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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Belege.
ist, als eine vollständige Gruppe, als einen eigenen Algorithmus von
der Tragweite 2 (innerhalb U) erkennt.

Belege (überschlagbar).

Als "Beleg 1" (cf. Anhang 4 unter "Multiplikation") mag ausser der
Schlussbemerkung des vorigen Absatzes noch angeführt werden, dass die
oben behauptete Vollständigkeit der aus nur einer Gleichung bestehenden
Formelgruppe J1 hervorgeht durch die Bemerkung, dass
A2 · C1 = J1
ist, wo A2 charakterisirt ist durch die Prämisse: a : (b : c) = (a : b) : c.
Ebenso ist A1 · C2 = J2, wo C2 die Prämisse hat: a : b = b : a. Etc.

"Beleg 2" (cf. ibidem). Die etwa N1 zu nennende Formel a : a = [Formel 1]
folgt leicht aus A1, desgleichen also auch die Formel:
M2) a : a = b : b

Dieselbe Gleichung M2 ist auch in einem Algorithmus D2 enthalten,
von welchem das reine Multiplikationsgesetz (a b) c = (a c) b eine Prämisse
bildet. Jene M2 folgt aber nicht aus dem Algorithmus A1 · D2, welcher
= J2 ist; denn in der That sind für J2 in Gestalt der Tafeln 112,2)4 und
122,2)4 meiner schon citirten Abhandlung (l. c.)7 Lösungen angebbar, welche
sogar dem noch umfassenderen Algorithmus C2 genügen, dagegen die
Formel M2 augenscheinlich nicht erfüllen. Hier folgt also X (= M2) aus
A (= A1) desgl. aus B (= D2), und dennoch nicht aus A · B (= J2). Grund
dieses scheinbaren Widerspruchs zu dem Theorem (3x)' des Anhang 4 ist
der Umstand, dass eben X, = M2, nicht dem Formelgebiet (U) angehört,
innerhalb dessen das Produkt A B aufgesucht wurde.

"Beleg 3" (cf. Anhang 4 sub "Addition"). Das Hinausgreifen der
logischen über die identische Summe ist schon an dem Beispiel A1 + C1 = O1
zu sehen, wo sich die 16 + 30 Gleichungen der letztern zu den 150 Glei-
chungen der erstern erweitern. Noch einfacher zeigt es sich an demselben
Beispiele, wenn man auf das Gebiet der "reinen" Multiplikationsgesetze
innerhalb U, d. i. auf das Formelsystem O11 des Algorithmus O1 sich be-
schränkt: Die eine Prämisse b (a c) = (b a) c von A1 mit den vier Glei-
chungen des Vierecks unten links in C1 fliesst dann zu den 14 Formeln O11
logisch zusammen.

"Beleg 4" (cf. ibid.). Versteht man unter X das Formelsystem, be-
stehend aus den 150 Gleichungen O1 und noch irgendwelchen andern Glei-
chungen des Gebietes U, z. B. der Gleichung (c a) : b = [Formel 2] , jedoch ohne
die zwei Gleichungen E1, so ist -- im Gegensatz zu (3+)' -- sowol
A, = A1 als auch B, = C1 in X enthalten, dennoch aber A + B, = A + C1 = O1
nicht (ganz) in X enthalten.

Schröder, Algebra der Logik. 41

Belege.
ist, als eine vollständige Gruppe, als einen eigenen Algorithmus von
der Tragweite 2 (innerhalb U) erkennt.

Belege (überschlagbar).

Als „Beleg 1“ (cf. Anhang 4 unter „Multiplikation“) mag ausser der
Schlussbemerkung des vorigen Absatzes noch angeführt werden, dass die
oben behauptete Vollständigkeit der aus nur einer Gleichung bestehenden
Formelgruppe J1 hervorgeht durch die Bemerkung, dass
A2 · C1 = J1
ist, wo A2 charakterisirt ist durch die Prämisse: a : (b : c) = (a : b) : c.
Ebenso ist A1 · C2 = J2, wo C2 die Prämisse hat: a : b = b : a. Etc.

Beleg 2“ (cf. ibidem). Die etwa N1 zu nennende Formel a : a = [Formel 1]
folgt leicht aus A1, desgleichen also auch die Formel:
M2) a : a = b : b

Dieselbe Gleichung M2 ist auch in einem Algorithmus D2 enthalten,
von welchem das reine Multiplikationsgesetz (a b) c = (a c) b eine Prämisse
bildet. Jene M2 folgt aber nicht aus dem Algorithmus A1 · D2, welcher
= J2 ist; denn in der That sind für J2 in Gestalt der Tafeln 112,2)4 und
122,2)4 meiner schon citirten Abhandlung (l. c.)7 Lösungen angebbar, welche
sogar dem noch umfassenderen Algorithmus C2 genügen, dagegen die
Formel M2 augenscheinlich nicht erfüllen. Hier folgt also X (= M2) aus
A (= A1) desgl. aus B (= D2), und dennoch nicht aus A · B (= J2). Grund
dieses scheinbaren Widerspruchs zu dem Theorem (3×)' des Anhang 4 ist
der Umstand, dass eben X, = M2, nicht dem Formelgebiet (U) angehört,
innerhalb dessen das Produkt A B aufgesucht wurde.

Beleg 3“ (cf. Anhang 4 sub „Addition“). Das Hinausgreifen der
logischen über die identische Summe ist schon an dem Beispiel A1 + C1 = O1
zu sehen, wo sich die 16 + 30 Gleichungen der letztern zu den 150 Glei-
chungen der erstern erweitern. Noch einfacher zeigt es sich an demselben
Beispiele, wenn man auf das Gebiet der „reinen“ Multiplikationsgesetze
innerhalb U, d. i. auf das Formelsystem O11 des Algorithmus O1 sich be-
schränkt: Die eine Prämisse b (a c) = (b a) c von A1 mit den vier Glei-
chungen des Vierecks unten links in C1 fliesst dann zu den 14 Formeln O11
logisch zusammen.

Beleg 4“ (cf. ibid.). Versteht man unter X das Formelsystem, be-
stehend aus den 150 Gleichungen O1 und noch irgendwelchen andern Glei-
chungen des Gebietes U, z. B. der Gleichung (c a) : b = [Formel 2] , jedoch ohne
die zwei Gleichungen E1, so ist — im Gegensatz zu (3+)' — sowol
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nicht (ganz) in X enthalten.

Schröder, Algebra der Logik. 41
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[641/0661] Belege. ist, als eine vollständige Gruppe, als einen eigenen Algorithmus von der Tragweite 2 (innerhalb U) erkennt. Belege (überschlagbar). Als „Beleg 1“ (cf. Anhang 4 unter „Multiplikation“) mag ausser der Schlussbemerkung des vorigen Absatzes noch angeführt werden, dass die oben behauptete Vollständigkeit der aus nur einer Gleichung bestehenden Formelgruppe J1 hervorgeht durch die Bemerkung, dass A2 · C1 = J1 ist, wo A2 charakterisirt ist durch die Prämisse: a : (b : c) = (a : b) : c. Ebenso ist A1 · C2 = J2, wo C2 die Prämisse hat: a : b = b : a. Etc. „Beleg 2“ (cf. ibidem). Die etwa N1 zu nennende Formel a : a = [FORMEL] folgt leicht aus A1, desgleichen also auch die Formel: M2) a : a = b : b Dieselbe Gleichung M2 ist auch in einem Algorithmus D2 enthalten, von welchem das reine Multiplikationsgesetz (a b) c = (a c) b eine Prämisse bildet. Jene M2 folgt aber nicht aus dem Algorithmus A1 · D2, welcher = J2 ist; denn in der That sind für J2 in Gestalt der Tafeln 112,2)4 und 122,2)4 meiner schon citirten Abhandlung (l. c.)7 Lösungen angebbar, welche sogar dem noch umfassenderen Algorithmus C2 genügen, dagegen die Formel M2 augenscheinlich nicht erfüllen. Hier folgt also X (= M2) aus A (= A1) desgl. aus B (= D2), und dennoch nicht aus A · B (= J2). Grund dieses scheinbaren Widerspruchs zu dem Theorem (3×)' des Anhang 4 ist der Umstand, dass eben X, = M2, nicht dem Formelgebiet (U) angehört, innerhalb dessen das Produkt A B aufgesucht wurde. „Beleg 3“ (cf. Anhang 4 sub „Addition“). Das Hinausgreifen der logischen über die identische Summe ist schon an dem Beispiel A1 + C1 = O1 zu sehen, wo sich die 16 + 30 Gleichungen der letztern zu den 150 Glei- chungen der erstern erweitern. Noch einfacher zeigt es sich an demselben Beispiele, wenn man auf das Gebiet der „reinen“ Multiplikationsgesetze innerhalb U, d. i. auf das Formelsystem O11 des Algorithmus O1 sich be- schränkt: Die eine Prämisse b (a c) = (b a) c von A1 mit den vier Glei- chungen des Vierecks unten links in C1 fliesst dann zu den 14 Formeln O11 logisch zusammen. „Beleg 4“ (cf. ibid.). Versteht man unter X das Formelsystem, be- stehend aus den 150 Gleichungen O1 und noch irgendwelchen andern Glei- chungen des Gebietes U, z. B. der Gleichung (c a) : b = [FORMEL], jedoch ohne die zwei Gleichungen E1, so ist — im Gegensatz zu (3+)' — sowol A, = A1 als auch B, = C1 in X enthalten, dennoch aber A + B, = A + C1 = O1 nicht (ganz) in X enthalten. Schröder, Algebra der Logik. 41

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/661>, S. 641, abgerufen am 28.06.2017.