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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Multiplikation.
und B innerhalb U keine Gleichung gemein haben, und diese 0 werde
als ein uneigentlicher, der "Null-Algorithmus" mit zu den Algorithmen
gezählt.

Im andern Falle ist A B auch nicht blos ein Formelsystem, son-
dern selbst wieder ein Algorithmus, indem es alle Gleichungen, die
es innerhalb U nach den "Prinzipien" zur Folge haben kann, bereits
in sich schliessen muss.

Ersichtlichermassen gilt nämlich (auch wenn A B nur Formel-
system wäre):
Th. 6x) A B A und A B B.

Hat nun A B innerhalb U eine Konsequenz C, so folgt diese,
weil mit A auch A B gegeben ist, nach Prinzip II auch aus A, d. h.
es ist C A; und ganz ähnlich folgt C B, d. h. es muss C den
Algorithmen A und B schon gemeinsam sein, sich in A B befinden.

Die Multiplikation von Algorithmen ist ein ungemein fruchtbares
Mittel, um neue Algorithmen A B zu limitiren, sie als vollständige
oder "Gruppen" nachzuweisen, die Grenzen ihrer Konsequenzen (inner-
halb U) zu erkennen, wenn bereits diejenigen der Faktoren A, B be-
kannt, diese selbst limitirt sind. (Beispiele weiter unten, Anhang 5
sub "Beleg 1".)

Aus der Übereinstimmung der logischen mit der ("extensiv" auf-
gefassten) identischen Multiplikation geht hervor, dass jene auch die
Grundeigenschaften von dieser besitzt; sie ist kommutativ und asso-
ziativ, auch gilt z. B. Th. 14x) A · A = A -- was alles übrigens auch
ganz direkt einleuchtet.

Speziell seien hier aber zum Bewusstsein gebracht die der Defi-
nition (3) der Theorie entsprechenden beiden Sätze:
(3x)' Sooft X A und zugleich X B, so ist auch X A B.
(3x)'' Jedesmal, wenn X A B ist, muss auch X A und X B sein.

Der letztere (3x)'' von diesen beiden Sätzen erscheint im Hinblick
auf Th. 6x) und II als geradezu selbstverständlich: Wenn X aus dem
dem A und B gemeinsamen Formelsystem schon folgt, so folgt es
a fortiori aus A, desgl. aus B.

Nicht in gleichem Grade (der Unmittelbarkeit) leuchtet aber der
erste Satz (3x)' ein. Liesse man hier ausser Acht, dass die Formel-
gruppe X ganz dem Gebiet U angehören muss, so würde sich der
Satz (3x)' leicht durch Beispiele widerlegen lassen. In der That ist
der Fall denkbar, dass gewisse Behauptungen resp. Formeln X nach

Schröder, Algebra der Logik. 40

Multiplikation.
und B innerhalb U keine Gleichung gemein haben, und diese 0 werde
als ein uneigentlicher, der „Null-Algorithmus“ mit zu den Algorithmen
gezählt.

Im andern Falle ist A B auch nicht blos ein Formelsystem, son-
dern selbst wieder ein Algorithmus, indem es alle Gleichungen, die
es innerhalb U nach den „Prinzipien“ zur Folge haben kann, bereits
in sich schliessen muss.

Ersichtlichermassen gilt nämlich (auch wenn A B nur Formel-
system wäre):
Th. 6×) A B ⋹ A und A B ⋹ B.

Hat nun A B innerhalb U eine Konsequenz C, so folgt diese,
weil mit A auch A B gegeben ist, nach Prinzip II auch aus A, d. h.
es ist C ⋹ A; und ganz ähnlich folgt C ⋹ B, d. h. es muss C den
Algorithmen A und B schon gemeinsam sein, sich in A B befinden.

Die Multiplikation von Algorithmen ist ein ungemein fruchtbares
Mittel, um neue Algorithmen A B zu limitiren, sie als vollständige
oder „Gruppen“ nachzuweisen, die Grenzen ihrer Konsequenzen (inner-
halb U) zu erkennen, wenn bereits diejenigen der Faktoren A, B be-
kannt, diese selbst limitirt sind. (Beispiele weiter unten, Anhang 5
sub „Beleg 1“.)

Aus der Übereinstimmung der logischen mit der („extensiv“ auf-
gefassten) identischen Multiplikation geht hervor, dass jene auch die
Grundeigenschaften von dieser besitzt; sie ist kommutativ und asso-
ziativ, auch gilt z. B. Th. 14×) A · A = A — was alles übrigens auch
ganz direkt einleuchtet.

Speziell seien hier aber zum Bewusstsein gebracht die der Defi-
nition (3) der Theorie entsprechenden beiden Sätze:
(3×)' Sooft X ⋹ A und zugleich X ⋹ B, so ist auch X ⋹ A B.
(3×)'' Jedesmal, wenn X ⋹ A B ist, muss auch X ⋹ A und X ⋹ B sein.

Der letztere (3×)'' von diesen beiden Sätzen erscheint im Hinblick
auf Th. 6×) und II als geradezu selbstverständlich: Wenn X aus dem
dem A und B gemeinsamen Formelsystem schon folgt, so folgt es
a fortiori aus A, desgl. aus B.

Nicht in gleichem Grade (der Unmittelbarkeit) leuchtet aber der
erste Satz (3×)' ein. Liesse man hier ausser Acht, dass die Formel-
gruppe X ganz dem Gebiet U angehören muss, so würde sich der
Satz (3×)' leicht durch Beispiele widerlegen lassen. In der That ist
der Fall denkbar, dass gewisse Behauptungen resp. Formeln X nach

Schröder, Algebra der Logik. 40
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[625/0645] Multiplikation. und B innerhalb U keine Gleichung gemein haben, und diese 0 werde als ein uneigentlicher, der „Null-Algorithmus“ mit zu den Algorithmen gezählt. Im andern Falle ist A B auch nicht blos ein Formelsystem, son- dern selbst wieder ein Algorithmus, indem es alle Gleichungen, die es innerhalb U nach den „Prinzipien“ zur Folge haben kann, bereits in sich schliessen muss. Ersichtlichermassen gilt nämlich (auch wenn A B nur Formel- system wäre): Th. 6×) A B ⋹ A und A B ⋹ B. Hat nun A B innerhalb U eine Konsequenz C, so folgt diese, weil mit A auch A B gegeben ist, nach Prinzip II auch aus A, d. h. es ist C ⋹ A; und ganz ähnlich folgt C ⋹ B, d. h. es muss C den Algorithmen A und B schon gemeinsam sein, sich in A B befinden. Die Multiplikation von Algorithmen ist ein ungemein fruchtbares Mittel, um neue Algorithmen A B zu limitiren, sie als vollständige oder „Gruppen“ nachzuweisen, die Grenzen ihrer Konsequenzen (inner- halb U) zu erkennen, wenn bereits diejenigen der Faktoren A, B be- kannt, diese selbst limitirt sind. (Beispiele weiter unten, Anhang 5 sub „Beleg 1“.) Aus der Übereinstimmung der logischen mit der („extensiv“ auf- gefassten) identischen Multiplikation geht hervor, dass jene auch die Grundeigenschaften von dieser besitzt; sie ist kommutativ und asso- ziativ, auch gilt z. B. Th. 14×) A · A = A — was alles übrigens auch ganz direkt einleuchtet. Speziell seien hier aber zum Bewusstsein gebracht die der Defi- nition (3) der Theorie entsprechenden beiden Sätze: (3×)' Sooft X ⋹ A und zugleich X ⋹ B, so ist auch X ⋹ A B. (3×)'' Jedesmal, wenn X ⋹ A B ist, muss auch X ⋹ A und X ⋹ B sein. Der letztere (3×)'' von diesen beiden Sätzen erscheint im Hinblick auf Th. 6×) und II als geradezu selbstverständlich: Wenn X aus dem dem A und B gemeinsamen Formelsystem schon folgt, so folgt es a fortiori aus A, desgl. aus B. Nicht in gleichem Grade (der Unmittelbarkeit) leuchtet aber der erste Satz (3×)' ein. Liesse man hier ausser Acht, dass die Formel- gruppe X ganz dem Gebiet U angehören muss, so würde sich der Satz (3×)' leicht durch Beispiele widerlegen lassen. In der That ist der Fall denkbar, dass gewisse Behauptungen resp. Formeln X nach Schröder, Algebra der Logik. 40

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 625. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/645>, abgerufen am 19.04.2024.