Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:
<< vorherige Seite
Zwölfte Vorlesung.
Theorie der Abbildung. Ihre 15 Arten. Eindeutigkeit bei Zuordnungen
und Gleichmächtigkeit von Systemen.
§ 30. Direkt sowie umgekehrt nie undeutige und nie mehrdeutige
Zuordnung. Funktion, Argument und Substitution (Permutation)
als Relative.

Im weitesten Sinne des Worts "Abbildung" kann jedes binäre
Relativ a als eine Abbildung hingestellt werden, nämlich als eine
eventuell bald "undeutige", bald "eindeutige", bald auch "mehrdeutige"
Zuordnung (-- Begriffe, die wir demnächst erst näher zu erläutern
haben). Wenn wir aber das Wort im engeren Sinne gebrauchen
wollen, so wird von einem Relativ a, damit es als eine "Abbildung"
bezeichnet werden dürfe, hinfort zu verlangen sein, dass sei es a selber,
sei es auch seine Umkehrung a, mindestens eine der beiden Anforde-
rungen erfülle: niemals undeutig, und niemals mehrdeutig zu sein.

Zur Motivirung der fraglichen Unterscheidungen bringe man sich
folgendes zum Bewusstsein.

Jedes Relativ a genommen von einem Systeme b(= b ; 1) liefert wieder
ein System, sintemal dann a ; b = a ; (b ; 1) = (a ; b) ; 1 ersichtlich System
sein muss. Auch im weitesten Sinne des Worts "Bild" gilt sonach:

Das a-Bild eines Systems ist stets ein System.

Da ein Element i = i ; 1 ebenfalls System ist, so muss also ebenso
auch gelten:

Das a-Bild eines Elementes muss allemal ein System sein: a ; i = (a ; i) ; 1.
Es kann sich nur fragen, ob dieses System ein leeres ist, "verschwindet",
oder ob es blos aus einem oder gar aus mehrern Elementen besteht.

Im ersten der drei Fälle "versagt" die Abbildung a für unser Element i,
ist a ; i(= 0) nichtsbedeutend, sinnlos und u überhaupt als Abbildung
"eventuell undeutig" zu nennen; im zweiten ist sie "eventuell eindeutig",
nämlich zum mindesten so bei Anwendung auf unser i; im dritten ist sie
"eventuell mehrdeutig": es kann dann a ; i als Name einer Gattung ge-
braucht werden, der sich jedes Element dieses Systems a ; i einordnet --
sodass letztres System als "das a-Bild von i" gegenübersteht (und wohl
zu unterscheiden sein wird von) seinen Elementen, deren jedes auch -- mit
dem unbestimmten Artikel -- "ein a-Bild von i" genannt werden darf.


Zwölfte Vorlesung.
Theorie der Abbildung. Ihre 15 Arten. Eindeutigkeit bei Zuordnungen
und Gleichmächtigkeit von Systemen.
§ 30. Direkt sowie umgekehrt nie undeutige und nie mehrdeutige
Zuordnung. Funktion, Argument und Substitution (Permutation)
als Relative.

Im weitesten Sinne des Worts „Abbildung“ kann jedes binäre
Relativ a als eine Abbildung hingestellt werden, nämlich als eine
eventuell bald „undeutige“, bald „eindeutige“, bald auch „mehrdeutige“
Zuordnung (— Begriffe, die wir demnächst erst näher zu erläutern
haben). Wenn wir aber das Wort im engeren Sinne gebrauchen
wollen, so wird von einem Relativ a, damit es als eine „Abbildung“
bezeichnet werden dürfe, hinfort zu verlangen sein, dass sei es a selber,
sei es auch seine Umkehrung , mindestens eine der beiden Anforde-
rungen erfülle: niemals undeutig, und niemals mehrdeutig zu sein.

Zur Motivirung der fraglichen Unterscheidungen bringe man sich
folgendes zum Bewusstsein.

Jedes Relativ a genommen von einem Systeme b(= b ; 1) liefert wieder
ein System, sintemal dann a ; b = a ; (b ; 1) = (a ; b) ; 1 ersichtlich System
sein muss. Auch im weitesten Sinne des Worts „Bild“ gilt sonach:

Das a-Bild eines Systems ist stets ein System.

Da ein Element i = i ; 1 ebenfalls System ist, so muss also ebenso
auch gelten:

Das a-Bild eines Elementes muss allemal ein System sein: a ; i = (a ; i) ; 1.
Es kann sich nur fragen, ob dieses System ein leeres ist, „verschwindet“,
oder ob es blos aus einem oder gar aus mehrern Elementen besteht.

Im ersten der drei Fälle „versagt“ die Abbildung a für unser Element i,
ist a ; i(= 0) nichtsbedeutend, sinnlos und u überhaupt als Abbildung
„eventuell undeutig“ zu nennen; im zweiten ist sie „eventuell eindeutig“,
nämlich zum mindesten so bei Anwendung auf unser i; im dritten ist sie
„eventuell mehrdeutig“: es kann dann a ; i als Name einer Gattung ge-
braucht werden, der sich jedes Element dieses Systems a ; i einordnet —
sodass letztres System als „das a-Bild von i“ gegenübersteht (und wohl
zu unterscheiden sein wird von) seinen Elementen, deren jedes auch — mit
dem unbestimmten Artikel — „ein a-Bild von i“ genannt werden darf.


<TEI>
  <text>
    <body>
      <pb facs="#f0567" n="[553]"/>
      <div n="1">
        <head><hi rendition="#g">Zwölfte Vorlesung</hi>.<lb/><hi rendition="#b">Theorie der Abbildung. Ihre 15 Arten. Eindeutigkeit bei Zuordnungen<lb/>
und Gleichmächtigkeit von Systemen.</hi></head><lb/>
        <div n="2">
          <head>§ 30. <hi rendition="#b">Direkt sowie umgekehrt nie undeutige und nie mehrdeutige<lb/>
Zuordnung. Funktion, Argument und Substitution (Permutation)<lb/>
als Relative.</hi></head><lb/>
          <p>Im weitesten Sinne des Worts &#x201E;Abbildung&#x201C; kann jedes binäre<lb/>
Relativ <hi rendition="#i">a</hi> als eine Abbildung hingestellt werden, nämlich als eine<lb/>
eventuell bald &#x201E;undeutige&#x201C;, bald &#x201E;eindeutige&#x201C;, bald auch &#x201E;mehrdeutige&#x201C;<lb/>
Zuordnung (&#x2014; Begriffe, die wir demnächst erst näher zu erläutern<lb/>
haben). Wenn wir aber das Wort im engeren Sinne gebrauchen<lb/>
wollen, so wird von einem Relativ <hi rendition="#i">a</hi>, damit es als eine &#x201E;Abbildung&#x201C;<lb/>
bezeichnet werden dürfe, hinfort zu verlangen sein, dass sei es <hi rendition="#i">a selber</hi>,<lb/>
sei es auch seine Umkehrung <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi>, mindestens eine der beiden Anforde-<lb/>
rungen erfülle: <hi rendition="#i">niemals undeutig</hi>, und <hi rendition="#i">niemals mehrdeutig</hi> zu sein.</p><lb/>
          <p>Zur Motivirung der fraglichen Unterscheidungen bringe man sich<lb/>
folgendes zum Bewusstsein.</p><lb/>
          <p>Jedes Relativ <hi rendition="#i">a</hi> genommen <hi rendition="#i">von</hi> einem <hi rendition="#i">Systeme b</hi>(= <hi rendition="#i">b</hi> ; 1) liefert wieder<lb/>
ein <hi rendition="#i">System</hi>, sintemal dann <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> ; (<hi rendition="#i">b</hi> ; 1) = (<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) ; 1 ersichtlich System<lb/>
sein muss. Auch im weitesten Sinne des Worts &#x201E;Bild&#x201C; gilt sonach:</p><lb/>
          <p> <hi rendition="#i">Das a-Bild eines Systems ist stets ein System.</hi> </p><lb/>
          <p>Da ein Element <hi rendition="#i">i</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> ; 1 ebenfalls System ist, so muss also ebenso<lb/>
auch gelten:</p><lb/>
          <p><hi rendition="#i">Das a-Bild eines Elementes muss allemal ein System sein</hi>: <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi>) ; 1.<lb/>
Es kann sich nur fragen, ob dieses System ein leeres ist, &#x201E;<hi rendition="#i">verschwindet</hi>&#x201C;,<lb/>
oder ob es blos aus <hi rendition="#i">einem</hi> oder gar aus <hi rendition="#i">mehrern</hi> Elementen besteht.</p><lb/>
          <p>Im ersten der drei Fälle &#x201E;versagt&#x201C; die Abbildung <hi rendition="#i">a</hi> für unser Element <hi rendition="#i">i</hi>,<lb/>
ist <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi>(= 0) nichtsbedeutend, sinnlos und <hi rendition="#i">u</hi> überhaupt als Abbildung<lb/>
&#x201E;eventuell undeutig&#x201C; zu nennen; im zweiten ist sie &#x201E;eventuell eindeutig&#x201C;,<lb/>
nämlich zum mindesten so bei Anwendung auf unser <hi rendition="#i">i</hi>; im dritten ist sie<lb/>
&#x201E;eventuell mehrdeutig&#x201C;: es kann dann <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> als Name einer Gattung ge-<lb/>
braucht werden, der sich jedes Element dieses Systems <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> einordnet &#x2014;<lb/>
sodass letztres System als &#x201E;<hi rendition="#i">das a</hi>-Bild von <hi rendition="#i">i</hi>&#x201C; gegenübersteht (und wohl<lb/>
zu unterscheiden sein wird von) seinen Elementen, deren jedes auch &#x2014; mit<lb/>
dem unbestimmten Artikel &#x2014; &#x201E;ein <hi rendition="#i">a</hi>-Bild von <hi rendition="#i">i</hi>&#x201C; genannt werden darf.</p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[[553]/0567] Zwölfte Vorlesung. Theorie der Abbildung. Ihre 15 Arten. Eindeutigkeit bei Zuordnungen und Gleichmächtigkeit von Systemen. § 30. Direkt sowie umgekehrt nie undeutige und nie mehrdeutige Zuordnung. Funktion, Argument und Substitution (Permutation) als Relative. Im weitesten Sinne des Worts „Abbildung“ kann jedes binäre Relativ a als eine Abbildung hingestellt werden, nämlich als eine eventuell bald „undeutige“, bald „eindeutige“, bald auch „mehrdeutige“ Zuordnung (— Begriffe, die wir demnächst erst näher zu erläutern haben). Wenn wir aber das Wort im engeren Sinne gebrauchen wollen, so wird von einem Relativ a, damit es als eine „Abbildung“ bezeichnet werden dürfe, hinfort zu verlangen sein, dass sei es a selber, sei es auch seine Umkehrung ă, mindestens eine der beiden Anforde- rungen erfülle: niemals undeutig, und niemals mehrdeutig zu sein. Zur Motivirung der fraglichen Unterscheidungen bringe man sich folgendes zum Bewusstsein. Jedes Relativ a genommen von einem Systeme b(= b ; 1) liefert wieder ein System, sintemal dann a ; b = a ; (b ; 1) = (a ; b) ; 1 ersichtlich System sein muss. Auch im weitesten Sinne des Worts „Bild“ gilt sonach: Das a-Bild eines Systems ist stets ein System. Da ein Element i = i ; 1 ebenfalls System ist, so muss also ebenso auch gelten: Das a-Bild eines Elementes muss allemal ein System sein: a ; i = (a ; i) ; 1. Es kann sich nur fragen, ob dieses System ein leeres ist, „verschwindet“, oder ob es blos aus einem oder gar aus mehrern Elementen besteht. Im ersten der drei Fälle „versagt“ die Abbildung a für unser Element i, ist a ; i(= 0) nichtsbedeutend, sinnlos und u überhaupt als Abbildung „eventuell undeutig“ zu nennen; im zweiten ist sie „eventuell eindeutig“, nämlich zum mindesten so bei Anwendung auf unser i; im dritten ist sie „eventuell mehrdeutig“: es kann dann a ; i als Name einer Gattung ge- braucht werden, der sich jedes Element dieses Systems a ; i einordnet — sodass letztres System als „das a-Bild von i“ gegenübersteht (und wohl zu unterscheiden sein wird von) seinen Elementen, deren jedes auch — mit dem unbestimmten Artikel — „ein a-Bild von i“ genannt werden darf.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/567
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. [553]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/567>, abgerufen am 29.03.2024.