§ 11. Alle Data in eine Gleichung zusammenziehbar.
Im identischen Kalkul waren die Gleichungen resp. Ungleichungen anzusehen als statuirt zwischen Klassen oder Gebieten (Systemen) -- hier: in unsrer Algebra, sind sie statuirt zu denken zwischen (binären) Relativen.
Gleichwie jede Gleichung (und Subsumtion), kann nun aber -- schon im identischen Kalkul -- auch jede Ungleichung (und Unsub- sumtion) einerseits auf 0 oder 1 gebracht werden, und da letztere Propositionen nach solcher Vorbereitung gemäss 1) ebenfalls in Glei- chungen umschreibbar sind, so ist klar dass in unsrer Algebra ohne jede Einschränkung Ungleichungen und Unsubsumtionen überhaupt in Gleichungen umgesetzt werden können.
Unbeschadet der Allgemeinheit können wir hier hinfort annehmen, dass die Gesamtaussage der Data eines Problems sich aussagenrech- nerisch aus lauter (primären) Gleichungen aufbaue.
Nachdem die Negationen, die in einer Aussagenfunktion vor- geschrieben sein mögen, "ausgeführt" (und die etwa dadurch einge- führten Ungleichungen auch ihrerseits in Gleichungen umgesetzt) sind, können nur noch (identische) Produkte und Summen solcher Gleichungen in Betracht kommen.
Im identischen Kalkul konnten zwar jene zu einer einzigen Gleichung vereinigt, diese aber nicht weiter zusammengezogen werden (ausgenommen natürlich da, wo alle vorkommenden Buchstaben "Aussagen" vorstellten, also auf den Wertbereich 0, 1 beschränkt waren).
Einen weitern Vorzug unsrer Algebra begründet nun der Um- stand: dass hier nicht blos Produkte, sondern auch Summen also Alter- nativen von Gleichungen sich jeweils in eine einzige Gleichung zusammen- ziehen lassen -- ebenso nicht blos Summen, sondern auch Produkte von Ungleichungen (auch dann, wenn ihre Polynome oder beiden Seiten beliebige Relative vorstellen). Dies beruht nächst den vorstehenden oder überhaupt den Formeln 5) des § 10 und den längst bekannten: 2)
[Formel 1]
noch auf folgenden Sätzen: 3)
0 j a j 0 + 0 j b j 0 = 0 j a j 0 j b j 0
1 ; a ; 1 · 1 ; b ; 1 = 1 ; a ; 1 ; b ; 1
4)
(0 j a j 0)(0 j b j 0) = 0 j ab j 0
1 ; a ; 1 + 1 ; b ; 1 = 1 ; (a + b) ; 1
welche insgesamt von zweien leicht auf beliebig viele Terme auszu- dehnen und sofort dergestalt ausgedehnt zu denken sind.
Nach 3) müssen wegen der Kommutativität identischer Knüpfungen die zwischen lauter relative Summanden 0 sowie die zwischen lauter rela- tive Faktoren 1 eingestreuten Terme jeweils permutabel, muss deren Reihen- folge belanglos sein.
§ 11. Alle Data in eine Gleichung zusammenziehbar.
Im identischen Kalkul waren die Gleichungen resp. Ungleichungen anzusehen als statuirt zwischen Klassen oder Gebieten (Systemen) — hier: in unsrer Algebra, sind sie statuirt zu denken zwischen (binären) Relativen.
Gleichwie jede Gleichung (und Subsumtion), kann nun aber — schon im identischen Kalkul — auch jede Ungleichung (und Unsub- sumtion) einerseits auf 0 oder 1 gebracht werden, und da letztere Propositionen nach solcher Vorbereitung gemäss 1) ebenfalls in Glei- chungen umschreibbar sind, so ist klar dass in unsrer Algebra ohne jede Einschränkung Ungleichungen und Unsubsumtionen überhaupt in Gleichungen umgesetzt werden können.
Unbeschadet der Allgemeinheit können wir hier hinfort annehmen, dass die Gesamtaussage der Data eines Problems sich aussagenrech- nerisch aus lauter (primären) Gleichungen aufbaue.
Nachdem die Negationen, die in einer Aussagenfunktion vor- geschrieben sein mögen, „ausgeführt“ (und die etwa dadurch einge- führten Ungleichungen auch ihrerseits in Gleichungen umgesetzt) sind, können nur noch (identische) Produkte und Summen solcher Gleichungen in Betracht kommen.
Im identischen Kalkul konnten zwar jene zu einer einzigen Gleichung vereinigt, diese aber nicht weiter zusammengezogen werden (ausgenommen natürlich da, wo alle vorkommenden Buchstaben „Aussagen“ vorstellten, also auf den Wertbereich 0, 1 beschränkt waren).
Einen weitern Vorzug unsrer Algebra begründet nun der Um- stand: dass hier nicht blos Produkte, sondern auch Summen also Alter- nativen von Gleichungen sich jeweils in eine einzige Gleichung zusammen- ziehen lassen — ebenso nicht blos Summen, sondern auch Produkte von Ungleichungen (auch dann, wenn ihre Polynome oder beiden Seiten beliebige Relative vorstellen). Dies beruht nächst den vorstehenden oder überhaupt den Formeln 5) des § 10 und den längst bekannten: 2)
[Formel 1]
noch auf folgenden Sätzen: 3)
0 ɟ a ɟ 0 + 0 ɟ b ɟ 0 = 0 ɟ a ɟ 0 ɟ b ɟ 0
1 ; a ; 1 · 1 ; b ; 1 = 1 ; a ; 1 ; b ; 1
4)
(0 ɟ a ɟ 0)(0 ɟ b ɟ 0) = 0 ɟ ab ɟ 0
1 ; a ; 1 + 1 ; b ; 1 = 1 ; (a + b) ; 1
welche insgesamt von zweien leicht auf beliebig viele Terme auszu- dehnen und sofort dergestalt ausgedehnt zu denken sind.
Nach 3) müssen wegen der Kommutativität identischer Knüpfungen die zwischen lauter relative Summanden 0 sowie die zwischen lauter rela- tive Faktoren 1 eingestreuten Terme jeweils permutabel, muss deren Reihen- folge belanglos sein.
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§ 11. Alle Data in eine Gleichung zusammenziehbar.
Im identischen Kalkul waren die Gleichungen resp. Ungleichungen
anzusehen als statuirt zwischen Klassen oder Gebieten (Systemen) — hier:
in unsrer Algebra, sind sie statuirt zu denken zwischen (binären) Relativen.
Gleichwie jede Gleichung (und Subsumtion), kann nun aber —
schon im identischen Kalkul — auch jede Ungleichung (und Unsub-
sumtion) einerseits auf 0 oder 1 gebracht werden, und da letztere
Propositionen nach solcher Vorbereitung gemäss 1) ebenfalls in Glei-
chungen umschreibbar sind, so ist klar dass in unsrer Algebra ohne
jede Einschränkung Ungleichungen und Unsubsumtionen überhaupt in
Gleichungen umgesetzt werden können.
Unbeschadet der Allgemeinheit können wir hier hinfort annehmen,
dass die Gesamtaussage der Data eines Problems sich aussagenrech-
nerisch aus lauter (primären) Gleichungen aufbaue.
Nachdem die Negationen, die in einer Aussagenfunktion vor-
geschrieben sein mögen, „ausgeführt“ (und die etwa dadurch einge-
führten Ungleichungen auch ihrerseits in Gleichungen umgesetzt) sind,
können nur noch (identische) Produkte und Summen solcher Gleichungen
in Betracht kommen.
Im identischen Kalkul konnten zwar jene zu einer einzigen Gleichung
vereinigt, diese aber nicht weiter zusammengezogen werden (ausgenommen
natürlich da, wo alle vorkommenden Buchstaben „Aussagen“ vorstellten,
also auf den Wertbereich 0, 1 beschränkt waren).
Einen weitern Vorzug unsrer Algebra begründet nun der Um-
stand: dass hier nicht blos Produkte, sondern auch Summen also Alter-
nativen von Gleichungen sich jeweils in eine einzige Gleichung zusammen-
ziehen lassen — ebenso nicht blos Summen, sondern auch Produkte von
Ungleichungen (auch dann, wenn ihre Polynome oder beiden Seiten
beliebige Relative vorstellen). Dies beruht nächst den vorstehenden
oder überhaupt den Formeln 5) des § 10 und den längst bekannten:
2) [FORMEL]
noch auf folgenden Sätzen:
3) 0 ɟ a ɟ 0 + 0 ɟ b ɟ 0 = 0 ɟ a ɟ 0 ɟ b ɟ 0 1 ; a ; 1 · 1 ; b ; 1 = 1 ; a ; 1 ; b ; 1
4) (0 ɟ a ɟ 0)(0 ɟ b ɟ 0) = 0 ɟ ab ɟ 0 1 ; a ; 1 + 1 ; b ; 1 = 1 ; (a + b) ; 1
welche insgesamt von zweien leicht auf beliebig viele Terme auszu-
dehnen und sofort dergestalt ausgedehnt zu denken sind.
Nach 3) müssen wegen der Kommutativität identischer Knüpfungen
die zwischen lauter relative Summanden 0 sowie die zwischen lauter rela-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 151. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/165>, abgerufen am 18.04.2024.
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