Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Achtzehnte Vorlesung.

oder Parameter des Funktionsausdrucks vorkamen, sondern auch schon
aus dem Grunde, weil im Aussagenkalkul bekanntlich alle Symbole
lediglich der Werte 0 oder i fähig sind, können als Koeffizienten in
der Entwickelung von F nur die beiden 0 und i auftreten. D. h.
jeder unsrer r Konstituenten ist in dieser Entwickelung entweder gar
nicht, oder ganz, als Summand vertreten; wir haben für jeden dieser
Konstituenten zwei Möglichkeiten, und können daher im Ganzen auf:
[Formel 1] Arten die Funktion F zusammengesetzt denken.

Von diesen läuft aber eine auf die Aussagenabsurdität i = 0
hinaus, diejenige nämlich bei welcher alle unsre r Konstituenten un-
vertreten blieben, zum Koeffizienten 0 erhielten. Dann müsste näm-
lich auch F als deren Summe den Wert 0 haben; soferne aber F
ausgesagt, statuirt, als gültig hingestellt wird, hätten wir F = i an-
zuerkennen und gelangten so zu einem Widerspruche.

Die gesuchte Anzahl der zulässigen Aussagen ist hiermit:
2^r — 1
und dies geht in Peano’s Ergebniss über^*), wenn in den Ausdruck
die obigen Werte von r und m rückwärts eingesetzt, restituirt
werden; q. e. d.

Bei n = 3 ist m = 2³ = 8 und:
i = α β γ δ ε ζ η ϑ₁ + α β γ δ ε ζ η₁ ϑ + α β γ δ ε ζ η₁ ϑ₁ + … + α₁ β₁ γ₁ δ₁ ε₁ ζ₁ η₁ ϑ₁
mit r = 2⁸ — 1 = 255 Gliedern, und lassen sich
2²⁵⁵ — 1 = (rund) 57 896 × 10⁷²
zulässige Bildungsweisen von F denken. Mithin gibt es über drei Begriffe
A, B, C mehr als fünfzigsieben tausend Trillionen Quadrillionen (inhaltlich
verschiedene) fällbare Urteile.

Und über vier Klassen A, B, C, D lassen sich
[Formel 2] verschiedene Aussagen abgeben, das sind ihrer so viele als eine Zahl an-
gibt, die sich mit 19 729 Ziffern schreibt — die drei ersten Ziffern sind
100 und folgt auf sie eine 2 oder 3. —

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*) Herr Peano bringt auch die identische Aussage i = i, (oder 0 = 0),
bei welcher keiner von den r Konstituenten (als Glied der Alternative) fehlen
würde, hiervon noch in Abzug; er findet: 2^r — 2.