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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 3.

Es empfiehlt sich, diese Faktoren mit numerirten Buchstaben zu
bezeichnen, sie etwa
a1, a2, a3, ... an -- 1, an
zu nennen.

Das Th. 13x) zeigte uns, dass die Klammerstellung bei drei
Faktoren gleichgültig ist. Dazu gilt der

Satz 13)a. Wenn die Klammerstellung bei weniger als n Faktoren
irrelevant ist
, so muss sie es auch bei n Faktoren sein.

Beweis. Nach der Voraussetzung ist es bei 3, 4, .. bis inclusive
n -- 1 Faktoren bereits als für den Wert des Ergebnisses gleichgültig
erkannt, in welcher Weise man dieselben vermittelst Klammern so in
Gruppen scheidet, dass ein Ausdruck entsteht, welcher durch lauter
Multiplikationen von immer nur zwei Faktoren hergestellt ist. Der
laut Annahme stets übereinstimmende Wert des Ergebnisses für alle
die verschiedenen hierbei noch denkbaren Bildungsweisen des Ausdrucks
kann demnach schon ohne jede Klammer geschrieben und schlechtweg
das "Produkt" der in dem Ausdruck vorkommenden Symbole oder
"Faktoren" (für die bestimmte Reihenfolge in der sie auf der Zeile
stehen) genannt werden.

Es ist dann zu zeigen, dass auf Grund der Theoreme 13x) und
16x) dasselbe auch für n Symbole zutreffen muss, wenn diese in be-
stimmter Reihenfolge angeschrieben und dann irgendwie mittelst
"binärer" Multiplikation (d. i. eben Multiplikation von immer nur
zwei Faktoren) zu einem Produkte vereinigt werden.

Nun kann der ganze Ausdruck in zwei Faktoren mittelst Klammern
nur auf folgende Arten gespalten werden, für welche wir die zuge-
hörigen Ergebnisse mit den linkerhand eingeführten Namen benennen
wollen:
x1 = a1 (a2 a3 ... an)
x2 = (a1 a2) (a3 ... an)
. . . . . . . . . . . .
xr = (a1 a2 ... ar) (ar + 1 ... an)
. . . . . . . . . . . .
xn -- 1 = (a1 a2 ... an -- 1) an,

wo r irgend eine der Indexzahlen von 1 bis n -- 1 bedeuten mag,
mithin 1 @ r n -- 1 zu denken ist.

Die Bildungsweise für die beiden Hauptfaktoren oder Teilprodukte:
a1 a2 ... ar = sr, ar + 1 ar + 2 ... an = tr
von irgend einem dieser Ausdrücke

Anhang 3.

Es empfiehlt sich, diese Faktoren mit numerirten Buchstaben zu
bezeichnen, sie etwa
a1, a2, a3, … an — 1, an
zu nennen.

Das Th. 13×) zeigte uns, dass die Klammerstellung bei drei
Faktoren gleichgültig ist. Dazu gilt der

Satz 13)a. Wenn die Klammerstellung bei weniger als n Faktoren
irrelevant ist
, so muss sie es auch bei n Faktoren sein.

Beweis. Nach der Voraussetzung ist es bei 3, 4, ‥ bis inclusive
n — 1 Faktoren bereits als für den Wert des Ergebnisses gleichgültig
erkannt, in welcher Weise man dieselben vermittelst Klammern so in
Gruppen scheidet, dass ein Ausdruck entsteht, welcher durch lauter
Multiplikationen von immer nur zwei Faktoren hergestellt ist. Der
laut Annahme stets übereinstimmende Wert des Ergebnisses für alle
die verschiedenen hierbei noch denkbaren Bildungsweisen des Ausdrucks
kann demnach schon ohne jede Klammer geschrieben und schlechtweg
das „Produkt“ der in dem Ausdruck vorkommenden Symbole oder
„Faktoren“ (für die bestimmte Reihenfolge in der sie auf der Zeile
stehen) genannt werden.

Es ist dann zu zeigen, dass auf Grund der Theoreme 13×) und
16×) dasselbe auch für n Symbole zutreffen muss, wenn diese in be-
stimmter Reihenfolge angeschrieben und dann irgendwie mittelst
„binärer“ Multiplikation (d. i. eben Multiplikation von immer nur
zwei Faktoren) zu einem Produkte vereinigt werden.

Nun kann der ganze Ausdruck in zwei Faktoren mittelst Klammern
nur auf folgende Arten gespalten werden, für welche wir die zuge-
hörigen Ergebnisse mit den linkerhand eingeführten Namen benennen
wollen:
x1 = a1 (a2 a3an)
x2 = (a1 a2) (a3an)
. . . . . . . . . . . .
xr = (a1 a2ar) (ar + 1an)
. . . . . . . . . . . .
xn — 1 = (a1 a2an — 1) an,

wo r irgend eine der Indexzahlen von 1 bis n — 1 bedeuten mag,
mithin 1  rn — 1 zu denken ist.

Die Bildungsweise für die beiden Hauptfaktoren oder Teilprodukte:
a1 a2ar = sr, ar + 1 ar + 2an = tr
von irgend einem dieser Ausdrücke

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[610/0630] Anhang 3. Es empfiehlt sich, diese Faktoren mit numerirten Buchstaben zu bezeichnen, sie etwa a1, a2, a3, … an — 1, an zu nennen. Das Th. 13×) zeigte uns, dass die Klammerstellung bei drei Faktoren gleichgültig ist. Dazu gilt der Satz 13)a. Wenn die Klammerstellung bei weniger als n Faktoren irrelevant ist, so muss sie es auch bei n Faktoren sein. Beweis. Nach der Voraussetzung ist es bei 3, 4, ‥ bis inclusive n — 1 Faktoren bereits als für den Wert des Ergebnisses gleichgültig erkannt, in welcher Weise man dieselben vermittelst Klammern so in Gruppen scheidet, dass ein Ausdruck entsteht, welcher durch lauter Multiplikationen von immer nur zwei Faktoren hergestellt ist. Der laut Annahme stets übereinstimmende Wert des Ergebnisses für alle die verschiedenen hierbei noch denkbaren Bildungsweisen des Ausdrucks kann demnach schon ohne jede Klammer geschrieben und schlechtweg das „Produkt“ der in dem Ausdruck vorkommenden Symbole oder „Faktoren“ (für die bestimmte Reihenfolge in der sie auf der Zeile stehen) genannt werden. Es ist dann zu zeigen, dass auf Grund der Theoreme 13×) und 16×) dasselbe auch für n Symbole zutreffen muss, wenn diese in be- stimmter Reihenfolge angeschrieben und dann irgendwie mittelst „binärer“ Multiplikation (d. i. eben Multiplikation von immer nur zwei Faktoren) zu einem Produkte vereinigt werden. Nun kann der ganze Ausdruck in zwei Faktoren mittelst Klammern nur auf folgende Arten gespalten werden, für welche wir die zuge- hörigen Ergebnisse mit den linkerhand eingeführten Namen benennen wollen: x1 = a1 (a2 a3 … an) x2 = (a1 a2) (a3 … an) . . . . . . . . . . . . xr = (a1 a2 … ar) (ar + 1 … an) . . . . . . . . . . . . xn — 1 = (a1 a2 … an — 1) an, wo r irgend eine der Indexzahlen von 1 bis n — 1 bedeuten mag, mithin 1  r ≦ n — 1 zu denken ist. Die Bildungsweise für die beiden Hauptfaktoren oder Teilprodukte: a1 a2 … ar = sr, ar + 1 ar + 2 … an = tr von irgend einem dieser Ausdrücke

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 610. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/630>, abgerufen am 06.04.2020.