aus R' bestimmten) Unbekannten auszudrücken, welche erstern ihrer- seits dann unbestimmt bleiben werden.
Daraus ergibt sich die Vorschrift, den Resultanten fortschreitend zu genügen in der umgekehrten Reihenfolge von derjenigen in welcher sie durch die successiven Eliminationen gewonnen worden sind.
Man genüge also zuerst der vorletzten Resultante mittelst Auf- lösung derselben nach irgend einer von den in ihr verbliebenen Un- bekannten, indem man wie gesagt die übrigen von diesen, und die etwa sonst noch aus ihrer Vorgängerin herausgefallenen Unbekannten unbestimmt lässt; sie muss unbedingt auflösbar sein, weil die letzte Resultante 0 = 0 ja sicher erfüllt ist. Man setze das so gewonnene System von Wurzelwerten für die in Betracht gekommenen Unbekannten in alle vorhergehenden Resultanten (mithin bis einschliesslich zur Gleichung f = 0) ein, um alsdann ebenso mit der nächstvorhergehenden Resultante zu verfahren und so weiter, bis man die Gleichung f = 0 selber nach der zuerst eliminirten Unbekannten aufgelöst hat. --
Durch die vorstehenden Betrachtungen erscheint es gerechtfertigt, dass wir uns im folgenden immer nur mit den anscheinend so sehr viel spezielleren Problemen der Elimination und Auflösung beschäf- tigen bei denen sich alles nur um ein Relativ als Eliminanden oder Unbekannte dreht.
Zum Schlusse noch ein paar Bemerkungen.
Beispiele wird die Theorie genugsam bringen.
Es möge entschuldigt werden, dass wir vorstehend einige Betrachtungen dem Wesen nach wiederholten, die wir analog schon in Bd. 1, § 22 für den identischen Kalkul mit seiner soviel geringeren Tragweite angestellt resp. nur gestreift haben.
Man sieht, dass zwischen den als allgemeine "gegeben" zu denkenden und den gesuchten Relativen kein prinzipieller Unterschied besteht. Auch jene, die "Parameter" (z. B. Polynomkoeffizienten a, b, c ..., etc.) des Problems, sofern sie nicht etwa "spezifizirt" (d. h. als spezielle Relative) gegeben sind, müssen von vornherein als "Unbekannte" betrachtet und ganz ebenso wie diese x, y, ... behandelt werden.
Woran es liegt, dass in dieser Hinsicht unsre Disziplin in einem Gegen- satz zur arithmetischen Analysis steht, wird sich der denkende Leser leicht klar zu machen vermögen.
§ 12. Allgemeine und rigorose Lösungen.
Es möge 1) F(x) = 0 eine nach einer Unbekannten x aufzulösende Gleichung sein, welche "auf lösbar" ist, d. h. also mindestens eine Wurzel x besitzt.
Schröder, Algebra der Relative. 11
§ 12. Zum allgemeinsten Auflösungsprobleme.
aus R' bestimmten) Unbekannten auszudrücken, welche erstern ihrer- seits dann unbestimmt bleiben werden.
Daraus ergibt sich die Vorschrift, den Resultanten fortschreitend zu genügen in der umgekehrten Reihenfolge von derjenigen in welcher sie durch die successiven Eliminationen gewonnen worden sind.
Man genüge also zuerst der vorletzten Resultante mittelst Auf- lösung derselben nach irgend einer von den in ihr verbliebenen Un- bekannten, indem man wie gesagt die übrigen von diesen, und die etwa sonst noch aus ihrer Vorgängerin herausgefallenen Unbekannten unbestimmt lässt; sie muss unbedingt auflösbar sein, weil die letzte Resultante 0 = 0 ja sicher erfüllt ist. Man setze das so gewonnene System von Wurzelwerten für die in Betracht gekommenen Unbekannten in alle vorhergehenden Resultanten (mithin bis einschliesslich zur Gleichung f = 0) ein, um alsdann ebenso mit der nächstvorhergehenden Resultante zu verfahren und so weiter, bis man die Gleichung f = 0 selber nach der zuerst eliminirten Unbekannten aufgelöst hat. —
Durch die vorstehenden Betrachtungen erscheint es gerechtfertigt, dass wir uns im folgenden immer nur mit den anscheinend so sehr viel spezielleren Problemen der Elimination und Auflösung beschäf- tigen bei denen sich alles nur um ein Relativ als Eliminanden oder Unbekannte dreht.
Zum Schlusse noch ein paar Bemerkungen.
Beispiele wird die Theorie genugsam bringen.
Es möge entschuldigt werden, dass wir vorstehend einige Betrachtungen dem Wesen nach wiederholten, die wir analog schon in Bd. 1, § 22 für den identischen Kalkul mit seiner soviel geringeren Tragweite angestellt resp. nur gestreift haben.
Man sieht, dass zwischen den als allgemeine „gegeben“ zu denkenden und den gesuchten Relativen kein prinzipieller Unterschied besteht. Auch jene, die „Parameter“ (z. B. Polynomkoeffizienten a, b, c …, etc.) des Problems, sofern sie nicht etwa „spezifizirt“ (d. h. als spezielle Relative) gegeben sind, müssen von vornherein als „Unbekannte“ betrachtet und ganz ebenso wie diese x, y, … behandelt werden.
Woran es liegt, dass in dieser Hinsicht unsre Disziplin in einem Gegen- satz zur arithmetischen Analysis steht, wird sich der denkende Leser leicht klar zu machen vermögen.
§ 12. Allgemeine und rigorose Lösungen.
Es möge 1) F(x) = 0 eine nach einer Unbekannten x aufzulösende Gleichung sein, welche „auf lösbar“ ist, d. h. also mindestens eine Wurzel x besitzt.
Schröder, Algebra der Relative. 11
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§ 12. Zum allgemeinsten Auflösungsprobleme.
aus R' bestimmten) Unbekannten auszudrücken, welche erstern ihrer-
seits dann unbestimmt bleiben werden.
Daraus ergibt sich die Vorschrift, den Resultanten fortschreitend
zu genügen in der umgekehrten Reihenfolge von derjenigen in welcher
sie durch die successiven Eliminationen gewonnen worden sind.
Man genüge also zuerst der vorletzten Resultante mittelst Auf-
lösung derselben nach irgend einer von den in ihr verbliebenen Un-
bekannten, indem man wie gesagt die übrigen von diesen, und die
etwa sonst noch aus ihrer Vorgängerin herausgefallenen Unbekannten
unbestimmt lässt; sie muss unbedingt auflösbar sein, weil die letzte
Resultante 0 = 0 ja sicher erfüllt ist. Man setze das so gewonnene
System von Wurzelwerten für die in Betracht gekommenen Unbekannten
in alle vorhergehenden Resultanten (mithin bis einschliesslich zur
Gleichung f = 0) ein, um alsdann ebenso mit der nächstvorhergehenden
Resultante zu verfahren und so weiter, bis man die Gleichung f = 0
selber nach der zuerst eliminirten Unbekannten aufgelöst hat. —
Durch die vorstehenden Betrachtungen erscheint es gerechtfertigt,
dass wir uns im folgenden immer nur mit den anscheinend so sehr
viel spezielleren Problemen der Elimination und Auflösung beschäf-
tigen bei denen sich alles nur um ein Relativ als Eliminanden oder
Unbekannte dreht.
Zum Schlusse noch ein paar Bemerkungen.
Beispiele wird die Theorie genugsam bringen.
Es möge entschuldigt werden, dass wir vorstehend einige Betrachtungen
dem Wesen nach wiederholten, die wir analog schon in Bd. 1, § 22 für den
identischen Kalkul mit seiner soviel geringeren Tragweite angestellt resp.
nur gestreift haben.
Man sieht, dass zwischen den als allgemeine „gegeben“ zu denkenden
und den gesuchten Relativen kein prinzipieller Unterschied besteht. Auch
jene, die „Parameter“ (z. B. Polynomkoeffizienten a, b, c …, etc.) des
Problems, sofern sie nicht etwa „spezifizirt“ (d. h. als spezielle Relative)
gegeben sind, müssen von vornherein als „Unbekannte“ betrachtet und ganz
ebenso wie diese x, y, … behandelt werden.
Woran es liegt, dass in dieser Hinsicht unsre Disziplin in einem Gegen-
satz zur arithmetischen Analysis steht, wird sich der denkende Leser leicht
klar zu machen vermögen.
§ 12. Allgemeine und rigorose Lösungen.
Es möge
1) F(x) = 0
eine nach einer Unbekannten x aufzulösende Gleichung sein, welche
„auf lösbar“ ist, d. h. also mindestens eine Wurzel x besitzt.
Schröder, Algebra der Relative. 11
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 161. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/175>, abgerufen am 23.04.2024.
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