Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition.
Dann folgt nach Def. (3) aus:
x2a und x''' a
ax2 und ax'''
dass
x2 + x''' a
ax2x'''
und analog auch:
x2 + x''' b
bx2x'''
ist. Nennen wir nunmehr
x2 + x''' = x3
x2x''' = x3,
so ist x3 ein solches Gebiet, welchem sich alle bisherigen x "fügen", sogar das letzte: x''', da wir nach Th. 6) haben:
x''' x3
x3x'''
während a) ja ohnehin von diesem x''' erfüllt wird.
Gibt es jetzt kein x mehr, welches a) erfüllt, ohne auch die Sub- sumtion: b3)
xx3
x3x
zu erfüllen, so ist: c = x3 als ein die Anforderungen der Def. (5) er- füllendes c gefunden.
Gibt es aber noch ein x -- es heisse x''' -- welches sich bei der Umkehrung dem x3 "nicht fügt", so kann man, ebenso weiter schliessend, ein:
x3 + x'''' = x4
x3x'''' = x4
konstruiren, für welches sich x'''' samt allen früheren Gebieten x "fügt".
In dieser Weise fortfahrend kann man aus jedem angebbaren sich "nicht fügenden" und dem zuletzt gewonnenen x allemal ein neues x ab- leiten, bezüglich dessen sich alle bisherigen "fügen"; man kann das sich nicht fügende sozusagen endgültig beseitigen.
Man könnte sich hienach zu dem Schluss berechtigt glauben, es müsse ein c existiren, für das sich jedes x "fügt". In der That sieht man sich vor die Alternative gestellt, entweder diese Existenz zuzugeben, oder un- begrenzt in der angegebenen Weise fortzuschliessen.
Jener Schluss wäre gleichwol nicht stichhaltig. Beispielsweise können wir dies aus dem bekannten Paradoxon von Achilles mit der Schildkröte lernen, wo die Alternative vorliegt, entweder zuzugeben, dass jener diese nicht einholen könne, oder aber auf den zehntel, hundertel, tausendtel etc. Schritt, der noch fehlt, ohne Ende fortzuschliessen. Die Abneigung vor letzterem ist kein zwingender Grund, sich für ersteres zu entscheiden. --
Dass es Gebiete c gibt, die den Forderungen der Def. (5) genügen ist stichhaltig ja schon in § 6 bewiesen.
Man könnte es nebenher auch so einsehen. Da nach Th. 6+) resp. 6x):
aa + b, ba + b
a ba, a bb
sein muss, so ist für jedes die Bedingungen a) erfüllende x auch sicher:
xa + b
a bx,
Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition.
Dann folgt nach Def. (3) aus:
x2 ⋹ a und x''' ⋹ a
a ⋹ x2 und a ⋹ x'''
dass
x2 + x''' ⋹ a
a ⋹ x2x'''
und analog auch:
x2 + x''' ⋹ b
b ⋹ x2x'''
ist. Nennen wir nunmehr
x2 + x''' = x3
x2x''' = x3,
so ist x3 ein solches Gebiet, welchem sich alle bisherigen x „fügen“, sogar das letzte: x''', da wir nach Th. 6) haben:
x''' ⋹ x3
x3 ⋹ x'''
während α) ja ohnehin von diesem x''' erfüllt wird.
Gibt es jetzt kein x mehr, welches α) erfüllt, ohne auch die Sub- sumtion: β3)
x ⋹ x3
x3 ⋹ x
zu erfüllen, so ist: c = x3 als ein die Anforderungen der Def. (5) er- füllendes c gefunden.
Gibt es aber noch ein x — es heisse x''' — welches sich bei der Umkehrung dem x3 „nicht fügt“, so kann man, ebenso weiter schliessend, ein:
x3 + x'''' = x4
x3x'''' = x4
konstruiren, für welches sich x'''' samt allen früheren Gebieten x „fügt“.
In dieser Weise fortfahrend kann man aus jedem angebbaren sich „nicht fügenden“ und dem zuletzt gewonnenen x allemal ein neues x ab- leiten, bezüglich dessen sich alle bisherigen „fügen“; man kann das sich nicht fügende sozusagen endgültig beseitigen.
Man könnte sich hienach zu dem Schluss berechtigt glauben, es müsse ein c existiren, für das sich jedes x „fügt“. In der That sieht man sich vor die Alternative gestellt, entweder diese Existenz zuzugeben, oder un- begrenzt in der angegebenen Weise fortzuschliessen.
Jener Schluss wäre gleichwol nicht stichhaltig. Beispielsweise können wir dies aus dem bekannten Paradoxon von Achilles mit der Schildkröte lernen, wo die Alternative vorliegt, entweder zuzugeben, dass jener diese nicht einholen könne, oder aber auf den zehntel, hundertel, tausendtel etc. Schritt, der noch fehlt, ohne Ende fortzuschliessen. Die Abneigung vor letzterem ist kein zwingender Grund, sich für ersteres zu entscheiden. —
Dass es Gebiete c gibt, die den Forderungen der Def. (5) genügen ist stichhaltig ja schon in § 6 bewiesen.
Man könnte es nebenher auch so einsehen. Da nach Th. 6+) resp. 6×):
a ⋹ a + b, b ⋹ a + b
a b ⋹ a, a b ⋹ b
sein muss, so ist für jedes die Bedingungen α) erfüllende x auch sicher:
x ⋹ a + b
a b ⋹ x,
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0617"n="597"/><fwplace="top"type="header">Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition.</fw><lb/><p>Dann folgt nach Def. (3) aus:<lb/><table><row><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">x</hi>''' ⋹<hirendition="#i">a</hi></cell><cell><hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi> und <hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi>'''</cell></row><lb/></table> dass<lb/><table><row><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">x</hi>''' ⋹<hirendition="#i">a</hi></cell><cell><hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi><hirendition="#i">x</hi>'''</cell></row><lb/></table> und analog auch:<lb/><table><row><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">x</hi>''' ⋹<hirendition="#i">b</hi></cell><cell><hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi><hirendition="#i">x</hi>'''</cell></row><lb/></table> ist. Nennen wir nunmehr<lb/><table><row><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">x</hi>''' = <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi></cell><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi><hirendition="#i">x</hi>''' = <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi>,</cell></row><lb/></table> so ist <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi> ein solches Gebiet, welchem sich alle bisherigen <hirendition="#i">x</hi>„fügen“, sogar<lb/>
das letzte: <hirendition="#i">x</hi>''', da wir nach Th. 6) haben:<lb/><table><row><cell><hirendition="#i">x</hi>''' ⋹<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi></cell><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi>'''</cell></row><lb/></table> während <hirendition="#i">α</hi>) ja ohnehin von diesem <hirendition="#i">x</hi>''' erfüllt wird.</p><lb/><p>Gibt es jetzt kein <hirendition="#i">x</hi> mehr, welches <hirendition="#i">α</hi>) erfüllt, ohne auch die Sub-<lb/>
sumtion:<lb/><hirendition="#i">β</hi><hirendition="#sup">3</hi>) <table><lb/><row><cell><hirendition="#i">x</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi></cell><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi></cell></row><lb/></table> zu erfüllen, so ist: <hirendition="#i">c</hi> = <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi> als ein die Anforderungen der Def. (5) er-<lb/>
füllendes <hirendition="#i">c</hi> gefunden.</p><lb/><p>Gibt es aber noch ein <hirendition="#i">x</hi>— es heisse <hirendition="#i">x</hi>''' — welches sich bei der<lb/>
Umkehrung dem <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi>„nicht fügt“, so kann man, ebenso weiter schliessend, ein:<lb/><table><row><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi> + <hirendition="#i">x</hi>'''' = <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">4</hi></cell><cell><hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi><hirendition="#i">x</hi>'''' = <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">4</hi></cell></row><lb/></table> konstruiren, für welches sich <hirendition="#i">x</hi>'''' samt allen früheren Gebieten <hirendition="#i">x</hi>„fügt“.</p><lb/><p>In dieser Weise fortfahrend kann man aus jedem angebbaren sich<lb/>„nicht fügenden“ und dem zuletzt gewonnenen <hirendition="#i">x</hi> allemal ein neues <hirendition="#i">x</hi> ab-<lb/>
leiten, bezüglich dessen sich alle bisherigen „fügen“; man kann das sich<lb/>
nicht fügende sozusagen endgültig beseitigen.</p><lb/><p>Man könnte sich hienach zu dem Schluss berechtigt glauben, es müsse<lb/>
ein <hirendition="#i">c</hi> existiren, für das sich jedes <hirendition="#i">x</hi>„fügt“. In der That sieht man sich<lb/>
vor die Alternative gestellt, entweder diese Existenz zuzugeben, oder un-<lb/>
begrenzt in der angegebenen Weise fortzuschliessen.</p><lb/><p>Jener Schluss wäre gleichwol <hirendition="#i">nicht stichhaltig</hi>. Beispielsweise können<lb/>
wir dies aus dem bekannten Paradoxon von Achilles mit der Schildkröte<lb/>
lernen, wo die Alternative vorliegt, entweder zuzugeben, dass jener diese<lb/>
nicht einholen könne, oder aber auf den zehntel, hundertel, tausendtel etc.<lb/>
Schritt, der noch fehlt, ohne Ende fortzuschliessen. Die Abneigung vor<lb/>
letzterem ist kein zwingender Grund, sich für ersteres zu entscheiden. —</p><lb/><p>Dass es Gebiete <hirendition="#i">c</hi> gibt, die den Forderungen der Def. (5) genügen ist<lb/>
stichhaltig ja schon in § 6 bewiesen.</p><lb/><p>Man könnte es nebenher auch so einsehen. Da nach Th. 6<hirendition="#sub">+</hi>) resp. 6<hirendition="#sub">×</hi>):<lb/><table><row><cell><hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi>, <hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi></cell><cell><hirendition="#i">a b</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi>, <hirendition="#i">a b</hi>⋹<hirendition="#i">b</hi></cell></row><lb/></table> sein muss, so ist für jedes die Bedingungen <hirendition="#i">α</hi>) erfüllende <hirendition="#i">x</hi> auch sicher:<lb/><table><row><cell><hirendition="#i">x</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi></cell><cell><hirendition="#i">a b</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi>,</cell></row><lb/></table></p></div></div></body></text></TEI>
[597/0617]
Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition.
Dann folgt nach Def. (3) aus:
x2 ⋹ a und x''' ⋹ a a ⋹ x2 und a ⋹ x'''
dass
x2 + x''' ⋹ a a ⋹ x2 x'''
und analog auch:
x2 + x''' ⋹ b b ⋹ x2 x'''
ist. Nennen wir nunmehr
x2 + x''' = x3 x2 x''' = x3,
so ist x3 ein solches Gebiet, welchem sich alle bisherigen x „fügen“, sogar
das letzte: x''', da wir nach Th. 6) haben:
x''' ⋹ x3 x3 ⋹ x'''
während α) ja ohnehin von diesem x''' erfüllt wird.
Gibt es jetzt kein x mehr, welches α) erfüllt, ohne auch die Sub-
sumtion:
β3) x ⋹ x3 x3 ⋹ x
zu erfüllen, so ist: c = x3 als ein die Anforderungen der Def. (5) er-
füllendes c gefunden.
Gibt es aber noch ein x — es heisse x''' — welches sich bei der
Umkehrung dem x3 „nicht fügt“, so kann man, ebenso weiter schliessend, ein:
x3 + x'''' = x4 x3 x'''' = x4
konstruiren, für welches sich x'''' samt allen früheren Gebieten x „fügt“.
In dieser Weise fortfahrend kann man aus jedem angebbaren sich
„nicht fügenden“ und dem zuletzt gewonnenen x allemal ein neues x ab-
leiten, bezüglich dessen sich alle bisherigen „fügen“; man kann das sich
nicht fügende sozusagen endgültig beseitigen.
Man könnte sich hienach zu dem Schluss berechtigt glauben, es müsse
ein c existiren, für das sich jedes x „fügt“. In der That sieht man sich
vor die Alternative gestellt, entweder diese Existenz zuzugeben, oder un-
begrenzt in der angegebenen Weise fortzuschliessen.
Jener Schluss wäre gleichwol nicht stichhaltig. Beispielsweise können
wir dies aus dem bekannten Paradoxon von Achilles mit der Schildkröte
lernen, wo die Alternative vorliegt, entweder zuzugeben, dass jener diese
nicht einholen könne, oder aber auf den zehntel, hundertel, tausendtel etc.
Schritt, der noch fehlt, ohne Ende fortzuschliessen. Die Abneigung vor
letzterem ist kein zwingender Grund, sich für ersteres zu entscheiden. —
Dass es Gebiete c gibt, die den Forderungen der Def. (5) genügen ist
stichhaltig ja schon in § 6 bewiesen.
Man könnte es nebenher auch so einsehen. Da nach Th. 6+) resp. 6×):
a ⋹ a + b, b ⋹ a + b a b ⋹ a, a b ⋹ b
sein muss, so ist für jedes die Bedingungen α) erfüllende x auch sicher:
x ⋹ a + b a b ⋹ x,
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 597. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/617>, abgerufen am 19.04.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
