des nach denselben entwickelten Polynoms der Gleichung gleich 0 setzt. [Ausdehnung von e) des § 21.]
Wir beweisen den Satz zunächst für irgend zwei Unbekannte x, y. Nach diesen entwickelt hat die Gleichung die Form:
a) a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1 = 0,
oder nach x geordnet:
b) (a y + b y1) x + (c y + d y1) x1 = 0,
desgleichen nach y geordnet:
g) (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1 = 0,
wobei die Koeffizienten a, b, c, d nun noch die übrigen Unbekannten z, ... als Argumente enthalten können.
Eliminirt man x allein, so kommt nach schon bekannter Regel:
b') (a y + b y1) (c y + d y1) = 0 oder a c y + b d y1 = 0,
und wenn hieraus jetzt y eliminirt wird: a c b d = 0.
Eliminirte man aber zuerst y, so käme
g') (a x + c x1) (b x + d x1) = 0 oder a b x + c d x1 = 0
woraus durch Elimination von x entsteht: a b c d = 0 -- das ist wesentlich dasselbe wie vorhin.
d) Es ist also zunächst gleichgültig, ob man erst x, dann y, oder ob man erst y, dann x eliminirt.
Die gefundene Relation a b c d = 0 muss nun aber auch die volle Resultante bei Elimination des Paars von Gebieten x, y sein. Denn wenn sie erfüllt ist, so gibt es jedenfalls (mindestens) ein Gebiet x, welches die vorhergehende Gleichung erfüllt -- vergl. d) des § 21). Weil diese aber die Resultante der Elimination von y aus der ersten Gleichung vorstellte und somit (für das gedachte x) erfüllt ist, so gibt es (zu diesem) nun auch ein y, welches die erste Gleichung erfüllt. Sonach gibt es, sobald die Relation a b c d = 0 erfüllt ist, sicherlich ein Wertepaar von x, y, für welches die ursprüngliche Gleichung rich- tig wird, d. h. diese Relation ist die (volle) Resultante der Elimina- tion von x und y zugleich.
In dieser Weise kann man weiter schliessen. Bezüglich dreier Unbekannten x, y, z entwickelt hat die Gleichung die Form: a x y z + b x y z1 + c x y1z + d x y1z1 + e x1y z + f x1y z1 + g x1y1z + h x1y1z1 = 0 und gibt die Elimination von z:
30*
§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte.
des nach denselben entwickelten Polynoms der Gleichung gleich 0 setzt. [Ausdehnung von η) des § 21.]
Wir beweisen den Satz zunächst für irgend zwei Unbekannte x, y. Nach diesen entwickelt hat die Gleichung die Form:
α) a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1 = 0,
oder nach x geordnet:
β) (a y + b y1) x + (c y + d y1) x1 = 0,
desgleichen nach y geordnet:
γ) (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1 = 0,
wobei die Koeffizienten a, b, c, d nun noch die übrigen Unbekannten z, … als Argumente enthalten können.
Eliminirt man x allein, so kommt nach schon bekannter Regel:
β') (a y + b y1) (c y + d y1) = 0 oder a c y + b d y1 = 0,
und wenn hieraus jetzt y eliminirt wird: a c b d = 0.
Eliminirte man aber zuerst y, so käme
γ') (a x + c x1) (b x + d x1) = 0 oder a b x + c d x1 = 0
woraus durch Elimination von x entsteht: a b c d = 0 — das ist wesentlich dasselbe wie vorhin.
δ) Es ist also zunächst gleichgültig, ob man erst x, dann y, oder ob man erst y, dann x eliminirt.
Die gefundene Relation a b c d = 0 muss nun aber auch die volle Resultante bei Elimination des Paars von Gebieten x, y sein. Denn wenn sie erfüllt ist, so gibt es jedenfalls (mindestens) ein Gebiet x, welches die vorhergehende Gleichung erfüllt — vergl. δ) des § 21). Weil diese aber die Resultante der Elimination von y aus der ersten Gleichung vorstellte und somit (für das gedachte x) erfüllt ist, so gibt es (zu diesem) nun auch ein y, welches die erste Gleichung erfüllt. Sonach gibt es, sobald die Relation a b c d = 0 erfüllt ist, sicherlich ein Wertepaar von x, y, für welches die ursprüngliche Gleichung rich- tig wird, d. h. diese Relation ist die (volle) Resultante der Elimina- tion von x und y zugleich.
In dieser Weise kann man weiter schliessen. Bezüglich dreier Unbekannten x, y, z entwickelt hat die Gleichung die Form: a x y z + b x y z1 + c x y1z + d x y1z1 + e x1y z + f x1y z1 + g x1y1z + h x1y1z1 = 0 und gibt die Elimination von z:
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§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte.
des nach denselben entwickelten Polynoms der Gleichung gleich 0 setzt.
[Ausdehnung von η) des § 21.]
Wir beweisen den Satz zunächst für irgend zwei Unbekannte x, y.
Nach diesen entwickelt hat die Gleichung die Form:
α) a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0,
oder nach x geordnet:
β) (a y + b y1) x + (c y + d y1) x1 = 0,
desgleichen nach y geordnet:
γ) (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1 = 0,
wobei die Koeffizienten a, b, c, d nun noch die übrigen Unbekannten
z, … als Argumente enthalten können.
Eliminirt man x allein, so kommt nach schon bekannter Regel:
β') (a y + b y1) (c y + d y1) = 0 oder a c y + b d y1 = 0,
und wenn hieraus jetzt y eliminirt wird:
a c b d = 0.
Eliminirte man aber zuerst y, so käme
γ') (a x + c x1) (b x + d x1) = 0 oder a b x + c d x1 = 0
woraus durch Elimination von x entsteht:
a b c d = 0
— das ist wesentlich dasselbe wie vorhin.
δ) Es ist also zunächst gleichgültig, ob man erst x, dann y, oder
ob man erst y, dann x eliminirt.
Die gefundene Relation a b c d = 0 muss nun aber auch die volle
Resultante bei Elimination des Paars von Gebieten x, y sein. Denn
wenn sie erfüllt ist, so gibt es jedenfalls (mindestens) ein Gebiet x,
welches die vorhergehende Gleichung erfüllt — vergl. δ) des § 21).
Weil diese aber die Resultante der Elimination von y aus der ersten
Gleichung vorstellte und somit (für das gedachte x) erfüllt ist, so gibt
es (zu diesem) nun auch ein y, welches die erste Gleichung erfüllt.
Sonach gibt es, sobald die Relation a b c d = 0 erfüllt ist, sicherlich
ein Wertepaar von x, y, für welches die ursprüngliche Gleichung rich-
tig wird, d. h. diese Relation ist die (volle) Resultante der Elimina-
tion von x und y zugleich.
In dieser Weise kann man weiter schliessen. Bezüglich dreier
Unbekannten x, y, z entwickelt hat die Gleichung die Form:
a x y z + b x y z1 + c x y1 z + d x y1 z1 + e x1 y z + f x1 y z1 + g x1 y1 z + h x1 y1 z1 = 0
und gibt die Elimination von z:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 467. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/487>, abgerufen am 23.04.2024.
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