Elementarausdrücke, wenu man die rechts neben sie gestellten Gleichungen, eventuell -- wo sie vorkommen -- unter Elimination von y und z, ge- mäss der Methode des § 21 nach der Unbekannten x auflöst:
o2)x = (a + b) ÷ c aus x + c = a + b, x = a + (b ÷ c) aus x = a + y, y + c = b, x = a ÷ (c ÷ b) aus x + y = a, y + b = c, x = a ÷ (b + c) aus x + b + c = a, x = (a ÷ b) ÷ c aus x + c = y, y + b = a, x = (a + c) ÷ (b + c) aus x + b + c = a + c, x = (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) aus x + y = z, y + c = b, z + c = a, x = (a ÷ c) + (c ÷ b) aus x = y + z, y + c = a, z + b = c,
und so weiter. Valenzbedingung ist jeweils die Resultante der Elimination von x, y, z.
Hier steht jedoch noch ein andrer Weg offen: man kann auch das Schema e) eventuell wiederholt als Vorschrift benutzen, um die verlangten Ausdrücke darnach aufzubauen, wobei man mit den Inhalten der Klammern beginnend successive nach aussen fortschreiten wird. Dieses Verfahren -- bei o1) oben von uns angewendet -- ist das bequemere da, wo nur ein ÷ Zeichen sich in dem Ausdrucke vorfindet. Wo aber deren mehrere auf- treten, würde so in das Ergebniss eine Mehrzahl von arbiträren Para- metern u, v, w eingehen, die dann nach unserm Zusatze zu Th. 48+) auf einen einzigen erst noch zurückgeführt werden müssten.
Hat man so (auf die eine oder andere Weise) die Elementarausdrücke berechnet, so unterliegt die Vergleichung derselben wiederum keiner Schwierigkeit, und wird man ähnliche Wahrnehmungen, wie oben bei den eindeutigen Ausdrücken, machen.
Insbesondere möge noch der Leser untersuchen, ob allgemein, oder unter welchen Bedingungen die Ausdrücke o3) (a + c) ÷ (b + d) und (a ÷ b) + (c ÷ d) für einander gesetzt werden dürfen, desgl. für die einfachen Minuszeichen.
Wol genügen aber schon die bisherigen Studien um ein Bild zu geben von den Schwierigkeiten oder besser Unbequemlichkeiten, mit welchen man fortgesetzt sich zu placken hätte, wollte man etwa nach den solchergestalt für die Exception und Abstraktion geltenden Formeln wirklich rechnen. Als empfindlichster Misstand würde sich der Um- stand fühlbar machen, dass die Regeln nicht unbedingt gültig, die Transformation von Ausdrücken nach denselben nicht allgemein zu- lässig sind, sondern an die von mir so genannten Valenzbedingungen als an eine jeweilige Voraussetzung geknüpft erscheinen. Sodann sind die mittelst des Korrektionsglieds modifizirten Sätze auch weniger einfach, als die entsprechenden in der Arithmetik, und analoge Ver-
Zwölfte Vorlesung.
Elementarausdrücke, wenu man die rechts neben sie gestellten Gleichungen, eventuell — wo sie vorkommen — unter Elimination von y und z, ge- mäss der Methode des § 21 nach der Unbekannten x auflöst:
ω2)x = (a + b) ÷ c aus x + c = a + b, x = a + (b ÷ c) aus x = a + y, y + c = b, x = a ÷ (c ÷ b) aus x + y = a, y + b = c, x = a ÷ (b + c) aus x + b + c = a, x = (a ÷ b) ÷ c aus x + c = y, y + b = a, x = (a + c) ÷ (b + c) aus x + b + c = a + c, x = (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) aus x + y = z, y + c = b, z + c = a, x = (a ÷ c) + (c ÷ b) aus x = y + z, y + c = a, z + b = c,
und so weiter. Valenzbedingung ist jeweils die Resultante der Elimination von x, y, z.
Hier steht jedoch noch ein andrer Weg offen: man kann auch das Schema η) eventuell wiederholt als Vorschrift benutzen, um die verlangten Ausdrücke darnach aufzubauen, wobei man mit den Inhalten der Klammern beginnend successive nach aussen fortschreiten wird. Dieses Verfahren — bei ω1) oben von uns angewendet — ist das bequemere da, wo nur ein ÷ Zeichen sich in dem Ausdrucke vorfindet. Wo aber deren mehrere auf- treten, würde so in das Ergebniss eine Mehrzahl von arbiträren Para- metern u, v, w eingehen, die dann nach unserm Zusatze zu Th. 48+) auf einen einzigen erst noch zurückgeführt werden müssten.
Hat man so (auf die eine oder andere Weise) die Elementarausdrücke berechnet, so unterliegt die Vergleichung derselben wiederum keiner Schwierigkeit, und wird man ähnliche Wahrnehmungen, wie oben bei den eindeutigen Ausdrücken, machen.
Insbesondere möge noch der Leser untersuchen, ob allgemein, oder unter welchen Bedingungen die Ausdrücke ω3) (a + c) ÷ (b + d) und (a ÷ b) + (c ÷ d) für einander gesetzt werden dürfen, desgl. für die einfachen Minuszeichen.
Wol genügen aber schon die bisherigen Studien um ein Bild zu geben von den Schwierigkeiten oder besser Unbequemlichkeiten, mit welchen man fortgesetzt sich zu placken hätte, wollte man etwa nach den solchergestalt für die Exception und Abstraktion geltenden Formeln wirklich rechnen. Als empfindlichster Misstand würde sich der Um- stand fühlbar machen, dass die Regeln nicht unbedingt gültig, die Transformation von Ausdrücken nach denselben nicht allgemein zu- lässig sind, sondern an die von mir so genannten Valenzbedingungen als an eine jeweilige Voraussetzung geknüpft erscheinen. Sodann sind die mittelst des Korrektionsglieds modifizirten Sätze auch weniger einfach, als die entsprechenden in der Arithmetik, und analoge Ver-
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[494/0514]
Zwölfte Vorlesung.
Elementarausdrücke, wenu man die rechts neben sie gestellten Gleichungen,
eventuell — wo sie vorkommen — unter Elimination von y und z, ge-
mäss der Methode des § 21 nach der Unbekannten x auflöst:
ω2)x = (a + b) ÷ c aus x + c = a + b,
x = a + (b ÷ c) aus x = a + y, y + c = b,
x = a ÷ (c ÷ b) aus x + y = a, y + b = c,
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und so weiter. Valenzbedingung ist jeweils die Resultante der Elimination
von x, y, z.
Hier steht jedoch noch ein andrer Weg offen: man kann auch das
Schema η) eventuell wiederholt als Vorschrift benutzen, um die verlangten
Ausdrücke darnach aufzubauen, wobei man mit den Inhalten der Klammern
beginnend successive nach aussen fortschreiten wird. Dieses Verfahren —
bei ω1) oben von uns angewendet — ist das bequemere da, wo nur ein
÷ Zeichen sich in dem Ausdrucke vorfindet. Wo aber deren mehrere auf-
treten, würde so in das Ergebniss eine Mehrzahl von arbiträren Para-
metern u, v, w eingehen, die dann nach unserm Zusatze zu Th. 48+) auf
einen einzigen erst noch zurückgeführt werden müssten.
Hat man so (auf die eine oder andere Weise) die Elementarausdrücke
berechnet, so unterliegt die Vergleichung derselben wiederum keiner
Schwierigkeit, und wird man ähnliche Wahrnehmungen, wie oben bei den
eindeutigen Ausdrücken, machen.
Insbesondere möge noch der Leser untersuchen, ob allgemein, oder
unter welchen Bedingungen die Ausdrücke
ω3) (a + c) ÷ (b + d) und (a ÷ b) + (c ÷ d)
für einander gesetzt werden dürfen, desgl. für die einfachen Minuszeichen.
Wol genügen aber schon die bisherigen Studien um ein Bild zu
geben von den Schwierigkeiten oder besser Unbequemlichkeiten, mit
welchen man fortgesetzt sich zu placken hätte, wollte man etwa nach
den solchergestalt für die Exception und Abstraktion geltenden Formeln
wirklich rechnen. Als empfindlichster Misstand würde sich der Um-
stand fühlbar machen, dass die Regeln nicht unbedingt gültig, die
Transformation von Ausdrücken nach denselben nicht allgemein zu-
lässig sind, sondern an die von mir so genannten Valenzbedingungen
als an eine jeweilige Voraussetzung geknüpft erscheinen. Sodann sind
die mittelst des Korrektionsglieds modifizirten Sätze auch weniger
einfach, als die entsprechenden in der Arithmetik, und analoge Ver-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 494. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/514>, abgerufen am 25.04.2024.
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