welche in der unter C00 erläuterten Abkürzung geschrieben sind, sodass ausführlicher z. B. die erste Zeile der erstern Tafel zu lesen wäre: 1 = 1 · 1 = 2 · 3 = 3 · 4 = 4 · 5 = 5 · 6 = 6 · 7 = 7 · 8 = 8 · 2 und die der zweiten: 1 = 1 · 1 = 2 · 3 = 3 · 4 = 4 · 5 = 5 · 2 = 6 · 7 = 7 · 8 = 8 · 9 = 9 · 6, etc. -- Dass aber jene beiden Formeln nicht zugleich bestehen können, geht daraus hervor, dass durch Vergleichung aus ihnen folgen würde: a = b, was für ein, wie wir voraussetzen, mehr als eine Zahl ent- haltendes Zahlengebiet, mithin als allgemeine "Formel" unmöglich ist, indem es die Gleichheit auch für irgend zwei als verschieden voraus- gesetzte Zahlen oder Elemente des Gebietes postuliren würde.
Ähnlich würden sich auch Fälle anführen lassen, wo von drei Funktional- gleichungen eine jede für sich, auch irgend zwei zusammen, nicht aber alle drei zugleich von einer Funktion erfüllt werden können und dergleichen mehr -- worauf ich hier indess verzichte.
Endlich würde das Formelgebiet auch solche Formeln mit um- fassen, welche für sich allein schon unzulässig sind, nämlich nicht be- stehen können, ohne einen Widerspruch mit den Voraussetzungen der Eindeutigkeit der Funktion und der Mehrheit resp. Verschiedenheit der Elemente des Zahlengebietes zu involviren. Eine solche würde z. B., wie der Leser leicht nachweisen wird, die Formel a b = a (b a) sein, und andre mehr.
Die Gesamtheit der Formeln des Gebietes, als "Gruppe" oder "Al- gorithmus" betrachtet mitumfasst also diesmal auch absurde Folgerungen und trägt den Charakter der Unmöglichkeit an sich. Zur Bezeichnung des letztern empfiehlt sich darum nicht die 1, die wir oben für U ver- wenden mochten, sondern vielmehr ein Symbol, welches die Nicht- existenz, Unmöglichkeit des damit zu Bezeichnenden in sich zu er- kennen gibt. Als solches bietet die Mathematik aber nur das Zeichen infinity
Belege.
1 = 1,2345678
1 = 1,2345,6789
2 = 2,1754836
2 = 2,4718,3695
3 = 3,7186524
3 = 3,7561,9824
4 = 4,5812763
4 = 4,1629,7358
5 = 5,4621387
5 = 5,8193,4276
6 = 6,8573142
6 = 6,3974,8512
7 = 7,3268415
7 = 7,6832,5941
8 = 8,6437251,
8 = 8,9257,1463
9 = 9,5486,2137,
welche in der unter C00 erläuterten Abkürzung geschrieben sind, sodass ausführlicher z. B. die erste Zeile der erstern Tafel zu lesen wäre: 1 = 1 · 1 = 2 · 3 = 3 · 4 = 4 · 5 = 5 · 6 = 6 · 7 = 7 · 8 = 8 · 2 und die der zweiten: 1 = 1 · 1 = 2 · 3 = 3 · 4 = 4 · 5 = 5 · 2 = 6 · 7 = 7 · 8 = 8 · 9 = 9 · 6, etc. — Dass aber jene beiden Formeln nicht zugleich bestehen können, geht daraus hervor, dass durch Vergleichung aus ihnen folgen würde: a = b, was für ein, wie wir voraussetzen, mehr als eine Zahl ent- haltendes Zahlengebiet, mithin als allgemeine „Formel“ unmöglich ist, indem es die Gleichheit auch für irgend zwei als verschieden voraus- gesetzte Zahlen oder Elemente des Gebietes postuliren würde.
Ähnlich würden sich auch Fälle anführen lassen, wo von drei Funktional- gleichungen eine jede für sich, auch irgend zwei zusammen, nicht aber alle drei zugleich von einer Funktion erfüllt werden können und dergleichen mehr — worauf ich hier indess verzichte.
Endlich würde das Formelgebiet auch solche Formeln mit um- fassen, welche für sich allein schon unzulässig sind, nämlich nicht be- stehen können, ohne einen Widerspruch mit den Voraussetzungen der Eindeutigkeit der Funktion und der Mehrheit resp. Verschiedenheit der Elemente des Zahlengebietes zu involviren. Eine solche würde z. B., wie der Leser leicht nachweisen wird, die Formel a b = a (b a) sein, und andre mehr.
Die Gesamtheit der Formeln des Gebietes, als „Gruppe“ oder „Al- gorithmus“ betrachtet mitumfasst also diesmal auch absurde Folgerungen und trägt den Charakter der Unmöglichkeit an sich. Zur Bezeichnung des letztern empfiehlt sich darum nicht die 1, die wir oben für U ver- wenden mochten, sondern vielmehr ein Symbol, welches die Nicht- existenz, Unmöglichkeit des damit zu Bezeichnenden in sich zu er- kennen gibt. Als solches bietet die Mathematik aber nur das Zeichen ∞
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Belege.
1 = 1,2345678 1 = 1,2345,6789
2 = 2,1754836 2 = 2,4718,3695
3 = 3,7186524 3 = 3,7561,9824
4 = 4,5812763 4 = 4,1629,7358
5 = 5,4621387 5 = 5,8193,4276
6 = 6,8573142 6 = 6,3974,8512
7 = 7,3268415 7 = 7,6832,5941
8 = 8,6437251, 8 = 8,9257,1463
9 = 9,5486,2137,
welche in der unter C00 erläuterten Abkürzung geschrieben sind, sodass
ausführlicher z. B. die erste Zeile der erstern Tafel zu lesen wäre:
1 = 1 · 1 = 2 · 3 = 3 · 4 = 4 · 5 = 5 · 6 = 6 · 7 = 7 · 8 = 8 · 2
und die der zweiten:
1 = 1 · 1 = 2 · 3 = 3 · 4 = 4 · 5 = 5 · 2 = 6 · 7 = 7 · 8 = 8 · 9 = 9 · 6,
etc. — Dass aber jene beiden Formeln nicht zugleich bestehen können,
geht daraus hervor, dass durch Vergleichung aus ihnen folgen würde:
a = b, was für ein, wie wir voraussetzen, mehr als eine Zahl ent-
haltendes Zahlengebiet, mithin als allgemeine „Formel“ unmöglich ist,
indem es die Gleichheit auch für irgend zwei als verschieden voraus-
gesetzte Zahlen oder Elemente des Gebietes postuliren würde.
Ähnlich würden sich auch Fälle anführen lassen, wo von drei Funktional-
gleichungen eine jede für sich, auch irgend zwei zusammen, nicht aber
alle drei zugleich von einer Funktion erfüllt werden können und dergleichen
mehr — worauf ich hier indess verzichte.
Endlich würde das Formelgebiet auch solche Formeln mit um-
fassen, welche für sich allein schon unzulässig sind, nämlich nicht be-
stehen können, ohne einen Widerspruch mit den Voraussetzungen der
Eindeutigkeit der Funktion und der Mehrheit resp. Verschiedenheit der
Elemente des Zahlengebietes zu involviren. Eine solche würde z. B.,
wie der Leser leicht nachweisen wird, die Formel a b = a (b a) sein,
und andre mehr.
Die Gesamtheit der Formeln des Gebietes, als „Gruppe“ oder „Al-
gorithmus“ betrachtet mitumfasst also diesmal auch absurde Folgerungen
und trägt den Charakter der Unmöglichkeit an sich. Zur Bezeichnung
des letztern empfiehlt sich darum nicht die 1, die wir oben für U ver-
wenden mochten, sondern vielmehr ein Symbol, welches die Nicht-
existenz, Unmöglichkeit des damit zu Bezeichnenden in sich zu er-
kennen gibt. Als solches bietet die Mathematik aber nur das Zeichen ∞
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 645. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/665>, abgerufen am 18.04.2024.
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