dings ganz aus U, jedoch irgendwie, herausgegriffen, so wäre ein Fall denkbar, wie ihn die folgende Figur versinnlicht: wo zwar A und B
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Fig. 32.
ganz in X liegen, dagegen A + B doch nicht in X enthalten ist (vgl. An- hang 5, "Beleg 4"). Es brauchte dann (3+)' nicht zu gelten.
Nun aber sollte X einen Algorith- mus (innerhalb U) bedeuten, komple- tirt durch Hinzuziehung aller seiner nach den "Prinzipien" bedingten Kon- sequenzen. Wenn dieser A zur Folge hat, dessen ganzes Formelsystem in sich schliesst, desgl. B zur Folge hat, so hat er auch alles das zur Folge, was kraft der Prinzipien aus A und B zusammen noch weiter gefolgert werden kann, d. h. er hat auch A + B zur Folge und schliesst dessen ganzes Formelsystem von Hause aus in sich.
Hiermit ist sorgfältigst erkannt, dass die Axiome I und II, sowie die Definitionen (1), (2), (3) des "identischen Kalkuls" auch in dem "logischen Kalkul" mit Algorithmen*) unmodifizirt Geltung haben.
Diese aber bildeten ausschliesslich die formale Grundlage für den ersten Teil jenes Kalkuls, soweit er in den Paragraphen 4, 5 bis 10, 11 der Theorie dargestellt ist. Folglich können wir auch alle aus dieser Grundlage streng deduktiv dort abgeleiteten Sätze jetzt ohne weiteres in den logischen Kalkul herübernehmen, die kleinen Buch- staben von ebendort in grosse umschreibend -- einschliesslich der ersten Subsumtion, Th. 25x), des Distributionsgesetzes.
Dass die zweite 26x) nicht gilt, werden wir gegen Schluss belegen (Anhang 5, "Beleg 5"); doch sei bemerkt, dass von dem nur diesen Zweck im Auge Habenden die vorhergehenden und nachfolgenden Be- lege des Anhang 5 überschlagen werden können.
Was vorstehend erörtert und festgesetzt worden an dem Substrat der resp. für die "Algorithmen" oder "Gruppen von Funktional- gleichungen", das lässt sich noch allgemeiner und für die Gruppen- theorie überhaupt aufrecht erhalten.
Der Begriff der "Gruppe" hat neuerdings fast in der gesamten Mathe- matik eine rapid steigende Bedeutung und zunehmend verbreitete Anwen-
*) Hätten wir ein umfassenderes Substrat gewählt, so wäre dieser auch als ein Kalkul mit Kalkuln zu bezeichnen.
Anhang 4.
dings ganz aus U, jedoch irgendwie, herausgegriffen, so wäre ein Fall denkbar, wie ihn die folgende Figur versinnlicht: wo zwar A und B
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Fig. 32.
ganz in X liegen, dagegen A + B doch nicht in X enthalten ist (vgl. An- hang 5, „Beleg 4“). Es brauchte dann (3+)' nicht zu gelten.
Nun aber sollte X einen Algorith- mus (innerhalb U) bedeuten, komple- tirt durch Hinzuziehung aller seiner nach den „Prinzipien“ bedingten Kon- sequenzen. Wenn dieser A zur Folge hat, dessen ganzes Formelsystem in sich schliesst, desgl. B zur Folge hat, so hat er auch alles das zur Folge, was kraft der Prinzipien aus A und B zusammen noch weiter gefolgert werden kann, d. h. er hat auch A + B zur Folge und schliesst dessen ganzes Formelsystem von Hause aus in sich.
Hiermit ist sorgfältigst erkannt, dass die Axiome I und II, sowie die Definitionen (1), (2), (3) des „identischen Kalkuls“ auch in dem „logischen Kalkul“ mit Algorithmen*) unmodifizirt Geltung haben.
Diese aber bildeten ausschliesslich die formale Grundlage für den ersten Teil jenes Kalkuls, soweit er in den Paragraphen 4, 5 bis 10, 11 der Theorie dargestellt ist. Folglich können wir auch alle aus dieser Grundlage streng deduktiv dort abgeleiteten Sätze jetzt ohne weiteres in den logischen Kalkul herübernehmen, die kleinen Buch- staben von ebendort in grosse umschreibend — einschliesslich der ersten Subsumtion, Th. 25×), des Distributionsgesetzes.
Dass die zweite 26×) nicht gilt, werden wir gegen Schluss belegen (Anhang 5, „Beleg 5“); doch sei bemerkt, dass von dem nur diesen Zweck im Auge Habenden die vorhergehenden und nachfolgenden Be- lege des Anhang 5 überschlagen werden können.
Was vorstehend erörtert und festgesetzt worden an dem Substrat der resp. für die „Algorithmen“ oder „Gruppen von Funktional- gleichungen“, das lässt sich noch allgemeiner und für die Gruppen- theorie überhaupt aufrecht erhalten.
Der Begriff der „Gruppe“ hat neuerdings fast in der gesamten Mathe- matik eine rapid steigende Bedeutung und zunehmend verbreitete Anwen-
*) Hätten wir ein umfassenderes Substrat gewählt, so wäre dieser auch als ein Kalkul mit Kalkuln zu bezeichnen.
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Anhang 4.
dings ganz aus U, jedoch irgendwie, herausgegriffen, so wäre ein Fall
denkbar, wie ihn die folgende Figur versinnlicht: wo zwar A und B
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ganz in X liegen, dagegen A + B doch
nicht in X enthalten ist (vgl. An-
hang 5, „Beleg 4“). Es brauchte dann
(3+)' nicht zu gelten.
Nun aber sollte X einen Algorith-
mus (innerhalb U) bedeuten, komple-
tirt durch Hinzuziehung aller seiner
nach den „Prinzipien“ bedingten Kon-
sequenzen. Wenn dieser A zur Folge
hat, dessen ganzes Formelsystem in
sich schliesst, desgl. B zur Folge hat,
so hat er auch alles das zur Folge, was kraft der Prinzipien aus A
und B zusammen noch weiter gefolgert werden kann, d. h. er hat
auch A + B zur Folge und schliesst dessen ganzes Formelsystem von
Hause aus in sich.
Hiermit ist sorgfältigst erkannt, dass die Axiome I und II, sowie
die Definitionen (1), (2), (3) des „identischen Kalkuls“ auch in dem
„logischen Kalkul“ mit Algorithmen *) unmodifizirt Geltung haben.
Diese aber bildeten ausschliesslich die formale Grundlage für den
ersten Teil jenes Kalkuls, soweit er in den Paragraphen 4, 5 bis 10,
11 der Theorie dargestellt ist. Folglich können wir auch alle aus
dieser Grundlage streng deduktiv dort abgeleiteten Sätze jetzt ohne
weiteres in den logischen Kalkul herübernehmen, die kleinen Buch-
staben von ebendort in grosse umschreibend — einschliesslich der ersten
Subsumtion, Th. 25×), des Distributionsgesetzes.
Dass die zweite 26×) nicht gilt, werden wir gegen Schluss belegen
(Anhang 5, „Beleg 5“); doch sei bemerkt, dass von dem nur diesen
Zweck im Auge Habenden die vorhergehenden und nachfolgenden Be-
lege des Anhang 5 überschlagen werden können.
Was vorstehend erörtert und festgesetzt worden an dem Substrat
der resp. für die „Algorithmen“ oder „Gruppen von Funktional-
gleichungen“, das lässt sich noch allgemeiner und für die Gruppen-
theorie überhaupt aufrecht erhalten.
Der Begriff der „Gruppe“ hat neuerdings fast in der gesamten Mathe-
matik eine rapid steigende Bedeutung und zunehmend verbreitete Anwen-
*) Hätten wir ein umfassenderes Substrat gewählt, so wäre dieser auch als
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 628. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/648>, abgerufen am 19.04.2024.
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