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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
ph111, ph110, ph101, ph100, ph011, ph010, ph001, ph000
a, b, c, d, e, f, g, h.

Als Resultante der Elimination von a, b, g aus den drei Gleichungen:
x = a a b g + b a b g1 + c a b1 g + d a b1 g1 + e a1 b g + f a1 b g1 + g a1 b1 g + h a1 b1 g1,
y = a b g a + ..., z = a g a b + ...
ist dann gefunden:
0 = x y z a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 +
+ (x1 y z + x y1 z + x y z1) (b1 e1 + b1 c1 + c1 e1 + b c e) (d1 g1 + d1 f1 + f1 g1 + d f g) +
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+ x1 y1 z1 a (b + c + e) (d + f + g) h.

Soll sich dies in
0 = x y z + x1 y1 z1
zusammenziehen -- wie es doch der Fall sein müsste, wenn diese Gleichung
eine symmetrisch-allgemeine Lösung x = ph (a, b, g), etc. in drei arbiträren
Parametern a, b, g besässe -- so müssen der erste und der letzte Koeffi-
zient gleich 1 gemacht werden (durch geeignete Bestimmung von a, b, c,
d, e, f, g, h) während die beiden mittleren Koeffizienten verschwinden.
Jene beiden Gleichungen:
a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 = 1 = a (b + c + e) (d + f + g) h
geben aber durch Kontraposition:
a + h + b c e + d f g = 0 und a1 + h1 + b1 c1 e1 + d1 f1 g1 = 0
und involviren Widersprüche miteinander, wie diesen: dass gleichzeitig
a = 0 und a1 = 0 sein müsste (desgleichen h + h1 = 0, anstatt = 1).
Vergl. auch Th. 24x).

Es geht hieraus von neuem die Unmöglichkeit hervor, die Gleichung
R2 = 0 (und damit auch die R6 resp. R6' = 0) in drei Parametern sym-
metrisch allgemein zu lösen.


Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
φ111, φ110, φ101, φ100, φ011, φ010, φ001, φ000
a, b, c, d, e, f, g, h.

Als Resultante der Elimination von α, β, γ aus den drei Gleichungen:
x = a α β γ + b α β γ1 + c α β1 γ + d α β1 γ1 + e α1 β γ + f α1 β γ1 + g α1 β1 γ + h α1 β1 γ1,
y = a β γ α + …, z = a γ α β + …
ist dann gefunden:
0 = x y z a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 +
+ (x1 y z + x y1 z + x y z1) (b1 e1 + b1 c1 + c1 e1 + b c e) (d1 g1 + d1 f1 + f1 g1 + d f g) +
+ (x y1 z1 + x1 y z1 + x1 y1 z) (b e + b c + c e + b1 c1 e1) (d g + d f + f g + d1 f1 g1) +
+ x1 y1 z1 a (b + c + e) (d + f + g) h.

Soll sich dies in
0 = x y z + x1 y1 z1
zusammenziehen — wie es doch der Fall sein müsste, wenn diese Gleichung
eine symmetrisch-allgemeine Lösung x = φ (α, β, γ), etc. in drei arbiträren
Parametern α, β, γ besässe — so müssen der erste und der letzte Koeffi-
zient gleich 1 gemacht werden (durch geeignete Bestimmung von a, b, c,
d, e, f, g, h) während die beiden mittleren Koeffizienten verschwinden.
Jene beiden Gleichungen:
a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 = 1 = a (b + c + e) (d + f + g) h
geben aber durch Kontraposition:
a + h + b c e + d f g = 0 und a1 + h1 + b1 c1 e1 + d1 f1 g1 = 0
und involviren Widersprüche miteinander, wie diesen: dass gleichzeitig
a = 0 und a1 = 0 sein müsste (desgleichen h + h1 = 0, anstatt = 1).
Vergl. auch Th. 24×).

Es geht hieraus von neuem die Unmöglichkeit hervor, die Gleichung
R2 = 0 (und damit auch die R6 resp. R6' = 0) in drei Parametern sym-
metrisch allgemein zu lösen.


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[699/0719] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. φ111, φ110, φ101, φ100, φ011, φ010, φ001, φ000 a, b, c, d, e, f, g, h. Als Resultante der Elimination von α, β, γ aus den drei Gleichungen: x = a α β γ + b α β γ1 + c α β1 γ + d α β1 γ1 + e α1 β γ + f α1 β γ1 + g α1 β1 γ + h α1 β1 γ1, y = a β γ α + …, z = a γ α β + … ist dann gefunden: 0 = x y z a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 + + (x1 y z + x y1 z + x y z1) (b1 e1 + b1 c1 + c1 e1 + b c e) (d1 g1 + d1 f1 + f1 g1 + d f g) + + (x y1 z1 + x1 y z1 + x1 y1 z) (b e + b c + c e + b1 c1 e1) (d g + d f + f g + d1 f1 g1) + + x1 y1 z1 a (b + c + e) (d + f + g) h. Soll sich dies in 0 = x y z + x1 y1 z1 zusammenziehen — wie es doch der Fall sein müsste, wenn diese Gleichung eine symmetrisch-allgemeine Lösung x = φ (α, β, γ), etc. in drei arbiträren Parametern α, β, γ besässe — so müssen der erste und der letzte Koeffi- zient gleich 1 gemacht werden (durch geeignete Bestimmung von a, b, c, d, e, f, g, h) während die beiden mittleren Koeffizienten verschwinden. Jene beiden Gleichungen: a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 = 1 = a (b + c + e) (d + f + g) h geben aber durch Kontraposition: a + h + b c e + d f g = 0 und a1 + h1 + b1 c1 e1 + d1 f1 g1 = 0 und involviren Widersprüche miteinander, wie diesen: dass gleichzeitig a = 0 und a1 = 0 sein müsste (desgleichen h + h1 = 0, anstatt = 1). Vergl. auch Th. 24×). Es geht hieraus von neuem die Unmöglichkeit hervor, die Gleichung R2 = 0 (und damit auch die R6 resp. R6' = 0) in drei Parametern sym- metrisch allgemein zu lösen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 699. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/719>, abgerufen am 09.04.2020.