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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 1.
das die Bedingungen a) zutreffen, auch die Subsumtion b1) besteht, dann
ist in Gestalt von
c = x1
bereits ein die Forderungen der Def. (5) erfüllender Wert des c gefunden.

Gilt er diese Umkehrung nicht, so gibt es mindestens ein x -- ein
solches heisse x'' -- derart, dass die Voraussetzung a) zutrifft, d. h. dass
wir haben:

x'' a, x'' ba x'', b x''
ohne dass doch für dieses x auch b1) erfüllt wäre, d. h. ohne dass wir
hätten:
x'' x'x' x''.

In diesem Falle kann nach Def.

(3+) aus x1 a und x'' a(3x) aus a x1 und a x''
gefolgert werden, dass
x1 + x'' aa x1 x''
sein muss, und analog ergibt sich, dass zugleich auch ist:
x1 + x'' bb x1 x''.
Nennen wir aber
x1 + x'' = x2x1 x'' = x2,
so ist dieses Gebiet x2 jetzt ein solches, für welches x'' bei jener Um-
kehrung keine Ausnahme mehr bildet, desgleichen, nach wie vor, auch x1
keine. Wir haben nämlich nach Th.
6+) x1 x1 + x'', also x1 x26x) x1 x'', x1, also x2 = x1
desgleichen:
x'' x2x2 x''.

Dieses x2 ist jetzt der den Forderungen unsrer Def. (5) genügende
Wert des c selber, es ist:
c = x2,
wenn es jetzt überhaupt kein x mehr gibt, welches den Voraussetzungen a)
genügte, ohne mit x2 die Beziehungen einzugehen:
b2)

x x2x2 x.

Gibt es aber noch solche x, welche sich dem x2 -- will ich kurz
sagen -- "nicht fügen", d. h. für welche zwar die Voraussetzungen a) aber
nicht die Subsumtion b) erfüllt ist, so kann man ebenso weiter schliessen.

Es sei dann x''' irgend eines derselben; so haben wir:

x''' a, x''' ba x''', b x'''
aber doch nicht
x''' x2x2 x'''.

Anhang 1.
das die Bedingungen α) zutreffen, auch die Subsumtion β1) besteht, dann
ist in Gestalt von
c = x1
bereits ein die Forderungen der Def. (5) erfüllender Wert des c gefunden.

Gilt er diese Umkehrung nicht, so gibt es mindestens ein x — ein
solches heisse x'' — derart, dass die Voraussetzung α) zutrifft, d. h. dass
wir haben:

x'' ⋹ a, x'' ⋹ bax'', bx''
ohne dass doch für dieses x auch β1) erfüllt wäre, d. h. ohne dass wir
hätten:
x'' ⋹ x'x' ⋹ x''.

In diesem Falle kann nach Def.

(3+) aus x1a und x'' ⋹ a(3×) aus ax1 und ax''
gefolgert werden, dass
x1 + x'' ⋹ aax1 x''
sein muss, und analog ergibt sich, dass zugleich auch ist:
x1 + x'' ⋹ bbx1 x''.
Nennen wir aber
x1 + x'' = x2x1 x'' = x2,
so ist dieses Gebiet x2 jetzt ein solches, für welches x'' bei jener Um-
kehrung keine Ausnahme mehr bildet, desgleichen, nach wie vor, auch x1
keine. Wir haben nämlich nach Th.
6+) x1x1 + x'', also x1x26×) x1 x'', ⋹ x1, also x2 = x1
desgleichen:
x'' ⋹ x2x2x''.

Dieses x2 ist jetzt der den Forderungen unsrer Def. (5) genügende
Wert des c selber, es ist:
c = x2,
wenn es jetzt überhaupt kein x mehr gibt, welches den Voraussetzungen α)
genügte, ohne mit x2 die Beziehungen einzugehen:
β2)

xx2x2x.

Gibt es aber noch solche x, welche sich dem x2 — will ich kurz
sagen — „nicht fügen“, d. h. für welche zwar die Voraussetzungen α) aber
nicht die Subsumtion β) erfüllt ist, so kann man ebenso weiter schliessen.

Es sei dann x''' irgend eines derselben; so haben wir:

x''' ⋹ a, x''' ⋹ bax''', bx'''
aber doch nicht
x''' ⋹ x2x2x'''.

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[596/0616] Anhang 1. das die Bedingungen α) zutreffen, auch die Subsumtion β1) besteht, dann ist in Gestalt von c = x1 bereits ein die Forderungen der Def. (5) erfüllender Wert des c gefunden. Gilt er diese Umkehrung nicht, so gibt es mindestens ein x — ein solches heisse x'' — derart, dass die Voraussetzung α) zutrifft, d. h. dass wir haben: x'' ⋹ a, x'' ⋹ b a ⋹ x'', b ⋹ x'' ohne dass doch für dieses x auch β1) erfüllt wäre, d. h. ohne dass wir hätten: x'' ⋹ x' x' ⋹ x''. In diesem Falle kann nach Def. (3+) aus x1 ⋹ a und x'' ⋹ a (3×) aus a ⋹ x1 und a ⋹ x'' gefolgert werden, dass x1 + x'' ⋹ a a ⋹ x1 x'' sein muss, und analog ergibt sich, dass zugleich auch ist: x1 + x'' ⋹ b b ⋹ x1 x''. Nennen wir aber x1 + x'' = x2 x1 x'' = x2, so ist dieses Gebiet x2 jetzt ein solches, für welches x'' bei jener Um- kehrung keine Ausnahme mehr bildet, desgleichen, nach wie vor, auch x1 keine. Wir haben nämlich nach Th. 6+) x1 ⋹ x1 + x'', also x1 ⋹ x2 6×) x1 x'', ⋹ x1, also x2 = x1 desgleichen: x'' ⋹ x2 x2 ⋹ x''. Dieses x2 ist jetzt der den Forderungen unsrer Def. (5) genügende Wert des c selber, es ist: c = x2, wenn es jetzt überhaupt kein x mehr gibt, welches den Voraussetzungen α) genügte, ohne mit x2 die Beziehungen einzugehen: β2) x ⋹ x2 x2 ⋹ x. Gibt es aber noch solche x, welche sich dem x2 — will ich kurz sagen — „nicht fügen“, d. h. für welche zwar die Voraussetzungen α) aber nicht die Subsumtion β) erfüllt ist, so kann man ebenso weiter schliessen. Es sei dann x''' irgend eines derselben; so haben wir: x''' ⋹ a, x''' ⋹ b a ⋹ x''', b ⋹ x''' aber doch nicht x''' ⋹ x2 x2 ⋹ x'''.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 596. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/616>, abgerufen am 03.04.2020.