Dergleichen arbiträre Gebiete (welche wir bisher mit Vorliebe u, v, w genannt haben), will ich in diesem Paragraphen ausschliesslich durch griechische Buchstaben (des kleinen Alphabetes) darstellen, sodass auch umgekehrt jeder solche uns stets ein vollkommen willkürliches Gebiet bedeutet.
Ein durch solche Parameter ausgedrücktes System von Wurzeln wird als ein richtiges, als eine Lösung der gegebenen Relation oder vereinigten Gleichung zu bezeichnen sein, wenn dasselbe, in die Gleichung eingesetzt, diese in eine analytische Identität verwandelt; es darf also durch die Einsetzung nicht etwa eine "Relation" zwischen den Parametern sich ergeben.
Und als die allgemein(st)e Lösung wird es zu bezeichnen sein, wenn jedes beliebige die vereinigte Gleichung erfüllende Wertsystem x, y, z, ... der Unbekannten aus den für die Wurzeln aufgestellten Ausdrücken dadurch erhalten werden kann, dass man den in sie ein- gehenden Parametern geeignete partikulare oder besondere Werte beilegt.
Die Forderung der "Symmetrie" haben wir oben schon charakterisirt.
Ein allen diesen Anforderungen genügendes System von Aus- drücken (resp. von Gleichungen, in welchen linkerhand die Unbekannten sämtlich isolirt erscheinen, rechterhand nur die Koeffizienten mit will- kürlichen Parametern verbunden erscheinen) nennen wir eine "symme- trisch allgemeine" Lösung des vorgelegten Problems.
Man mag noch ausserdem verlangen, dass die Anzahl der ver- wendeten arbiträren Parameter nicht grösser sei, als unumgänglich.
Ich werde nunmehr die vorstehend charakterisirte Aufgabe für eine Reihe von Einzelfällen lösen -- die wichtigsten, von elementarer Natur. Es zeigt sich, dass die gefundenen Lösungen immer leicht als solche, die allen Anforderungen wirklich genügen, zu bewahrheiten sind. Weinger leicht sind sie manchmal zu entdecken.
Zu ihrer Auffindung verfüge ich bis jetzt erst über den Anfang einer allgemeinen Methode. Der erste Schritt von dieser -- bei jedem Problem der gleiche -- führt nicht selten schon sofort zum End- ergebnisse. Manchmal aber wird man durch denselben zunächst in einen Zirkel geführt, aus welchem es bis jetzt nicht möglich erscheint, ohne besondere Kunstgriffe herauszukommen. Die Methode bedarf also noch weiterer Ausgestaltung. Was über dieselbe zu sagen ist, will ich gelegentlich der Beispiele auseinandersetzen.
Ich beginne mit der folgenden (unbegrenzten) Reihe von funda- mentalen Problemen.
Zwölfte Vorlesung.
Dergleichen arbiträre Gebiete (welche wir bisher mit Vorliebe u, v, w genannt haben), will ich in diesem Paragraphen ausschliesslich durch griechische Buchstaben (des kleinen Alphabetes) darstellen, sodass auch umgekehrt jeder solche uns stets ein vollkommen willkürliches Gebiet bedeutet.
Ein durch solche Parameter ausgedrücktes System von Wurzeln wird als ein richtiges, als eine Lösung der gegebenen Relation oder vereinigten Gleichung zu bezeichnen sein, wenn dasselbe, in die Gleichung eingesetzt, diese in eine analytische Identität verwandelt; es darf also durch die Einsetzung nicht etwa eine „Relation“ zwischen den Parametern sich ergeben.
Und als die allgemein(st)e Lösung wird es zu bezeichnen sein, wenn jedes beliebige die vereinigte Gleichung erfüllende Wertsystem x, y, z, … der Unbekannten aus den für die Wurzeln aufgestellten Ausdrücken dadurch erhalten werden kann, dass man den in sie ein- gehenden Parametern geeignete partikulare oder besondere Werte beilegt.
Die Forderung der „Symmetrie“ haben wir oben schon charakterisirt.
Ein allen diesen Anforderungen genügendes System von Aus- drücken (resp. von Gleichungen, in welchen linkerhand die Unbekannten sämtlich isolirt erscheinen, rechterhand nur die Koeffizienten mit will- kürlichen Parametern verbunden erscheinen) nennen wir eine „symme- trisch allgemeine“ Lösung des vorgelegten Problems.
Man mag noch ausserdem verlangen, dass die Anzahl der ver- wendeten arbiträren Parameter nicht grösser sei, als unumgänglich.
Ich werde nunmehr die vorstehend charakterisirte Aufgabe für eine Reihe von Einzelfällen lösen — die wichtigsten, von elementarer Natur. Es zeigt sich, dass die gefundenen Lösungen immer leicht als solche, die allen Anforderungen wirklich genügen, zu bewahrheiten sind. Weinger leicht sind sie manchmal zu entdecken.
Zu ihrer Auffindung verfüge ich bis jetzt erst über den Anfang einer allgemeinen Methode. Der erste Schritt von dieser — bei jedem Problem der gleiche — führt nicht selten schon sofort zum End- ergebnisse. Manchmal aber wird man durch denselben zunächst in einen Zirkel geführt, aus welchem es bis jetzt nicht möglich erscheint, ohne besondere Kunstgriffe herauszukommen. Die Methode bedarf also noch weiterer Ausgestaltung. Was über dieselbe zu sagen ist, will ich gelegentlich der Beispiele auseinandersetzen.
Ich beginne mit der folgenden (unbegrenzten) Reihe von funda- mentalen Problemen.
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[498/0518]
Zwölfte Vorlesung.
Dergleichen arbiträre Gebiete (welche wir bisher mit Vorliebe u,
v, w genannt haben), will ich in diesem Paragraphen ausschliesslich
durch griechische Buchstaben (des kleinen Alphabetes) darstellen, sodass
auch umgekehrt jeder solche uns stets ein vollkommen willkürliches
Gebiet bedeutet.
Ein durch solche Parameter ausgedrücktes System von Wurzeln
wird als ein richtiges, als eine Lösung der gegebenen Relation oder
vereinigten Gleichung zu bezeichnen sein, wenn dasselbe, in die
Gleichung eingesetzt, diese in eine analytische Identität verwandelt;
es darf also durch die Einsetzung nicht etwa eine „Relation“ zwischen
den Parametern sich ergeben.
Und als die allgemein(st)e Lösung wird es zu bezeichnen sein,
wenn jedes beliebige die vereinigte Gleichung erfüllende Wertsystem
x, y, z, … der Unbekannten aus den für die Wurzeln aufgestellten
Ausdrücken dadurch erhalten werden kann, dass man den in sie ein-
gehenden Parametern geeignete partikulare oder besondere Werte
beilegt.
Die Forderung der „Symmetrie“ haben wir oben schon charakterisirt.
Ein allen diesen Anforderungen genügendes System von Aus-
drücken (resp. von Gleichungen, in welchen linkerhand die Unbekannten
sämtlich isolirt erscheinen, rechterhand nur die Koeffizienten mit will-
kürlichen Parametern verbunden erscheinen) nennen wir eine „symme-
trisch allgemeine“ Lösung des vorgelegten Problems.
Man mag noch ausserdem verlangen, dass die Anzahl der ver-
wendeten arbiträren Parameter nicht grösser sei, als unumgänglich.
Ich werde nunmehr die vorstehend charakterisirte Aufgabe für
eine Reihe von Einzelfällen lösen — die wichtigsten, von elementarer
Natur. Es zeigt sich, dass die gefundenen Lösungen immer leicht als
solche, die allen Anforderungen wirklich genügen, zu bewahrheiten
sind. Weinger leicht sind sie manchmal zu entdecken.
Zu ihrer Auffindung verfüge ich bis jetzt erst über den Anfang
einer allgemeinen Methode. Der erste Schritt von dieser — bei jedem
Problem der gleiche — führt nicht selten schon sofort zum End-
ergebnisse. Manchmal aber wird man durch denselben zunächst in
einen Zirkel geführt, aus welchem es bis jetzt nicht möglich erscheint,
ohne besondere Kunstgriffe herauszukommen. Die Methode bedarf
also noch weiterer Ausgestaltung. Was über dieselbe zu sagen ist,
will ich gelegentlich der Beispiele auseinandersetzen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 498. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/518>, abgerufen am 25.04.2024.
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