) Theorem. Die Gleichung
a x + b x1 = 0

ist äquivalent einer jeden der beiden Doppelsubsumtionen:
bxa1 resp. ax1b1,
d. h. ausführlicher gesprochen, dem Paare von Subsumtionen:
bx, xa1 resp. ax1, x1b1
mit welchem nebenher dem Prinzip II gemäss gegeben ist:
ba1 sowie ab1.
Allemal ist also die Unbekannte zwischen dem Koeffizienten ihrer Nega-
tion und der Negation ihres Koeffizienten gelegen
.

Beweis. Nach Th. 24+) zerfällt die gegebene Gleichung ohne
Einbusse an Inhalt in die beiden
a x = 0 und b x1 = 0;
die letztere von diesen ist aber nach Th. 38×) äquivalent der Subsum-
tion bx und die erste äquivalent der xa1, und damit ist die
erste Doppelsubsumtion bxa1 nicht nur bewiesen, sondern auch
als mit der gegebnen Gleichung äquivalent erkannt.

Das Th. 38×) lässt aber auf vorstehende zwei Gleichungen sich
auch noch auf eine zweite Weise anwenden: indem man links, statt
des einen, den andern Faktor isolirt; so ergeben sich auch direkt die
beiden Subsumtionen ax1, x1b1 des andern Paares, welche zu
einfacherer Schreibung sich in die zweite Doppelsubsumtion ax1b1
zusammenziehen lassen.

Überdies folgen aber auch die beiden Subsumtionen des zweiten
Paares durch „Konversion mittelst Kontraposition“ nach Th. 37) —
unter Berücksichtigung von Th. 31) — aus denen des ersten, und ebenso
also auch die eine Doppelsubsumtion aus der andern.

Endlich kann man, nachdem die erste Doppelsubsumtion wie
vorstehend bewiesen, als der Gleichung
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[446/0466] Eilfte Vorlesung. § 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Sub- sumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen. Um das Einfachste und Wichtigste vorweg zu erledigen, stellen wir an die Spitze den Satz: 49+) Theorem. Die Gleichung a x + b x1 = 0 ist äquivalent einer jeden der beiden Doppelsubsumtionen: b ⋹ x ⋹ a1 resp. a ⋹ x1 ⋹ b1, d. h. ausführlicher gesprochen, dem Paare von Subsumtionen: b ⋹ x, x ⋹ a1 resp. a ⋹ x1, x1 ⋹ b1 mit welchem nebenher dem Prinzip II gemäss gegeben ist: b ⋹ a1 sowie a ⋹ b1. Allemal ist also die Unbekannte zwischen dem Koeffizienten ihrer Nega- tion und der Negation ihres Koeffizienten gelegen. Beweis. Nach Th. 24+) zerfällt die gegebene Gleichung ohne Einbusse an Inhalt in die beiden a x = 0 und b x1 = 0; die letztere von diesen ist aber nach Th. 38×) äquivalent der Subsum- tion b ⋹ x und die erste äquivalent der x ⋹ a1, und damit ist die erste Doppelsubsumtion b ⋹ x ⋹ a1 nicht nur bewiesen, sondern auch als mit der gegebnen Gleichung äquivalent erkannt. Das Th. 38×) lässt aber auf vorstehende zwei Gleichungen sich auch noch auf eine zweite Weise anwenden: indem man links, statt des einen, den andern Faktor isolirt; so ergeben sich auch direkt die beiden Subsumtionen a ⋹ x1, x1 ⋹ b1 des andern Paares, welche zu einfacherer Schreibung sich in die zweite Doppelsubsumtion a ⋹ x1 ⋹ b1 zusammenziehen lassen. Überdies folgen aber auch die beiden Subsumtionen des zweiten Paares durch „Konversion mittelst Kontraposition“ nach Th. 37) — unter Berücksichtigung von Th. 31) — aus denen des ersten, und ebenso also auch die eine Doppelsubsumtion aus der andern. Endlich kann man, nachdem die erste Doppelsubsumtion wie vorstehend bewiesen, als der Gleichung a x + b x1 = 0 üquivalent nachgewiesen ist, die zweite auch durch blosse Buchstaben-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/466>, S. 446, abgerufen am 22.09.2017.